一、基本事件

在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件;如拋擲一枚骰子，擲出點(diǎn)數(shù)可能出現(xiàn)“點(diǎn)數(shù)1”“點(diǎn)數(shù)2”……“點(diǎn)數(shù)6”這六個(gè)基本事件.通常試驗(yàn)中的某一個(gè)事件A，由幾個(gè)基本事件組成，如拋擲一粒骰子，拋擲出的“點(diǎn)數(shù)大于2”這一事件包括了“點(diǎn)數(shù)3”“點(diǎn)數(shù)4”“點(diǎn)數(shù)5”“點(diǎn)數(shù)6”四個(gè)基本事件.

二、等可能基本事件

若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件;當(dāng)然也存在著可能性不相等的基本事件.如拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面”“一正一反”三個(gè)基本事件就不是等可能的，事實(shí)應(yīng)該分為“正正”“正反”“反正”“反反”四個(gè)等可能性的基本事件.

三、每一個(gè)基本事件的概率

如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，即此實(shí)驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有出現(xiàn)的結(jié)果可能性相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n，如上述問(wèn)題中投擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)結(jié)果有6種，即由6個(gè)基本事件組成，那么出現(xiàn)“點(diǎn)數(shù)1”“點(diǎn)數(shù)2”……“點(diǎn)數(shù)6”的概率則都是16.

例1袋子中裝有紅、白、黃、黑顏色不同但大小相同的四個(gè)小球.

（1）從袋子中任意取一個(gè)球;

（2）從中任意取兩個(gè)球;

（3）先后各取一個(gè)球，分別寫出上面試驗(yàn)的基本事件，并指出基本事件總數(shù).

分析：本題的關(guān)鍵是需要弄清楚一次試驗(yàn)的條件和結(jié)果，如（2）（3）小題雖然試驗(yàn)的條件都是“取兩個(gè)球”，但是（2）是無(wú)順序的條件，（3）是有順序的條件，因此得到的結(jié)果是不同的.

解：（1）這個(gè)試驗(yàn)的基本事件：紅、白、黃、黑，基本事件的總數(shù)是4.

（2）一次取兩球，如記（紅，白）代表一次取出紅球，白球兩個(gè)，則本試驗(yàn)的基本事件為：（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黑，黃），基本事件的總數(shù)是6.

（3）先后各取一球，如記（紅，白）代表先取一紅球，后取一白球，因此本試驗(yàn)的基本事件為（紅，白），（白，紅），（紅，黃），（黃，紅），（紅，黑），（黑，紅），（白，黃），（黃，白），（白，黑），（黑，白），（黃，黑），（黑，黃），基本事件的總數(shù)是12.

評(píng)注：在求等可能的基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件時(shí)，特別要注意區(qū)分是有序還是無(wú)序.

四、古典概型

①所有的基本事件只有有限個(gè);②每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，我們將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型.

五、古典概型的概率

如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是1n，如果某個(gè)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=mn.

例2同時(shí)拋擲兩顆骰子.

（1）一共有多少種不同的結(jié)果？

（2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？

（3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？

分析：本題同樣是古典概型問(wèn)題，可直接應(yīng)用古典概型公式來(lái)解決.

解：（1）拋擲一顆骰子的結(jié)果有6種，我們把兩顆骰子標(biāo)上記號(hào)1，2以便于區(qū)分，由于1號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與2號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成同時(shí)拋擲兩顆骰子的一個(gè)結(jié)果，因此同時(shí)拋擲兩個(gè)骰子的結(jié)果共有36種;

（2）在上面的所有結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4種，

（3）由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果（記為事件A）有4種，因此由古典概型的概率計(jì)算公式可得到P（A）=436=19.

評(píng)注：要能準(zhǔn)確把握基本事件的總數(shù)，求基本事件的總數(shù)也常常用列舉法.

六、抽樣有序性與無(wú)序性

有序抽樣與無(wú)序抽樣所得到的基本事件總數(shù)是不一樣的.

例3袋子中有紅、白、黃、黑顏色不同大小相同的四個(gè)小球.

（1）從中任意取一球，求取出白球的概率;

（2）從中任意取兩球，求取出的是紅球，白球的概率;

（3）先后各取一球，求先取出的是紅球、后取出的是白球的概率.

分析：在解決本題中，要注意關(guān)鍵詞從中任意取兩球與先后各取一球.

解：（1）設(shè)A表示“取出白球”，在“從中任意取一球”這個(gè)試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的結(jié)果有四種，“取出紅球‘“取出白球”“取出黃球”“取出黑球”，P（A）=14.

（2）設(shè)B表示“取出的兩個(gè)球是紅球和白球”，在“從中任取兩球”這個(gè)試驗(yàn)中的等可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種，（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，黑），則P（B）=16.

（3）設(shè)C表示“先后分別取出的是紅球、白球”，注意“先后各取一球”這一試驗(yàn)有順序，所以在“先后個(gè)各取一球”這一試驗(yàn)的結(jié)果可能有12種，（紅，白），（白，紅），（紅，黃），（黃，紅），（紅，黑），（黑，紅），（白，黃），（黃，白），（白，黑），（黑，白），（黃，黑），（黑，黃），則P（C）=112.

評(píng)注：“從中任取兩球”和“先后各取一球”是兩種不同的試驗(yàn)，前者無(wú)順序性，后者是順序性，兩種情況的基本事件是不一樣的.

七、有放回抽樣與無(wú)放回抽樣

例4從含有2件正品a1、a2和一件次品b的三件產(chǎn)品中每次任意抽取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取2次，記“取出的兩件中恰好有一件次品”為事件A，如果將“每次取出后不放回”換成“每次取出后放回”，連續(xù)取2次，記“取出的兩件中恰有一件次品”為事件B，求P（A）與P（B）.

分析：本題錯(cuò)在混淆“每次取出后不放回”與“每次取出來(lái)后放回”.從3件產(chǎn)品中不放回地抽取2件和有放回抽取2件的基本事件都不是很大，可以一一列舉出來(lái).

解：（1）每次任意取1件，取出后不放回連續(xù)抽取兩次，所有可能的結(jié)果是（a1，b）、（b，a1），（a2，b），（b，a2），（a1，a2），（a2，a1）共6個(gè)基本事件，取出的2件恰有一件次品的事件A包含的結(jié)果是（a1，b）、（a2，b）、（b，a1）、（b，a2）共4個(gè)基本事件，所以P（A）=23.

（2）若有放回地連續(xù)抽取兩次，所有可能的結(jié)果是（a1，b）、（b，a1），（a2，b），（b，a2），（a1，a2），（a2，a1）、（b，b）、（a1，a1）（a2，a2）共9個(gè)基本事件，取出的2件中恰好有一件次品的事件B包含的結(jié)果是（a1，b）、（a2，b）、（b，a1）、（b，a2）共4個(gè)基本事件，所以P（B）=49.

評(píng)注：在隨機(jī)抽樣中，要注意放回抽樣與無(wú)放回抽樣，應(yīng)該注意兩者的區(qū)別：①有放回抽樣：每次摸出一個(gè)球后，仍然放回到口袋中，然后再摸一個(gè)球，這種摸球的方法則稱為有放回抽樣，顯然，對(duì)于有放回抽樣，依次摸出的球可以重復(fù)，且摸球可以無(wú)限制的進(jìn)行下去.②無(wú)放回抽樣，每次摸出一只球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，這種摸球的方法則稱為無(wú)放回抽樣，顯然對(duì)于無(wú)放回抽樣，每次某出的球不會(huì)重復(fù)，且摸球的次數(shù)只能是有限的.

且行且思，對(duì)于古典概型問(wèn)題，只要把握上述類型的典型問(wèn)題，注意古典概型的概念及特點(diǎn)，則解決相關(guān)問(wèn)題一定輕松自如.

（作者：周文國(guó)，江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校）