◆尤樂(lè)融

(浙江省麗水市職業(yè)高級(jí)中學(xué))

授人以魚(yú)，不如授人以漁
——課堂的民主集中制

◆尤樂(lè)融

(浙江省麗水市職業(yè)高級(jí)中學(xué))

作為一線教師，為了上好一堂課，課前備學(xué)生、備教材、備教法，可謂做足了功課，但往往自己頗為滿意的設(shè)計(jì)，在實(shí)際的課堂上卻收不到預(yù)期的反響，到底是哪里出現(xiàn)了問(wèn)題，困擾著我也困擾著我的同行們。一次一位“后進(jìn)生”在課堂上的“攪局”卻為我解開(kāi)了困惑：計(jì)劃趕不上變化，師生良性的互動(dòng)才能促進(jìn)一堂課真正的獲得成功，學(xué)生本來(lái)就比我們所想象的可以做的更好，課堂應(yīng)該實(shí)現(xiàn)真正的“民主集中制”。

等和數(shù)列 等積數(shù)列 構(gòu)建主義

作為一名任教多年的教師，我對(duì)自己的教學(xué)水平是有信心的，但是在教學(xué)中仍會(huì)出現(xiàn)令我感到困惑的問(wèn)題：有的時(shí)候，明明在課前準(zhǔn)備得很充分，備教材的重點(diǎn)、目標(biāo)，備學(xué)生的學(xué)情，采用教具、多媒體等各種手段輔助教學(xué)，課堂上也設(shè)計(jì)了許多“套路”去啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，可往往氣氛不冷不熱，教學(xué)效果不如人意。直到一次看似不經(jīng)意的事件悄然來(lái)到我的面前，終于揭開(kāi)了我的困惑。

那天，上完等比數(shù)列的最后一個(gè)課時(shí)的內(nèi)容，我正在小結(jié)知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)備結(jié)束數(shù)列這一章。忽然一個(gè)聲音從教師的一角清晰的傳來(lái)“老師，等比數(shù)列剛學(xué)完，前面也學(xué)過(guò)等差數(shù)列，怎么數(shù)列這章就結(jié)束了呢？為什么沒(méi)有等和數(shù)列、等積數(shù)列？”我順著聲音尋去，發(fā)現(xiàn)是平時(shí)數(shù)學(xué)不太好的張XX同學(xué)正在皺著眉頭，當(dāng)時(shí)的我沒(méi)有在意他的提問(wèn)，心里覺(jué)得這小家伙不好好落實(shí)正兒八經(jīng)的知識(shí)點(diǎn)，倒出現(xiàn)稀奇古怪的想法，于是輕描淡寫(xiě)的回答他：“張XX，老師沒(méi)見(jiàn)過(guò)你說(shuō)的數(shù)列，你可以自己再去想想，是不是有這樣的數(shù)列呢？”隨著下課的鈴聲，我走出了教室很快就忘了這件事。

第二天，我和往常一樣準(zhǔn)備滿滿的進(jìn)入教室，師生問(wèn)候完畢剛準(zhǔn)備引入新章節(jié)的教學(xué)，張XX站起來(lái)壓抑不住興奮的說(shuō)道“老師，昨天的問(wèn)題我想了很久，我發(fā)現(xiàn)是存在等和數(shù)列和等積數(shù)列的！”課堂被打斷了，而且覺(jué)得張XX又在進(jìn)行無(wú)意義的探討，我有些不高興。但看著他一臉的期待，我想讓他撞撞“南墻”回頭，剛好也借這個(gè)機(jī)會(huì)提醒其他人以后不要做“無(wú)用功”，于是我就叫他同大家講講他的“發(fā)現(xiàn)”。

張XX上來(lái)邊說(shuō)邊寫(xiě)：參照等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，我給出了等和數(shù)列和等積數(shù)列的定義。

如果一個(gè)數(shù)列從它的第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和(積)都等于同一常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列叫做等和(積)數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公和(積)，暫用e來(lái)表示(公積暫用f表示)，由定義可得

an+an+1=e (n∈N+)

anan+1=f(n∈N+)

如1，2，1，2，1，2…這是一個(gè)等和數(shù)列，同時(shí)也是一個(gè)等積數(shù)列，我覺(jué)得等和數(shù)列應(yīng)該和等積數(shù)列是相同的。我的證明如下：

根據(jù)等和數(shù)列定義式，

an+an+1=e

an+1+an+2=e

兩式相減得 an+2=an

根據(jù)等積數(shù)列定義式，

anan+1=f

an+1an+2=f

兩式相除得 an+2=an

結(jié)論成立，等和數(shù)列和等積數(shù)列都是形如a，b，a，b，a，b…的數(shù)列，也就是說(shuō)等和數(shù)列即是等積數(shù)列，反之亦然，兩者都是周期為2的周期性數(shù)列。

我有點(diǎn)懵，出乎我的意料，一個(gè)我眼里的學(xué)困生，竟然能自己通過(guò)已有知識(shí)的建構(gòu)，給出了一個(gè)規(guī)范的定義并對(duì)自己的觀點(diǎn)進(jìn)行了證明。教室里的其他學(xué)生也開(kāi)始興趣盎然的閱讀并思考起來(lái)。

是該為了教學(xué)進(jìn)度點(diǎn)到為止呢？還是繼續(xù)讓這思維的火花點(diǎn)燃呢？我猶豫了一下，選擇了后者。

于是我表?yè)P(yáng)了張XX，然后對(duì)別的學(xué)生說(shuō)“你們完全同意他的理論嗎？”

生甲：“我不同意他說(shuō)的等和數(shù)列、等積數(shù)列的周期一定為2。常數(shù)列既是等和數(shù)列，又是等積數(shù)列，但它的周期是1，所以等和、等積數(shù)列的周期應(yīng)該是1或2。”

生乙：“你說(shuō)的也不對(duì)，等積數(shù)列不一定是周期數(shù)列，等積數(shù)列也不一定是等和數(shù)列，例如：0，1，0，2，0，3…

我：“那么為什么張XX的證明中，漏洞在哪里？”

生丙：“漏洞在于，等和數(shù)列里，兩式相減得an+2=an沒(méi)問(wèn)題，但在等積數(shù)列里，兩式相除得 an+2=an就不行了，前提條件是f∈0”。

一番熱情洋溢的討論后，學(xué)生歸納出結(jié)論：

1.等和數(shù)列an+an+1=e (n∈N+)

等積數(shù)列anan+1=f(n∈N+)

2.等和數(shù)列是、等積數(shù)列(f∈0)是周期數(shù)列，如果是常數(shù)列，周期為1，如果不是常數(shù)列，周期為2。

3.等和數(shù)列一定是等積數(shù)列，等積數(shù)列當(dāng)f∈0時(shí)才是等和數(shù)列。

4.推論：滿足an+an+1+…+an+m=e(n∈N+)的數(shù)列是周期為m+1的周期數(shù)列，滿足anan+1…an+m=f(n∈N+，f∈0)的數(shù)列是周期為m+1的周期數(shù)列。

這堂課進(jìn)行了一件挺“不務(wù)正業(yè)”的探討，“耽誤”了教學(xué)計(jì)劃，但它收到的效果卻出乎意料的好，課堂上師生之間的互動(dòng)、生生之間的合作，對(duì)知識(shí)的理解和交流發(fā)散在教室的每一個(gè)角落，學(xué)生不僅對(duì)數(shù)列的理解更加深刻了，更重要的是學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得了成功的體驗(yàn)，樹(shù)立了自信心，在后來(lái)的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成了一種合作交流的意識(shí)和樂(lè)于探究的良好思維品質(zhì)。

把更多的時(shí)間交還給學(xué)生自己，讓我們的課堂充滿“民主集中制”。

[1]楊艷紅.新課改初中數(shù)學(xué)課堂互動(dòng)活動(dòng)的案例.中學(xué)時(shí)代，2014，(18).