方存洋， 施勝丹

(國(guó)電南瑞科技股份有限公司，江蘇 南京 211106)

基于SVG控制應(yīng)用的數(shù)字濾波器實(shí)用設(shè)計(jì)

方存洋， 施勝丹

(國(guó)電南瑞科技股份有限公司，江蘇 南京 211106)

IIR型數(shù)字濾波器憑借其優(yōu)良的衰減特性在利用軟件處理信號(hào)的場(chǎng)合應(yīng)用廣泛。針對(duì)無(wú)功發(fā)生器(svg)控制保護(hù)裝置應(yīng)用程序開(kāi)發(fā)過(guò)程中所使用的IIR數(shù)字濾波器，利用MATLAB中的FDAtool工具獲得階數(shù)和傳遞函數(shù)系數(shù)，并通過(guò)微調(diào)零極點(diǎn)位置獲得較為理想的幅頻曲線，并輸出系數(shù)寫(xiě)入控制程序的函數(shù)中；分析采樣周期對(duì)濾波器零極點(diǎn)位置的影響，在不同采樣周期下，數(shù)字濾波器零極點(diǎn)位置發(fā)生改變，產(chǎn)生新的傳遞函數(shù)系數(shù)。經(jīng)過(guò)在實(shí)際裝置中的測(cè)試，獲得了良好的濾波效果。

數(shù)字濾波器；采樣周期；FDAtool；零極點(diǎn)；系數(shù)微調(diào)

0 引 言

數(shù)字濾波器所具有的運(yùn)用靈活方便，幅頻、相頻特性可以分別給出等優(yōu)點(diǎn)，使得利用程序?qū)崿F(xiàn)的數(shù)字濾波器成為信號(hào)處理的主要手段之一[1]。常用的數(shù)字濾波器有無(wú)限沖擊響應(yīng)數(shù)字濾波器(IIR)和有限沖擊響應(yīng)數(shù)字濾波器(FIR)。IIR輸出為過(guò)去輸出與現(xiàn)時(shí)輸入的加權(quán)和，計(jì)算量遠(yuǎn)小于FIR，且可借助模擬濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，有大量圖表可查，方便簡(jiǎn)單，但其幅頻特性受采樣周期的影響很大，存在混迭效應(yīng)；FIR相位線性，但要取得好的衰減特性，一般階次要高[2-4]。在實(shí)際產(chǎn)品開(kāi)發(fā)過(guò)程中，對(duì)計(jì)算量、響應(yīng)時(shí)間等有較高的要求，為此一般采用IIR型數(shù)字濾波器。在應(yīng)用IIR數(shù)字濾波器時(shí)，不同的采樣周期對(duì)應(yīng)不同的傳遞函數(shù)系數(shù)，且由于其輸出與過(guò)去輸出有關(guān)，對(duì)系數(shù)要求非常高，一旦出現(xiàn)偏差(或舍入誤差不合適)，將影響濾波器效果，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。本文分析了采樣周期變化對(duì)IIR數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)中系數(shù)的影響，借助于MATLAB仿真軟件中的FDAtool工具計(jì)算系數(shù)，并在SVG控制保護(hù)裝置的實(shí)際程序中應(yīng)用，通過(guò)錄波獲得濾波效果的偏差，以微調(diào)零極點(diǎn)的位置，最終獲得此控制系統(tǒng)下理想的濾波性能。

1 IIR數(shù)字濾波器原理

采用直接Ⅱ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(如圖1所示)的N階IIR數(shù)字濾波器，其傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為[5-6]：

(1)

上式具有N個(gè)零點(diǎn)zi和N個(gè)極點(diǎn)pi。將式(1)寫(xiě)成如下形式：

(2)

若|pi|<1，當(dāng)z→∞時(shí)，H(z)→0，系統(tǒng)穩(wěn)定，此時(shí)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)；若|pi|>1，當(dāng)z→∞時(shí)，H(z)→∞，系統(tǒng)不穩(wěn)定，此時(shí)極點(diǎn)位于單位圓外。

圖1 IIR直接Ⅱ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

2 采樣周期對(duì)系數(shù)的影響分析

設(shè)計(jì)IIR低通濾波器，需要知道以下目標(biāo)參數(shù)：采樣周期，通帶邊緣(截止)頻率fp，阻帶邊緣(起始)頻率，通帶內(nèi)波動(dòng)，阻帶內(nèi)最小衰減。設(shè)計(jì)一個(gè)IIR數(shù)字濾波器的步驟如圖2所示。

圖2 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟示意圖

其中采樣周期對(duì)IIR數(shù)字濾波器性能的影響主要體現(xiàn)在模擬濾波器離散化過(guò)程中，模擬濾波器的離散化主要有沖擊不變變換法和雙線性變換法[7]。

模擬濾波器傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

(3)

其中ξi是H(s)在pi處的留數(shù)。

對(duì)式(3)進(jìn)行拉普拉斯逆變換，可得：

(4)

對(duì)h(t)進(jìn)行抽樣，可得差分方程：

(5)

對(duì)式(5)進(jìn)行z變換即可得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：

(6)

對(duì)比式(3)和式(6)，發(fā)現(xiàn)與模擬濾波器極點(diǎn)pi對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器極點(diǎn)為epiTs。由此可見(jiàn)，在IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程中，傳遞函數(shù)(濾波器性能)受采樣頻率影響。

在實(shí)際應(yīng)用程序中，數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)依靠其傳遞函數(shù)實(shí)現(xiàn)，在已知階數(shù)得到傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式后，獲得一組傳遞函數(shù)系數(shù)即可完成一個(gè)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。由式(2)可知，傳遞函數(shù)分母系數(shù)ai=epiTs，一旦采樣周期發(fā)生變化，傳遞函數(shù)的分母系數(shù)也要跟著改變。

令原來(lái)的采樣周期為T(mén)s1，新的采樣周期為T(mén)s2，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為ai1=epiTs1，則pi=(logai)/Ts1，濾波特性不變，則模擬濾波器的極點(diǎn)位置不變。

(7)

3 系數(shù)計(jì)算

3.1 系數(shù)的基本確定步驟

在實(shí)際應(yīng)用中，設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的具體步驟如圖3所示。

圖3 實(shí)際應(yīng)用中數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程

由圖3 可見(jiàn)，在FDAtool工具中輸入目標(biāo)參數(shù)，獲得數(shù)字濾波器階數(shù)和傳遞函數(shù)系數(shù)后，寫(xiě)入實(shí)際應(yīng)用程序中獲得的濾波波形會(huì)與理想情況下有偏差。這是由于實(shí)際程序存在有限字長(zhǎng)效應(yīng)，運(yùn)算過(guò)程中將對(duì)系數(shù)進(jìn)行舍入處理，從而引起極點(diǎn)的偏移，這種情況很容易帶來(lái)穩(wěn)定性問(wèn)題，甚至造成寄生振蕩。為此，需要在獲得系數(shù)后，結(jié)合程序運(yùn)行帶來(lái)的實(shí)際效果進(jìn)行微調(diào)，使得系數(shù)舍入誤差在穩(wěn)定范圍內(nèi)。

在實(shí)際數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程中，必須進(jìn)行傳遞函數(shù)系數(shù)的微調(diào)。本文采用零極點(diǎn)位置微調(diào)法，具體為：

1)利用FDAtool工具進(jìn)行系數(shù)計(jì)算，同時(shí)查看此刻零極點(diǎn)位置，幅頻、相頻特性曲線(FDAtool界面如圖4所示)；

2)與理想的幅頻、相頻特性曲線進(jìn)行比較(主要查看截止頻率)，如不滿足要求，可通過(guò)移動(dòng)零極點(diǎn)位置進(jìn)行修正，直至獲得希望的幅頻、相頻特性曲線(性能曲線通過(guò)圖4所示右上角圖標(biāo)查看)；

3)查看濾波器傳遞函數(shù)的各系數(shù)ai、bi，寫(xiě)入實(shí)際程序后在裝置中運(yùn)行，錄波查看數(shù)字濾波器輸出波形，分析諧波以驗(yàn)證此濾波器性能。若濾波效果不理想，返回第2)步，直至獲得理想濾波效果。

圖4 FDAtool工具菜單界面

3.2 僅采樣周期變化時(shí)系數(shù)的確定方法

在SVG開(kāi)發(fā)過(guò)程中，發(fā)生僅采樣周期改變，而濾波性能要求不變的情況，可以通過(guò)兩種方式獲得新的傳遞函數(shù)系數(shù)：

1)在第一步通過(guò)目標(biāo)參數(shù)獲得原始傳遞函數(shù)系數(shù)時(shí)，即輸入新的采樣周期，而后按照3.1節(jié)所述步驟進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)；

2)根據(jù)式(7)獲得傳遞函數(shù)系數(shù)，再利用零極點(diǎn)位置微調(diào)獲得較為理想的濾波器。

4 零極點(diǎn)微調(diào)方法

在系數(shù)計(jì)算部分已經(jīng)提到，在根據(jù)目標(biāo)參數(shù)獲得濾波器階數(shù)和傳遞函數(shù)原始系數(shù)后，需要通過(guò)微調(diào)零極點(diǎn)位置獲得相對(duì)理想的濾波效果。FDAtool調(diào)整零極點(diǎn)位置的界面如圖5所示。

圖5 零極點(diǎn)位置調(diào)整界面

零極點(diǎn)的個(gè)數(shù)與濾波器階數(shù)有關(guān)，此處為系數(shù)微調(diào)，為此一般零極點(diǎn)的個(gè)數(shù)保持不變，僅通過(guò)移動(dòng)零極點(diǎn)位置完成調(diào)整。如圖5所示，界面上半部分顯示幅頻特性曲線，界面下半部分為零極點(diǎn)調(diào)整界面，零極點(diǎn)位置發(fā)生改變后，可在上半界面的特性曲線中查看截止頻率等信息。

零極點(diǎn)位置微調(diào)過(guò)程中可參考如下規(guī)律：

1)極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)部；

2)單位圓附近的零點(diǎn)會(huì)在濾波器幅頻特性的相應(yīng)頻率處產(chǎn)生陷落，零點(diǎn)離單位圓越近，陷落越深；

3)單位圓附近的極點(diǎn)會(huì)在濾波器幅頻特性的相應(yīng)頻率處產(chǎn)生凸峰，極點(diǎn)離單位圓越近，凸峰越高。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

SVG控制程序中，采樣周期為10 kHz，主要使用低通濾波器，階數(shù)一般為1或者2，以圖6(a)所示波形為例進(jìn)行濾波，設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為80 Hz左右的IIR數(shù)字濾波器。在MATLAB的FDAtool中輸入數(shù)字濾波器的目標(biāo)參數(shù)，可得濾波器階數(shù)為2，該濾波器傳遞函數(shù)的系數(shù)為：b0=0.000 609 854 7，b1=0.001 219 709 4，b2=0.000 609 854 7；a0=1，a1=-1.928 942 26，a2=0.931 381 68。

將此組系數(shù)寫(xiě)入程序中的二階濾波器函數(shù)，對(duì)輸出波形錄波后發(fā)現(xiàn)，高頻諧波含量明顯下降，但2次諧波增大?？梢?jiàn)，此組系

數(shù)在本控制系統(tǒng)中不合適，引起了共振，為此進(jìn)行零極點(diǎn)位置微調(diào)，最終獲得較為理想的波形，此時(shí)的系數(shù)為：b0=0.000 537 169 8，b1=0.001 074 339 6，b2=0.000 537 169 8；a0=1，a1=-1.933 380 2，a2=0.935 528 9。濾波前后的波形及諧波含量情況分別如圖6～圖9所示。

圖6 濾波前后電流波形及其諧波含量分析

圖7 濾波前諧波含量分析

圖8 與系統(tǒng)共振時(shí)諧波分布

圖9 諧波后諧波含量分布

采樣周期變?yōu)? kHz，傳遞函數(shù)的系數(shù)為：b0=0.000 660 779，b1=0.001 3215 58，b2=0.000 660 779；a0=1，a1=-1.925 984，a2=0.928 627，獲得的濾波后波形如圖10所示。

圖10 采樣周期為9 kHz時(shí)，濾波后電流波形

6 結(jié)束語(yǔ)

利用MATLAB軟件中的FDAtool工具可簡(jiǎn)化IIR型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟，而結(jié)合實(shí)際錄波獲得的濾波效果，進(jìn)行零極點(diǎn)位置微調(diào)則簡(jiǎn)單直觀的抵消了有限字長(zhǎng)帶來(lái)的混迭效應(yīng)，獲得理想的濾波效果；采樣周期對(duì)傳遞函數(shù)的系數(shù)有影響，通過(guò)系數(shù)調(diào)整，可獲得相同的濾波效果。數(shù)字濾波器應(yīng)用廣泛，分析采樣周

期對(duì)傳遞函數(shù)系數(shù)的影響、掌握其實(shí)用設(shè)計(jì)技術(shù)，具有深刻的意義。

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Practical Design of a Digital Filter Based on SVG Control Application

Fang Cunyang, Shi Shengdan

(NARI Technology Co., Ltd., Nanjing Jiangsu 211106, China)

IIR digital filters find wide application in signal processing through software thanks to their excellent attenuation characteristics. With regards to IIR digital filters used in the development of application programs for the control protection device for Static Var Generator (SVG), FDAtool in Matlab is used to provide the order number and transfer function coefficient, a quite ideal amplitude-frequency curve is obtained through fine-tuning of the pole zero position in the tool, and the output coefficient is written into the function of the control program. This paper further analyzes the effect of sampling period upon pole zero position of the filter. For different sampling periods, the digital filter’s pole zero position differs from each other, thus generating a new transfer function coefficient. A good filtering effect is achieved as shown in the test on actual devices.

digital filter; sampling period; FDA tool; pole-zero; coefficient fine-tuning

10.3969/j.issn.1000-3886.2016.06.009

TN713+.7

A

1000-3886(2016)06-0027-04

方存洋(1968-)，男，安徽人，本科，工程師，主要研究方向：電力電子無(wú)功補(bǔ)償技術(shù)。

定稿日期: 2016-06-09