在江蘇新課標(biāo)高考中，對《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的考查，以解答題的形式出現(xiàn)在附加題（理科）的選做題部分，占10分.由于此題難度不大，故而成為考生們的首選.對于高考來說，爭奪分?jǐn)?shù)才是硬道理.那么如何才能穩(wěn)穩(wěn)地把這10分收入囊中呢？希望本文對同學(xué)們有所啟發(fā).

一、高考要求

1.理解坐標(biāo)系的作用.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

2.會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）表示的極坐標(biāo)方程.

4.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.

5.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.

6.掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，能用直線的參數(shù)方程解決簡單的相關(guān)問題.

二、命題方向

縱觀近幾年江蘇新課標(biāo)高考，對坐標(biāo)系和參數(shù)方程，主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用.以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識.

三、知識梳理

1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化

把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為（x，y）和（ρ，θ），則

x=ρcosθ，

y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，

tanθ=yx（x≠0）.

2.直線的極坐標(biāo)方程

若直線過點M（ρ0，θ0），且極軸到此直線的角為α，則它的方程為ρsin（θ-α）=ρ0sin（θ0-α）.

幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程

（1）直線過極點：θ=α;

（2）直線過點M（a，0）且垂直于極軸：ρcosθ=a;

（3）直線過點M（b，π2）且平行于極軸：ρsinθ=b.

3.圓的極坐標(biāo)方程

若圓心為M（ρ0，θ0），半徑為r的圓的方程為ρ2-2ρ0ρcos（θ-θ0）+ρ20-r2=0.

幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程

（1）當(dāng)圓心位于極點，半徑為r：ρ=r;

（2）當(dāng)圓心位于M（r，0），半徑為r：ρ=2rcosθ;

（3）當(dāng)圓心位于M（r，π2），半徑為r：ρ=2rsinθ.

4.直線的參數(shù)方程

過定點M（x0，y0），傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數(shù)）.

5.圓的參數(shù)方程

圓心在點M（x0，y0），半徑為r的圓的參數(shù)方程為x=x0+rcosθ

y=y0+rsinθ（θ為參數(shù)，0≤θ≤2π）.

6.圓錐曲線的參數(shù)方程

（1）橢圓x2a2+y2b2=1的參數(shù)方程為x=acosθ

y=bsinθ（θ為參數(shù)）.

（2）拋物線y2=2px（p>0）的參數(shù)方程為x=2pt2

y=2pt（t為參數(shù)）.

四、考點分析

考點1平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換

例1求雙曲線C：x2-y264=1，經(jīng)過φ：x′=3x

2y′=y 變換后所得曲線C′的焦點坐標(biāo).

解：設(shè)曲線C′上任意一點P′（x′，y′）.

∵x′=3x，

2y′=y，∴x=13x′，

y=2y′

代入雙曲線C：x2-y264=1，

得x′29-4y′264=1，化簡得x′29-y′216=1，

即x29-y216=1為曲線C′的方程，可見仍是雙曲線.

則焦點F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0）.

方法感悟：

1.由伸縮變換公式得x=13x′且y=2y′代入曲線C的方程即得曲線C′的方程.

2.解答該類問題應(yīng)明確兩點：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用;二是明確變換前的P（x，y）與變換后的點P′（x′，y′）的坐標(biāo)關(guān)系，利用方程思想求解.

考點2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

例2（1）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點A的極坐標(biāo)為（2，π4），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-π4）=a，且點A在直線l上.求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程;

（2）已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，圓心為C，點P的極坐標(biāo)為（4，π3），求|CP|.

解：（1）∵點A在直線l上，∴把ρ=2，θ=π4代入直線l方程應(yīng)成立，

即2cos（π4-π4）=a，得a=2.

∴直線l的方程可化為ρ（cosθcosπ4+sinθsinπ4）=2，

化簡得ρcosθ+ρsinθ=2.

從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0.

（2）由ρ=4cosθ可得x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4，因此圓心C的直角坐標(biāo)為（2，0）.

又點P的直角坐標(biāo)為（2，23）.因此|CP|=23.

方法感悟：

1.進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，tanθ=yx（x≠0）.

2.進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時，注意ρ，θ的取值范圍及其影響;善于對方程進行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用;靈活運用代入法和平方法等技巧.

考點3極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

例3（1）在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數(shù)a的值.

（2）在極坐標(biāo)系中，已知圓C：ρ=4cosθ被直線l：ρsin（θ-π6）=a截得的弦長為23，求實數(shù)a的值.

解：（1）將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得圓的方程為x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1，直線的方程為3x+4y+a=0.

由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線的距離為1，即有|3×1+4×0+a|32+42=1，解得a=-8或a=2.

故a的值為-8或2.

（2）圓C：ρ=4cosθ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4x，

∴（x-2）2+y2=4，則圓心C（2，0），半徑r=2，

又直線l的直角坐標(biāo)方程為x-3y+2a=0.

∴圓心C到l的距離d=|2+2a|2=|1+a|，

因為l被圓C截得弦長為23.∴r2-d2=3，即4-|1+a|2=3.∴a=0或a=-2.

方法感悟：

1.（1）（2）中的極坐標(biāo)方程均化為直角坐標(biāo)方程求解.

2.由極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.

考點4參數(shù)方程與普通方程的互化

例4已知直線l的參數(shù)方程為x=a-2t

y=-4t（t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為x=4cosθ

y=4sinθ（θ為參數(shù)）.

（1）求直線l和圓C的普通方程;

（2）若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.

解：（1）因為直線l的參數(shù)方程為x=a-2t

y=-4t（t為參數(shù)），

由x=a-2t，得t=a-x2，代入y=-4t，得到直線l的普通方程為2x-y-2a=0.

同理可得曲線C的普通方程為x2+y2=16.

（2）因為直線l與圓C有公共點，

故圓C的圓心到直線l的距離d=|-2a|5≤4，解得-25≤a≤25.

方法感悟：

1.參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，消參可用代入消參或利用恒等式消參等.

2.參數(shù)方程化為普通方程時，不僅要消去參數(shù)，還應(yīng)注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致.

考點5參數(shù)方程的應(yīng)用

例5已知直線l過點P（2，0），斜率為43，直線l和拋物線y2=2x相交于A、B兩點，設(shè)線段AB的中點為M，求：

（1）P、M兩點間的距離|PM|;

（2）M點的坐標(biāo);

（3）線段AB的長.

解：（1）∵直線l過點P（2，0），斜率為43，設(shè)直線的傾斜角為α，則

tanα=43，cosα=35，sinα=45，

∴直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為x=2+35t

y=45t（t為參數(shù)）（*）

∵直線l和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y2=2x，

整理得8t2-15t-50=0，Δ=152+4×8×50>0，

設(shè)這個二次方程的兩個根分別為t1，t2，

由根與系數(shù)的關(guān)系得t1+t2=158，t1t2=-254，

由M為線段AB的中點，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，得|PM|=t1+t22=1516.

（2）∵中點M所對應(yīng)的參數(shù)為tM=1516，將此值代入直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程（*），則

M點的坐標(biāo)為x=2+35×1516=4116

y=45×1516=34，

即M（4116，34）.

（3）|AB|=|t2-t1|=（t1+t2）2-4t1t2

=5873.

方法感悟：

1.涉及過定點的線段長度或距離常選用直線的參數(shù)方程：若α為直線的傾斜角，則參數(shù)方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數(shù)）.

2.對于形如x=x0+at

y=y0+bt（t為參數(shù)）的參數(shù)方程，當(dāng)a2+b2≠1時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題.

考點6參數(shù)方程和極坐標(biāo)的綜合問題

例6在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2cosα

y=2+2sinα（α為參數(shù)），M是C1上的動點，點P滿足OP=2OM，點P的軌跡為曲線C2.

（1）求C2的參數(shù)方程;

（2）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ=π3與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.

解：（1）由OP=2OM知，點M是線段OP的中點.設(shè)點P（x，y），則M（x2，y2），

∵點M在曲線C1：x=2cosα

y=2+2sinα上，

所以x2=2cosα

y2=2+2sinα即x=4cosα，

y=4+4sinα.

從而曲線C2的參數(shù)方程為x=4cosα

y=4+4sinα（α為參數(shù)）.

（2）曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ.

∴射線θ=π3與C1的交點A的極徑ρ1=4sinπ3，

射線θ=π3與C2的交點B的極徑ρ2=8sinπ3.

故|AB|=|ρ2-ρ1|=4sinπ3=23.

方法感悟：

1.第（2）問利用極坐標(biāo)方程求兩點間的距離，要注意兩點：（1）準(zhǔn)確把曲線C1，C2化為極坐標(biāo)方程;（2）理解極徑的意義.

2.本題將極坐標(biāo)與參數(shù)方程交織在一起，考查邏輯思維能力及運算求解能力.善于將各類方程相互轉(zhuǎn)化是求解該類問題的前提.

五、友情提示

1.平面上點的直角坐標(biāo)的表示形式是唯一的，但點的極坐標(biāo)的表示形式不唯一.

2.極坐標(biāo)問題通常有兩種研究方法：一是用極坐標(biāo)的知識直接求解;二是轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)的形式，用直角坐標(biāo)的知識求解.

3.進行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時，一要注意ρ，θ的取值范圍及其影響.二要重視方程的變形及公式的正用、逆用、變形使用.

4.在解決參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程問題時，常將各類方程相互轉(zhuǎn)化以方便求解.

5.將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意參數(shù)的取值范圍對普通方程中x，y的取值范圍的影響.

6.設(shè)過點M（x0，y0）的直線l交曲線C于A、B兩點，若直線的參數(shù)方程為x=x0+tcosα，

y=y0+tsinα（t為參數(shù)）注意兩個結(jié)論的應(yīng)用：（1）|AB|=|t1-t2|;（2）|MA|·|MB|=|t1·t2|.

（作者：單曉敏，太倉市明德高級中學(xué)）