在我們的生活中，常常會遇到試驗的所有可能結(jié)果（即基本事件）為無窮多的情況，這時用大量試驗的方法很難獲得一個符合要求的概率，也不能用古典概型的方法來求解.當無窮多個基本事件仍然保持著古典概型的“等可能性”時，這時則可以用幾何概型來計算事件發(fā)生的概率.

對于一個隨機試驗，設(shè)D是一個可度量的區(qū)域（如線段、平面圖形、立體圖形等），則可以將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域D內(nèi)的每一點被取到的機會都一樣;而一個隨機事件A的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域d中的點，此時，事件A發(fā)生的概率與d的測度（長度、面積、體積）成正比，與d的形狀和位置無關(guān)，則這樣的概率模型稱為幾何概型.而對于幾何概型概率的計算，其主要的步驟是：①判斷概率模型是否為幾何概型，從無限性和等可能性進行判斷;②計算出基本事件與事件A所含的基本事件對應(yīng)的區(qū)域的測度，把問題轉(zhuǎn)化為各種測度問題，主要有Ⅰ選擇合適的觀察角度;Ⅱ把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域;Ⅲ把隨機事件A轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域;Ⅳ利用概率公式計算.

類型一：測度為長度的幾何概型

若一次試驗中所有可能結(jié)果和某個事件A所包含的結(jié)果對應(yīng)一段長度，如線段長、時間區(qū)間、距離、路程等等，則需要求出各自相應(yīng)的長度，然后運用幾何概型的概率公式可求出事件A發(fā)生的概率.

例1一條長為lm的電話線架于兩電線桿之間，其中一個桿上裝有變壓器，在暴風雨天氣中，電話線遭到雷擊的點是隨機的，則當電話線被雷擊時，求雷擊點距離變壓器小于am的概率.

分析：電話線上遭到雷擊的可能性是相等的，又基本事件有無限多個，判斷其屬于幾何概型.

解：電線桿分別記為B、C，變壓器位于C處，電話線上的點D與點C的距離為am，記“雷擊點距離變壓器小于am”為事件A，當雷擊點在線段CD上時，雷擊點距離變壓器小于am，即事件A發(fā)生，而全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是電話線長度lm，事件A包含的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是線段CD的長度為am，則事件A發(fā)生的概率P（A）=al.

點評：對于幾何概型，一定要建立正確合理的幾何概型，其次要正確分析題目中隨機事件中的基本事件.

類型二：測度為角度的幾何概型

若一次試驗中所有可能結(jié)果和某個事件A包含的結(jié)果（基本事件）都對應(yīng)于一個角，那么需要求出各自相應(yīng)的角度，然后再運用幾何概型的概率計算公式即可求出事件A發(fā)生的概率.

例2在頂角為120°的等腰三角形ABC中，過頂點C（∠C為頂角）在∠ACB內(nèi)部作任一射線CM，與線段AB交于點M，求AM<AC的概率.

分析：由于該題是在∠ACB內(nèi)部作任一射線CM，等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)部的任一位置，因此基本事件的度量應(yīng)該是∠ACB的大小，而不是線段AB的長.

解：如圖，過點C在∠ACB內(nèi)部作任一射線CM，則射線CM在∠ACB內(nèi)是等可能分布的，則基本事件的測度是∠ACB的大小，即120°，在AB上取AC′=AC，則∠ACC′=180°-30°2=75°，

記“AM<AC”為事件A，則事件A的概率為

P（A）=75120=58，則AM<AC的概率為58.

點評：解決此題的關(guān)鍵是找到事件A={射線CM落在∠ACC′內(nèi)}的“幾何度量”是75°，以及∠ACB的“幾何度量”為120°，是與角度有關(guān)的幾何概型，而不是與線段長度有關(guān)的幾何概型.

類型三：測度為距離的幾何概型

例3設(shè)有一個等邊三角形網(wǎng)格，其中各個最小等邊三角形的邊長都是43cm，現(xiàn)在有直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線沒有公共點的概率.

分析：硬幣落下后與格線沒有公共點的充要條件是硬幣中心與格線的距離都大于1，在等邊三角形內(nèi)作三條與正三角形三邊距離都為1的線段，構(gòu)成小等邊三角形，當硬幣中心在小等邊三角形內(nèi)時，硬幣與三邊都沒有公共點，所以硬幣與格線沒有公共點就轉(zhuǎn)化為硬幣中心落在小等邊三角形內(nèi)的問題.

解：記A={硬幣落下后與格線沒有公共點}，如圖，在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形，使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1，則小等邊三角形的邊長為43-23=23，則由幾何概型概率公式可以得到

P（A）=34×（23）234×（43）2=14.

點評：解決該問題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為硬幣中心到三角形三邊的距離問題，即硬幣中心落在小三角形的概率.

類型四：測度為面積的幾何概型

當實際問題涉及兩個變量時，要利用平面直角坐標系來討論，這就要采用面積為測度.

例4兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去.求兩人會面的概率.

分析：因為兩人誰也沒有講好確切的時間，故樣本點由兩個數(shù)（甲乙兩人各自到達的時刻）組成.以7點鐘作為計算時間的起點，設(shè)甲乙各在第x分鐘和第y分鐘到達，則樣本空間為Ω：{（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}，畫成圖為一正方形.會面的充要條件是|x-y|≤20，即事件A={可以會面}所對應(yīng)的區(qū)域是圖中的陰影線部分.

解：P（A）=g的面積Ω的面積=602-（60-20）2602=59.

點評：（1）本題涉及兩個變量，因而可以在直角坐標系下討論該問題;（2）如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式可表示為

P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域測度（面積或體積）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的

區(qū)域測度（面積或體積）.

類型五：測度為體積的幾何概型

有些概率問題則需要用體積、質(zhì)量、重量等作為測度，需要特別注意采用什么的思路來求解.

例5在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，求使四棱錐MABCD的體積小于16的概率.

分析：本題需要求出符合條件的點，則需要進行點、線、面的相互轉(zhuǎn)化.

解：設(shè)M到ABCD的距離為h，則

VMABCD=13SABCD·h=16，SABCD=1，則h=12，

只要點M到ABCD的距離小于12，則所有滿足點M到ABCD的距離小于12的點組成以ABCD為底面，高為12的長方體，其體積為12，又正方體的體積為1，

所以使四棱錐錐MABCD的體積小于16的概率P=121=12.

點評：實際上本題試驗的問題是與空間幾何有關(guān)，則可以結(jié)合測度為體積的幾何概型來解決.

類型六：創(chuàng)新拓展的幾何概型

例6已知半圓O的直徑為AB=2R.

（1）過A作弦AM，求使弦AM<R的概率;

（2）過A作弦AM，求使弦AM≥R的概率;

（3）作平行于AB的弦MN，使MN<R的概率;

（4）作平行于AB的弦MN，使MN≥R的概率.

分析：這個問題相對比較難，它是一個幾何概型的問題，抓住幾何概型計算的概率公式即可.

解：（1）如圖1，過A作⊙O的切線AE，作弦AM′=R，由平面幾何知識，知∠M′AB=60°，

∠M′AE=30°，則P（AM<R）=P（AM<AM′）=P（∠EAM<∠EAM′）

=∠EAM′的大小∠EAB的大小=30°90°=13.

（2）類似（1）求得P（AM≥R）=60°90°=23.

（3）如圖2，過O作半徑OE⊥AB，作弦M′N′∥AB，交OE于E′，且M′N′=R，連接OM′，

則OE′=32R，EE′=R-32R=2-32R.

則P（MN<R）=P（MN<M′N′）=EE′OE=2-32.

（4）類似于（3）可求得P（MN≥R）=OE′OE=32.

點評：（1）如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度表示，則其概率計算公式可表示為

P（A）=事件A構(gòu)成的角度試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域角度;

（2）解決此類問題的關(guān)鍵是事件A在區(qū)域角度內(nèi)是均勻的，進而判定事件的發(fā)生是等可能的.

（作者：李秀蘭，張家港市第二中學(xué)）