林 明，謝里陽(yáng)

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

疲勞壽命預(yù)測(cè)頻域方法分析與比較

林 明，謝里陽(yáng)

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

簡(jiǎn)單介紹了窄帶分布法、Wirsching-Light法、Tovo-Benasciutti法和Dirlik法4種疲勞壽命預(yù)測(cè)頻域方法。通過(guò)算例分析，在時(shí)域內(nèi)采用雨流循環(huán)計(jì)數(shù)法，提取出各應(yīng)力循環(huán)、均值和幅值，進(jìn)行疲勞損傷累積計(jì)算，并以時(shí)域計(jì)算的損傷結(jié)果為基準(zhǔn)，研究在不同不規(guī)則因子下，4種頻域方法的適用性與準(zhǔn)確性。結(jié)果表明，隨機(jī)應(yīng)力過(guò)程接近窄帶隨機(jī)過(guò)程時(shí)，W-L法能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)疲勞累積損傷結(jié)果；隨著不規(guī)則因子的減小，應(yīng)力隨機(jī)歷程更加接近于寬帶隨機(jī)過(guò)程，T-B法和Dirlik法更能準(zhǔn)確地估計(jì)疲勞累積損傷。

功率譜密度；疲勞累積損傷；隨機(jī)過(guò)程；頻域分析

0 引言

工程實(shí)際中，對(duì)于機(jī)械結(jié)構(gòu)及零部件疲勞壽命預(yù)測(cè)，有時(shí)域法和頻域法兩大類[1]。時(shí)域分析法首先采用載荷循環(huán)計(jì)數(shù)方法(目前一般采用“雨流循環(huán)計(jì)數(shù)法”)，從時(shí)間領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)力-時(shí)間歷程中取出各應(yīng)力循環(huán)及其幅值和均值，然后再進(jìn)行疲勞損傷累積計(jì)算，最終預(yù)測(cè)零部件壽命。這種方法通常能得到比較準(zhǔn)確的累積損傷分析精度，但缺點(diǎn)是需要足夠長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)記錄載荷信號(hào)歷程，涉及較大的累積損傷計(jì)算工作量。

頻域法是利用應(yīng)力功率譜密度(PSD)來(lái)估測(cè)零部件疲勞壽命的方法。對(duì)于平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程，功率譜密度是描述其特性的關(guān)鍵參數(shù)。利用功率譜密度可以得到應(yīng)力隨機(jī)過(guò)程中各種應(yīng)力的循環(huán)次數(shù)近似值。在疲勞壽命預(yù)測(cè)的頻域法中，工程師時(shí)常會(huì)將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)，通過(guò)頻域分析，可以獲得零部件危險(xiǎn)部位的應(yīng)力功率譜密度。對(duì)于一個(gè)具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元模型，對(duì)模型進(jìn)行頻域分析往往要比在時(shí)域中進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力分析容易得多[2]，從而減少了工程中的計(jì)算時(shí)間與精力。

頻域方法方便簡(jiǎn)單，因此得到許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的認(rèn)可，以及在工程中的應(yīng)用。顧超林等[3]通過(guò)對(duì)某設(shè)備的彈簧片結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度和疲勞壽命分析，詳細(xì)地探討隨機(jī)振動(dòng)疲勞仿真分析技術(shù)的流程及實(shí)現(xiàn)過(guò)程；王明珠等[4]針對(duì)缺口件提出了一種考慮應(yīng)力集中和疲勞極限影響的缺口件頻域隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命估算方法；曹明紅等[5]設(shè)計(jì)了多組懸臂梁振動(dòng)疲勞試驗(yàn)，將多種常用的寬帶隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命頻域預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了對(duì)比，由于其獲得的試件危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力-時(shí)間歷程具有明顯的寬帶過(guò)程特征，因此其結(jié)論更偏向討論在寬帶情況下的多種不同頻域模型的準(zhǔn)確性與適用性；朱濤等[6]針對(duì)于機(jī)車轉(zhuǎn)向架，利用頻域法對(duì)轉(zhuǎn)向架構(gòu)架進(jìn)行了疲勞壽命研究，表明了頻域疲勞計(jì)算方法有較高的疲勞壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性，能夠較好地預(yù)測(cè)隨機(jī)振動(dòng)下的疲勞壽命。D. Benasciutti等[7-8]提出了新的疲勞壽命預(yù)測(cè)頻域方法，指出在寬帶隨機(jī)過(guò)程下，窄帶分布法及其改善方法都會(huì)得出偏保守的結(jié)果，T-B法和Dirlik法優(yōu)于其他頻域方法，能夠得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果；A. Nieslony等[9]對(duì)帶孔棒狀試件進(jìn)行試驗(yàn)與仿真分析，研究了在多種不同曲線形式的功率譜密度下，4種頻域壽命預(yù)測(cè)方法的合理性。

本研究考慮不同不規(guī)則因子下，即分別在窄帶和寬帶隨機(jī)過(guò)程下，探討各頻域方法的適用性與準(zhǔn)確性。鑒于時(shí)域分析法通常能得到較為準(zhǔn)確的壽命預(yù)測(cè)結(jié)果，而頻域方法的準(zhǔn)確性更易受載荷歷程特征的影響，本研究通過(guò)算例，以時(shí)域方法計(jì)算的結(jié)果為基準(zhǔn)，分析對(duì)比多種頻域模型在不同不規(guī)則因子下的準(zhǔn)確性，為工程實(shí)際運(yùn)用中選擇合適的頻域模型提供清晰的選用思路。

1 頻域壽命預(yù)測(cè)方法

1.1 隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)理論

隨機(jī)過(guò)程按統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間變化情況，可以分為兩類：平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)和非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)。為了描述平穩(wěn)過(guò)程隨時(shí)間變化的特性，一般采用相關(guān)函數(shù)。而功率譜密度是在頻域范圍內(nèi)描述平穩(wěn)過(guò)程，是隨機(jī)過(guò)程在頻率域內(nèi)的重要參數(shù)，它能夠表達(dá)隨機(jī)過(guò)程的能量分布情況。

理論上，自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)和功率譜密度Sx(ω)符合維納一辛欽定理，即

(1)

功率譜密度分為單邊功率譜和雙邊功率譜。而在工程實(shí)際中頻率ω>0，所以定義單邊功率譜密度為：

統(tǒng)計(jì)矩是描述概率密度的數(shù)字特征，相似地，學(xué)者們引入譜矩，用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程譜密度的數(shù)字特征。為了方便工程中的運(yùn)算，根據(jù)ω=2πf，平穩(wěn)過(guò)程X(t)的譜矩mi用單邊譜密度G(f)定義為：

(2)

平穩(wěn)過(guò)程根據(jù)功率譜密度的圖形形狀的不同，可分為兩類：窄帶平穩(wěn)過(guò)程和寬帶平穩(wěn)過(guò)程。學(xué)者們通過(guò)引入不規(guī)則因子γ，來(lái)分辨平穩(wěn)過(guò)程X(t)符合窄帶過(guò)程還是寬帶過(guò)程。

(3)

式中，mi為第i階譜矩，其表達(dá)式見(jiàn)式(2)。

當(dāng)不規(guī)則因子γ接近0時(shí)，平穩(wěn)過(guò)程X(t)符合寬帶隨機(jī)過(guò)程。特殊地，當(dāng)γ=0時(shí)，X(t)為白噪聲過(guò)程；當(dāng)不規(guī)則因子γ趨向于1時(shí)，平穩(wěn)過(guò)程X(t)符合窄帶隨機(jī)過(guò)程。特殊地，當(dāng)不規(guī)則因子γ=1時(shí)，X(t)為理想的窄帶隨機(jī)過(guò)程，即為含有單一頻率的簡(jiǎn)諧波。

工程中還引入帶寬系數(shù)ε，用于描述隨機(jī)過(guò)程的帶寬，用譜矩定義為：

(4)

其取值范圍0≤ε≤1。當(dāng)ε值趨于1時(shí)，隨機(jī)過(guò)程對(duì)應(yīng)寬帶隨機(jī)過(guò)程；當(dāng)帶寬系數(shù)ε值趨于0時(shí)，隨機(jī)過(guò)程符合窄帶隨機(jī)過(guò)程。若已知一個(gè)高斯隨機(jī)過(guò)程，根據(jù)其功率譜密度，可以求得單位時(shí)間內(nèi)的峰值期望率Vp。同樣的，亦可以求出單位時(shí)間內(nèi)的正斜率穿越期望值V+。

(5)

1.2 頻域疲勞壽命計(jì)算模型

1)窄帶分布法。

Bendat等[10]首先提出了一種利用PSD估算疲勞壽命的方法。他提出：隨著帶寬的減小，隨機(jī)信號(hào)的峰值概率密度函數(shù)會(huì)趨向瑞利分布。另外，針對(duì)一個(gè)窄帶隨機(jī)信號(hào)，Bendat假定對(duì)應(yīng)于全部的正值波峰，必定有相等數(shù)值的波谷與其對(duì)應(yīng)。根據(jù)這個(gè)假設(shè)，應(yīng)力幅值S概率密度函數(shù)會(huì)趨于瑞利分布，其表達(dá)式為：

(6)

式中，σ是應(yīng)力隨機(jī)過(guò)程的均方根，其表達(dá)式為：

(7)

根據(jù)Miner線性累積損傷理論，結(jié)構(gòu)的疲勞損傷為：

(8)

式中：ni表示第i級(jí)應(yīng)力水平下的實(shí)際應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；Ni表示應(yīng)力幅值為Si時(shí)S-N曲線下對(duì)應(yīng)的壽命循環(huán)值。如果應(yīng)力狀態(tài)符合連續(xù)分布，則在時(shí)間T內(nèi)，應(yīng)力處在范圍(Si，Si+ΔSi)內(nèi)的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)為

(9)

式中，p(S)為應(yīng)力幅值的概率密度函數(shù)，v為單位時(shí)間內(nèi)的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)。

聯(lián)立式(8)、式(9)可得到連續(xù)分布應(yīng)力狀態(tài)下時(shí)間T內(nèi)的疲勞損傷D。

(10)

通常情況下，工程中用疲勞壽命曲線來(lái)描述材料的疲勞性能。其冪函數(shù)公式為：

(11)

式中，m、C為材料常數(shù)。

在窄帶信號(hào)中，單位時(shí)間內(nèi)應(yīng)力循環(huán)次數(shù)V等于均值正穿越率V+(在窄帶過(guò)程中，V+與Vp也相等)，結(jié)合式(6)、式(10)和式(11)，得到窄帶過(guò)程下疲勞損傷結(jié)果為

(12)

令D=1，則得到構(gòu)件發(fā)生破壞的壽命時(shí)間T為

(13)

2)Wirsching-Light法。

對(duì)于寬帶過(guò)程，由于Vp、V+數(shù)值相差較大，采用窄帶分布法估計(jì)的壽命比實(shí)際壽命小很多，因此針對(duì)寬帶隨機(jī)過(guò)程，需要對(duì)公式進(jìn)行修正。P H Wirsching等[11]根據(jù)不同PSD形狀進(jìn)行修正，獲得了適用于寬帶隨機(jī)振動(dòng)的壽命估算公式：

(14)

式中，λ為修正因子。修正因子、材料參數(shù)和不規(guī)則因子γ滿足

λ=0.926-0.033m+(0.074+

(15)

3)Tovo-Benasciutti法。

Benasciutti和Tovo[7-8]也提出了基于窄帶模型的修正方法，他們提出的雨流幅值概率密度函數(shù)如式(16)所示。

(16)

式中：γ為不規(guī)則因子,參數(shù)b表達(dá)式為

(17)

式中α1、α2滿足

(18)

聯(lián)立式(10)、式(11)和式(16)可算得疲勞累積損傷結(jié)果。

4)Dirlik雨流幅值分布模型。

Dirlik通過(guò)Monte Carlo技術(shù)時(shí)域模擬[12]，研究了70種不同形狀的功率譜密度函數(shù)，最后用1個(gè)經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式去估計(jì)雨流循環(huán)幅值的概率密度函數(shù)。他研究表明，雨流循環(huán)幅值能用2個(gè)瑞利分布和1個(gè)指數(shù)分布的組合來(lái)表達(dá)，經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式為：

(19)

式中：

聯(lián)立式(10)、式(11)和式(19)可算得疲勞累積損傷結(jié)果。

2 算例分析

采用1個(gè)含中心孔的LY12-CZ板[13]為算例分析樣品(圖1)。板的寬度W=50 mm，孔直徑D=8 mm，加載方式為拉伸。查得LY12-CZ鋁合金板的σb=407 MPa、σs=270 MPa。

圖1 中心孔板

根據(jù)中心孔板板寬W和孔直徑D，查閱資料可得KT=2.6。查得在KT=2.6，平均應(yīng)力σm=0下的S-N曲線，S，N值如表1所示。

表1 KT=2.6 時(shí)的S、N值

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，可求出零件的S-N冪函數(shù)的表達(dá)式中C=3.105 659×1017，m=6.093 845。

通過(guò)計(jì)算，得到不同模型的累積損傷結(jié)果，并與時(shí)域方法計(jì)算的累積損傷進(jìn)行比較，如表2所示。

表2 時(shí)域與頻域疲勞累積損傷結(jié)果對(duì)比

從表2中可以看出：

1)針對(duì)于本例，可以看出頻域方法計(jì)算的疲勞累積損傷比時(shí)域方法計(jì)算得到的結(jié)果偏大，即頻域方法比時(shí)域方法偏于保守；

2)在較高的不規(guī)則因子γ下，應(yīng)力隨機(jī)過(guò)程接近窄帶隨機(jī)過(guò)程，W-L法計(jì)算的結(jié)果最為接近時(shí)域方法計(jì)算得到的疲勞累計(jì)損傷結(jié)果，相對(duì)誤差為41.81%；在較低的不規(guī)則因子下，W-L法計(jì)算的結(jié)果過(guò)于保守，誤差偏大，而T-Be法和Dirlik法計(jì)算的結(jié)果更接近時(shí)域方法計(jì)算的疲勞累積損傷結(jié)果，相對(duì)誤差分別為26.88%、23.66%。這與文獻(xiàn)[7-8]中的結(jié)論“在寬帶隨機(jī)過(guò)程下，窄帶分布法及其改善方法都會(huì)得出偏保守的結(jié)果，T-B法和Dirlik法優(yōu)于其他頻域方法，能夠得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果”比較符合。

3 結(jié)論

1)通過(guò)與時(shí)域疲勞預(yù)測(cè)方法的對(duì)比，研究了在不同不規(guī)則因子下，多種頻域疲勞預(yù)測(cè)方法的適用性。隨機(jī)應(yīng)力歷程接近窄帶隨機(jī)過(guò)程時(shí)，W-L法能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)疲勞累積損傷結(jié)果。

2)隨著不規(guī)則因子的減小，應(yīng)力隨機(jī)歷程越接近寬帶隨機(jī)過(guò)程，T-B法和Dirlik法更能準(zhǔn)確地估計(jì)疲勞累積損傷。

圖2 應(yīng)力歷程與功率譜密度

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Analysis and Comparison of Frequency-domain Approaches of Fatigue Life Prediction

LIN Ming，XIE Li-yang

(SchoolofMechanicalEngineeringandAutomation,NortheasternUniversity,Shenyang110819,China)

This paper provides a brief review of several frequency-domain approaches of fatigue life prediction, specifically the narrow-band approximation, Wirsching-Light, Tovo-Benasciutti and Dirlilk models. By using sample calculation, this paper adopts rain-flow cycle counting method within the time-domain to obtain the stress cycles as well as their mean value and amplitude, which can be used to evaluate the accumulated fatigue damage. Then based on the results of fatigue cumulative damage of time-domain calculation, this paper detects the applicability and accuracy of the four frequency-domain approaches under different irregular factors. The results show that when stochastic stress process gets close to narrow-band random process, W-L method can predict the fatigue cumulative damage results more accurately. And with the decrease of the irregular factors, stochastic stress process gets closer to wide-band random process, and thus T-B method and Dirlik method can estimate the fatigue cumulative damage results more accurately.

power spectral density; fatigue cumulative damage；random process; frequency domain analysis

2016年7月18日

2016年9月20日

國(guó)家自然科學(xué)基金(51335003)

林明(1991年-)，男，碩士研究生，主要從事結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測(cè)等方面的研究。

TH122

A

10.3969/j.issn.1673-6214.2016.05.001

1673-6214(2016)05-0265-05