一、聚焦考綱

1.了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系.

2.了解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示.

3.理解變換的復(fù)合與矩陣的乘法，理解二階矩陣的乘法和簡單性質(zhì).

4.理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣.

5.理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量.

二、知識梳理

1.矩陣的乘法規(guī)則

（1）行矩陣[a11a12]與列矩陣b11

b21的乘法規(guī)則：[a11a12]b11

b21=a11×b11+a12×b21.

（2）二階矩陣a11a12

a21a22與列向量x0

y0的乘法規(guī)則：a11a12

a21a22x0

y0=a11×x0+a12×y0

a21×x0+a22×y0.

設(shè)A是一個二階矩陣，α、β是平面上的任意兩個向量，λ、λ1、λ2是任意三個實數(shù)，則

①A（λα）=λAα;②A（α+β）=Aα+Aβ;③A（λ1α+λ2β）=λ1Aα+λ2Aβ.

（3）兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下：

a11a12

a21a22b11b12

b21b22

=a11×b11+a12×b21a11×b12+a12×b22

a21×b11+a22×b21a21×b12+a22×b22.

性質(zhì)：①一般情況下，AB≠BA，即矩陣的乘法不滿足交換律;②矩陣的乘法滿足結(jié)合律，即（AB）C=A（BC）;③矩陣的乘法不滿足消去律.

2.矩陣的逆矩陣

（1）逆矩陣的有關(guān)概念：對于二階矩陣A，B，若有AB=BA=E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣.若二階矩陣A存在逆矩陣B，則逆矩陣B是唯一的，通常記A的逆矩陣為A-1，A-1=B.

（2）逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣A=ab

cd（detA=ad-bc≠0），它的逆矩陣為

A-1=dad-bc-bad-bc

-cad-bcaad-bc.

（3）逆矩陣與二元一次方程組：如果關(guān)于變量x，y的二元一次方程組ax+by=m

cx+dy=n的系數(shù)矩陣A=ab

cd可逆，

那么該方程組有唯一解x

y=ab

cd-1m

n，其中A-1=dad-bc-bad-bc

-cad-bcaad-bc.

3.二階矩陣的特征值和特征向量

（1）特征值與特征向量的概念

設(shè)A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)λ，存在一個非零向量α，使得Aα=λα，那么λ稱為A的一個特征值，而α稱為A的一個屬于特征值的一個特征向量.

（2）特征多項式與特征方程

設(shè)λ是二階矩陣A=ab

cd的一個特征值，它的一個特征向量為ξ=x

y，則Ax

y=λx

y，即x

y滿足二元一次方程組ax+by=λx，

cx+dy=λy，

故（λ-a）x-by=0

-cx+（λ-d）y=0λ-a-b

-cλ-dx

y=0

0（*），

則（*）式有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式λ-a-b

-cλ-d=0.

記f（λ）=λ-a-b

-cλ-d為矩陣A=ab

cd的特征多項式;方程λ-a-b

-cλ-d=0，

即f（λ）=0稱為矩陣A=ab

cd的特征方程.

（3）特征值與特征向量的計算

如果λ是二階矩陣的特征值，則λ是特征方程f（λ）=λ-a-b

-cλ-d=λ2-（a+d）λ+ad=-bc=0的一個根.解這個關(guān)于λ的二元一次方程，得λ=λ1、λ2，

將λ=λ1、λ2分別代入方程組（*），分別求出它們的一個非零解x=x1，

y=y1，x=x2，

y=y2.

記ξ1=x1

y1，ξ2=x2

y2.則Aξ1=λ1ξ1、Aξ2=λ2ξ2，

因此λ1、λ2是矩陣A=ab

cd的特征值，ξ1=x1

y1，ξ2=x2

y2為矩陣的分別屬于特征值λ1、λ2的一個特征向量.

三、考點直擊

“矩陣與變換”內(nèi)容不多，卻在高考中占“一席之地”.那么，在高考中涉及這個的內(nèi)容的主要考點有哪些呢？

1.二階矩陣與平面向量乘法的應(yīng)用

例1已知在二階矩陣M對應(yīng)變換的作用下，四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′，其中A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），A′（3，-3），B′（1，1），D′（-1，-1）.

（1）求出矩陣M;

（2）確定點D及點C′的坐標.

分析：已知在矩陣M對應(yīng)的變換作用下A→A′，B→B′，由此可求出矩陣M，再由矩陣M可求出點D及C′的坐標.

解：（1）設(shè)M=ab

cd，則有ab

cd1

1=3

-3，ab

cd-1

1=1

1，

故a+b=3

c+d=-3

-a+b=1

-c+d=1，解得a=1，b=2，c=-2，d=-1，∴M=12

-2-1.

（2）由12

-2-1-1

-1=-3

3知，C′（-3，3），

由12

-2-1x

y=-1

-1得，x+2y=-1

-2x-y=-1，解得x=1

y=-1.∴D（1，-1）.

評注：1.本例中已知“前”點，“后”點求M是解題的關(guān)鍵，根據(jù)二階矩陣與平面向量的乘法列出方程組后求矩陣.2.第（2）問中點D是“前”點，點C′是“后”點.解題過程中一定要分清，順序顛倒是常見的錯誤.

2.二階矩陣與曲線的變換

例2變換T是將平面上每個點M（x，y）的橫坐標乘2，縱坐標乘4，變到點M′（2x，4y）.

（1）求變換T的矩陣;

（2）圓C：x2+y2=1在變換T的作用下變成了什么圖形？

分析：本例已知變換T前后點的坐標，故先求出變換T的矩陣后，再利用此矩陣可求出圓C變換后的曲線方程，從而判斷圖形形狀.

解：（1）由已知得T：

x′

y′=Ax

y=2x

4y=20

04x

y，

∴變換T的矩陣是20

04.

（2）由x′=2x，y′=4y，得x=12x′，y=14y′.代入方程x2+y2=1，得14x′2+116y′2=1，

∴圓C：x2+y2=1在變換T的作用下變成了橢圓x24+y216=1.

評注：1.本例（1）中通過前后點的坐標的關(guān)系觀察得出矩陣，也可以設(shè)出矩陣A=ab

cd，列出方程組后求a，b，c，d，從而求出矩陣A;2.求出變換后的曲線方程后含有x′，y′，最后下結(jié)論時應(yīng)改為用x、y表示.

3.逆矩陣的求法及其應(yīng)用

例3已知A=1-2

2-1.

（1）求逆矩陣A-1;

（2）若矩陣X滿足AX=1

-1，求矩陣X.

分析：本題可直接利用公式求逆矩陣.

解：（1）|A|=1×（-1）-（-2）×2=3，

∴A-1=-1323

-2313.

（2）∵AX=1

-1，

∴X=A-11

-1=-1323

-23131

-1=-1

-1.

評注：求逆矩陣的方法各有千秋，有方程思想的體現(xiàn)，有公式法的簡潔展現(xiàn)，有線性變換的巧妙揭示，解題的過程中應(yīng)根據(jù)題目條件特點，恰當選取最優(yōu)方法解題.求逆矩陣的常見方法：

（1）待定系數(shù)法：設(shè)A是一個二階可逆矩陣ab

cd，AB=BA=E;

（2）公式法：|A|=ab

cd=ad-bc，有A-1=d|A|-b|A|

-c|A|a|A|，當且僅當|A|≠0;

（3）從幾何變換的角度求解二階矩陣的逆矩陣;

（4）利用逆矩陣的性質(zhì)（AB）-1=B-1A-1.

4.求矩陣的特征值，特征向量

例4求矩陣21

12的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量.

分析：求矩陣的特征值與特征向量可按照相應(yīng)的步驟進行，先寫出特征多項式，并求出特征值.

解：特征多項式f（λ）=λ-2-1

-1λ-2=（λ-2）2-1=λ2-4λ+3，

由f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=3，將λ1=1代入特征方程組，得-x-y=0

-x-y=0，

即x+y=0，可取1

-1為屬于特征值λ1=1的一個特征向量.

同理，λ2=3時，由x-y=0

-x+y=0，即x-y=0，所以可取1

1為屬于特征值λ2=3的一個特征向量.

綜上所述，矩陣21

12有兩個特征值λ1=1，λ2=3;屬于λ1=1的一個特征向量為1

-1，屬于λ2=3的一個特征向量為1

1.

評注：求矩陣的特征向量及特征值時，準確寫出特征多項式，解出特征方程的根是解題的前提.列出線性方程組后，根據(jù)系數(shù)特點恰當賦值求出特征向量，最后注意特征向量與特征值對應(yīng)要準確.求矩陣A=ab

cd的特征值，特征向量的步驟：第一步、列特征多項式f（λ）=λ-a-b

-cλ-d.第二步、求f（λ）=0的根，即特征值.第三步、針對不同的特征值，解相應(yīng)的線性方程組，得一個非零解，即特征向量.

5.Anα簡單表示

例5若10

21A=12

18，α=-3

-1.求A2α.

分析：本題涉及矩陣的乘法運算，Anα的表示，求出矩陣后可利用公式Anα=t1λn1ξ1+t2λn2ξ2求A2α，也可以直接求出A2后求A2α.

解：令M=10

21，∴|M|=1×1-0×2=1，

∴M-1=10

-21，

∴A=M-112

18=10

-2112

18=12

-14.

方法一：矩陣的特征多項式為

f（λ）=λ-1-2

1λ-4=λ2-5λ+6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3.

當λ1=2時，得α1=2

1;當λ2=3時，得α2=1

1.

又α=-2α1+α2，∴A2α=A2（-2α1+α2）=-2A2α1+A2α2=-2λ21α1+λ22α2=-232

1+321

1=-7

1.

方法二：A2=12

-1412

-14=-110

-514，∴A2α=-110

-514-3

-1=-7

評注：（1）設(shè)A是一個二階矩陣，α是矩陣的屬于特征值λ的任意一個特征向量，則Anα=λnα（n∈N*）.（2）設(shè)λ1，λ2是二階矩陣的兩個不同特征值，ξ1，ξ2是矩陣的分別屬于特征值λ1，λ2的特征向量，對于任意的非零平面向量α，設(shè)α=t1ξ1+t2ξ2（其中t1，t2為實數(shù)），則對任意的正整數(shù)n，有Anα=t1λn1ξ1+t2λn2ξ2.（3）對于求解Anα的問題，一般可利用矩陣的特征值求特征向量來解決，對n較小的情況，也可直接采用矩陣乘法來解決.

四、規(guī)律總結(jié)

1.矩陣相等實質(zhì)上是矩陣對應(yīng)元素相等，體現(xiàn)了方程思想，要注意矩陣對應(yīng)元素相等.

2.矩陣的乘法只滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律.

3.對于平面圖形的變換要分清是伸縮、反射、還是切變變換.

4.伸縮、反射、切變變換這三種幾何變換稱為初等變換，對應(yīng)的變換矩陣為初等變換矩陣，由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對應(yīng)于變換的復(fù)合，一一對應(yīng)的平面變換都可以看作這三種初等變換的一次或多次的復(fù)合.

5.逆矩陣的求法常用待定系數(shù)法.

6.若A，B兩個矩陣均存在可逆矩陣，則有（AB）-1=B-1A-1，若A，B，C為二階矩陣且A可逆，則當AB=AC時，有B=C，即此時矩陣乘法的消去律成立.

7.求Mnα，一般都是先求出矩陣M的特征值與特征向量，將α寫成t1α1+t2α2.利用性質(zhì)Mnα=t1λn1α1+t2λn2α2求解.

（作者：王佩其，太倉市明德高級中學）