數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決其他領(lǐng)域中的問題，高考對(duì)應(yīng)用題的考查已經(jīng)逐步成熟，特別是新課程標(biāo)準(zhǔn)出來之后，對(duì)應(yīng)用問題考查的力度正在加大，考試注重分析問題及方法的新穎性，提高了對(duì)同學(xué)們適應(yīng)陌生情境能力的考查.對(duì)于一些數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題，同學(xué)們往往感覺無從下手，十分困難.高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的命題背景常常關(guān)注一些與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、平面圖形、數(shù)列、空間圖形、概率統(tǒng)計(jì)等相關(guān)的問題.

一、與平面圖形相關(guān)的應(yīng)用題

例1如圖，現(xiàn)要在邊長為100m的正方形ABCD內(nèi)建一個(gè)交通“環(huán)島”.以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，在四個(gè)角分別建半徑為xm（x不小于9）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個(gè)半徑為15x2m的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于60m，繞島行駛的路寬均不小于10m.

（1）求x的取值范圍;（運(yùn)算中2取14）

（2）若中間草地的造價(jià)為a元/m2，四個(gè)花壇的造價(jià)為433ax元/m2，其余區(qū)域的造價(jià)為12a11元/m2，當(dāng)x取何值時(shí)，可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低？

①審題

（1）本題根據(jù)半徑、島口寬、路寬限制條件列方程組，即可得x的取值范圍;

（2）本題解題思路清晰，就是根據(jù)草地、花壇、其余區(qū)域的造價(jià)列函數(shù)關(guān)系式，再由導(dǎo)數(shù)求最值.

②建模

（1）由題意得，x≥9，

100-2x≥60，

1002-2x-2×15x2≥2×10，

解得x≥9，

x≤20，

-20≤x≤15，即9≤x≤15.

（2）記“環(huán)島”的整體造價(jià)為y元，則由題意得

y=a×π×（15x2）2+433ax×πx2+12a11×（104-π×（15x2）2-πx2）

=a11[π（-125x4+43x3-12x2）+12×104].

③求模

令f（x）=-125x4+43x3-12x2，則f′（x）=-425x3+4x2-24x=-4x（125x2-x+6），

由f′（x）=0，解得x=10或x=15.

列表如下：

x9（9，10）10（10，15）15

f′（x）-0+0

f（x）↘極小值↗

所以當(dāng)x=10，y取最小值.

④還原

答：當(dāng)x=10m時(shí)，可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低.

例2如圖，某廣場(chǎng)中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC=23π.管理部門欲在該地從M到D修建小路：在MN上選一

點(diǎn)P（異于M、N兩點(diǎn)），小路由MP、PQ和QD組成，其中小路PQ過點(diǎn)P且與BC平行.記小路總長為l.

（1）設(shè)∠PBC=θ，將l表示為θ的函數(shù)關(guān)系式，并求θ的取值范圍;

（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，小路總長l最短？

解：（1）連接PB，過P作PR∥CQ，在△PBR中

PBsinπ3=BRsin（2π3-θ）=PRsinθ

BR=233sin（2π3-θ），PR=233sinθ，

∴l(xiāng)=（2π3-θ）+[2-233sin（2π3-θ）]+[2-233sinθ]

=-3sinθ-cosθ-θ+2π3+4，0<θ<2π3.

（2）令l′=-3cosθ+sinθ-1=0，

即sinθ-3cosθ=1，

sin（θ-π3）=12，0<θ<2π3，

θ=π2，

又l在（0，π2）遞減，在（π2，2π3）遞增，

∴當(dāng)θ=π2時(shí)，小路總長l最短.

二、與函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題

例3為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=168-x-1，0≤x≤4，

5-12x，4<x≤10. 若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用.

（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？

（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a（1≤a≤4）個(gè)單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值（精確到01，參考數(shù)據(jù)：2取14）.

解：（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，

所以濃度f（x）=4y=648-x-4，0≤x≤4，

20-2x，4<x≤10.

則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由648-x-4≥4，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4.

當(dāng)4<x≤10時(shí)，由20-2x≥4解得x≤8，所以此時(shí)4<x≤8.

綜合得0≤x≤8，若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天.

（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x（6≤x≤10）天，

濃度g（x）=2（5-12x）+a[168-（x-6）-1]=10-x+16a14-x-a=（14-x）+16a14-x-a-4.

因?yàn)?4-x∈[4，8]，而1≤a≤4，

所以4a∈[4，8]，故當(dāng)且僅當(dāng)14-x=4a時(shí)，y有最小值為8a-a-4.

令8a-a-4≥4，解得24-162≤a≤4，所以a的最小值為24-162≈1.6.

三、與概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)的應(yīng)用題

例4某工廠三個(gè)車間共有工人1000名，各車間男、女工人數(shù)如下表：

第一車間第二車間第三車間

女工173100y

男工177xz

已知在全廠工人中隨機(jī)抽取1名，抽到第二車間男工的概率是0.15.

（1）求x的值;

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人，問應(yīng)在第三車間抽取多少名？

（3）已知y≥185，z≥185，求第三車間中女工比男工少的概率.

解：（1）由題意可知x1000=0.15，x=150.

（2）由題意可知第三車間共有工人數(shù)為1000-（173+177）-（100+150）=400名，則設(shè)應(yīng)在第三車間級(jí)抽取m名工人，則501000=m400，m=20.

（3）由題意可知y+z=400，且y≥185，z≥185，滿足條件的（y，z）有（185，215），（186，214），…，（215，185），共有31組.

設(shè)事件A：第三車間中女工比男工少，即y<z，滿足條件的（y，z）有（185，215），（186，214），…，（199，201），共有15組.

故P（A）=1531.

答：（1）x=150，（2）應(yīng)在第三車間抽取20名工人，（3）第三車間中女工比男工少的概率為1531.

四、與數(shù)列相關(guān)的應(yīng)用題

例5在金融危機(jī)中，某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2009根.現(xiàn)將它們堆放在一起.

（1）若堆放成縱斷面為正三角形（每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），并使剩余的圓鋼盡可能地少，則剩余了多少根圓鋼？

（2）若堆成縱斷面為等腰梯形（每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且不少于七層.

①共有幾種不同的方案？

②已知每根圓鋼的直徑為10cm，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m，則選擇哪個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地？

解：（1）當(dāng)縱斷面為正三角形時(shí)，設(shè)共堆放n層，則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，且剩余的圓鋼一定小于n根，從而由2009-n（n+1）2<n

n（n+1）2≤2009且n∈N*得，當(dāng)n=62時(shí)，使剩余的圓鋼盡可能地少，此時(shí)剩余了56根圓鋼.

（2）①當(dāng)縱斷面為等腰梯形時(shí)，設(shè)共堆放n層，則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以x為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，從而nx+12n（n-1）=2009，即n（2x+n-1）=2×2009=2×7×7×41，因n-1與n的奇偶性不同，所以2x+n-1與n的奇偶性也不同，且n<2x+n-1，從而由上述等式得：

n=7

2x+n-1=574或n=14

2x+n-1=287

或n=41

2x+n-1=98或n=49

2x+n-1=82，

所以共有4種方案可供選擇.

②因?qū)訑?shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，可知：

若n=41，則x=29，說明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時(shí)如圖所示，兩腰之長為400cm，上下底之長為280cm和680cm，從而梯形之高為2003cm，而2003+10<400所以符合條件;

若n=49，則x=17，說明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時(shí)如圖所示，兩腰之長為480cm，上下底之長為160cm和640cm，從而梯形之高為2403cm，顯然大于4m，不合條件，舍去，綜上所述，選擇堆放41層這個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地.

五、與空間圖形相關(guān)的應(yīng)用題

例6某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為803π立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).

已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c（c>3）千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.

（1）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;

（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.

解：（1）設(shè)容器的容積為V，

由題意知V=πr2l+43πr3，又V=80π3，

故l=V-43πr3πr2=803r2-43r=43（20r2-r）.

由于l≥2r，

因此0<r≤2.

所以建造費(fèi)用y=2πrl×3+4πr2c=2πr×43（20r2-r）×3+4πr2c，

因此y=4π（c-2）r2+160πr，0<r≤2.

（2）由（1）得y′=8π（c-2）r-160πr2

=8π（c-2）r2（r3-20c-2），0<r≤2.

由于c>3，所以c-2>0.

當(dāng)r3-20c-2=0時(shí)，r=320c-2.

令320c-2=m，則m>0，

所以y′=8π（c-2）r2（r-m）（r2+rm+m2）.

①當(dāng)0<m<2，即c>92時(shí)，

當(dāng)r=m時(shí)，y′=0;

當(dāng)r∈（0，m）時(shí)，y′<0;

當(dāng)r∈（m，2）時(shí)，y′>0，

所以r=m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).

②當(dāng)m≥2，即3<c≤92時(shí)，

當(dāng)r∈（0，2）時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)3<c≤92時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=2;

當(dāng)c>92時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=320c-2.

例7如圖，ABCD是正方形空地，邊長為30m，電源在點(diǎn)P處，點(diǎn)P到邊AD，AB距離分別為9m，3m.某廣告公司計(jì)劃在此空地

上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，MN∶NE=16∶9.線段MN必須過點(diǎn)P，端點(diǎn)M，N分別在邊AD，AB上，設(shè)AN=x（m），液晶廣告屏幕

MNEF的面積為S（m2）.

（1）用x的代數(shù)式表示AM;

（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及該函數(shù)的定義域;

（3）當(dāng)x取何值時(shí)，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最??？

解：（1）AM=3xx-9（10≤x≤30）.

（2）MN2=AN2+AM2=x2+9x2（x-9）2.

∵M(jìn)N∶NE=16∶9，∴NE=916MN.

∴S=MN·NE=916MN2=916[x2+9x2（x-9）2].

定義域?yàn)閇10，30].

（3）S′=916[2x+18x（x-9）2-9x2（2x-18）（x-9）4]

=98×x[（x-9）3-81]（x-9）3，

令S′=0，得x=0（舍），x=9+333.

當(dāng)10≤x<9+333時(shí)，S′<0，S關(guān)于x為減函數(shù);

當(dāng)9+333<x≤30時(shí)，S′>0，S關(guān)于x為增函數(shù);

∴當(dāng)x=9+333時(shí)，S取得最小值.

答：當(dāng)AN長為9+333m時(shí)，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小.

函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的信息量大，重點(diǎn)考查同學(xué)們處理問題的能力.在解應(yīng)用題時(shí)通常有以下步驟：首先是審題：理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ);接著是建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“模”是關(guān)鍵的一關(guān);然后求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程;最后還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原成實(shí)際問題的結(jié)果.

（作者：孫海建，如皋市第一中學(xué)）