胡雨石 王天冶 梅葉峰 張 釗 寧傳剛

(1清華大學(xué)物理系低維量子物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084； 2人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080)

測(cè)量繆子壽命和衰變能譜的簡(jiǎn)單裝置及其蒙特卡洛模擬

胡雨石1,2王天冶1,2梅葉峰1張 釗1寧傳剛1

(1清華大學(xué)物理系低維量子物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；2人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080)

文章設(shè)計(jì)了一套簡(jiǎn)單的測(cè)量繆子平均壽命和衰變能譜的裝置.用閃爍體探測(cè)器測(cè)量繆子衰變事件，探測(cè)器的輸出信號(hào)用一個(gè)簡(jiǎn)單低成本的信號(hào)判選電路判選出繆子衰變事件，并觸發(fā)數(shù)字示波器記錄繆子衰變的信號(hào).一個(gè)自行編寫(xiě)的可視化控制軟件可以從這些記錄的信號(hào)中分析出繆子的平均壽命和衰變能譜.本文還提出了一種用能量損失的朗道分布進(jìn)行系統(tǒng)能量定標(biāo)的方法.對(duì)探測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行了蒙特卡洛模擬，很好重現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)結(jié)果.該套系統(tǒng)中所有的硬件和軟件都是對(duì)學(xué)生完全開(kāi)放的，非常適合用于教學(xué)實(shí)驗(yàn).

宇宙線繆子；繆子衰變；能譜；朗道分布；蒙特卡洛模擬

1 繆子衰變的研究

2 測(cè)量原理

因?yàn)槌杀镜拇蠓档?，?shù)字示波器已經(jīng)成為了實(shí)驗(yàn)室里的常見(jiàn)儀器.一個(gè)帶寬100MHz，采樣率1G/s的數(shù)字示波器價(jià)格僅為5000元人民幣左右.大部分?jǐn)?shù)字示波器可以通過(guò)USB接口與電腦連接.通過(guò)電腦的遠(yuǎn)程控制，數(shù)字示波器可以被用作一個(gè)數(shù)據(jù)采集器.與傳統(tǒng)的數(shù)字轉(zhuǎn)換器相比，數(shù)字示波器的優(yōu)勢(shì)在于其超高的采樣速率和極大的輸入信號(hào)量程(毫伏至20V).唯一的不足在于相對(duì)較低的信號(hào)傳輸速率.一般而言，一個(gè)計(jì)算機(jī)通過(guò)USB接口接收數(shù)據(jù)的速率大約為每秒鐘20次.不過(guò)，這已經(jīng)足夠被用于處理本實(shí)驗(yàn)中宇宙線繆子的研究.比如，對(duì)于一個(gè)重約25kg的塑料閃爍體探測(cè)器，繆子衰變信號(hào)產(chǎn)生速率大約為0.1/s，但繆子穿越探測(cè)器信號(hào)的產(chǎn)生速率會(huì)比其大得多.因此，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)特殊的信號(hào)判選電路來(lái)選擇出繆子衰變事件.如果一個(gè)繆子在探測(cè)器內(nèi)衰變，我們會(huì)在繆子信號(hào)后緊接著看到一個(gè)電子信號(hào).因此，我們認(rèn)為，如果兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔小于22μs(繆子壽命的10倍)，則其很大概率是一個(gè)繆子衰變信號(hào).圖1是我們測(cè)量方法的示意圖.

圖1 繆子衰變信號(hào)判選的示意圖.

探測(cè)器產(chǎn)生的信號(hào)會(huì)與一個(gè)固定的閾值進(jìn)行比較(圖中的虛線).如果電壓大于閾值，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)窄脈沖(A，寬度約為50ns).信號(hào)A消失后會(huì)緊接著產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)脈沖(B，寬度約為22μs).如果在22μs時(shí)間內(nèi)又出現(xiàn)一個(gè)信號(hào)A，電路會(huì)產(chǎn)生觸發(fā)信號(hào)“A&B”并觸發(fā)數(shù)字示波器記錄波形.

圖2展示的是實(shí)現(xiàn)圖1功能的電路圖.一個(gè)高速比較器(反應(yīng)時(shí)間40ns)被用作脈沖幅度判別器.比較器的閾值電壓可以通過(guò)一個(gè)電位器調(diào)節(jié).其輸出信號(hào)被一個(gè)與非門(mén)(74LS00)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)TTL脈沖，并通過(guò)一個(gè)下降沿觸發(fā)輸入(U1B，pin9)觸發(fā)一個(gè)單穩(wěn)觸發(fā)器(74LS221).它的輸出信號(hào)是一個(gè)寬度為50ns的窄脈沖(U1B, pin5)，會(huì)再通過(guò)一個(gè)下降沿輸入(U4A，pin1)觸發(fā)另個(gè)一單穩(wěn)觸發(fā)器(U4A)，并產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為22μs 的脈沖(U4A，pin13).長(zhǎng)脈沖和短脈沖會(huì)經(jīng)過(guò)一個(gè)與非門(mén)(U2B)，其產(chǎn)生的觸發(fā)信號(hào)被用來(lái)觸發(fā)數(shù)字示波器.發(fā)光二極管 D1 的閃光指示探測(cè)到繆子信號(hào)，D2的閃光指示繆子衰變事件.這個(gè)簡(jiǎn)單的電路可以被大部分缺少電子學(xué)經(jīng)驗(yàn)的本科生搭建出來(lái).

圖2 繆子衰變信號(hào)判選電路圖

探測(cè)器的核心是一個(gè)直徑31cm，高35cm的圓柱形塑料閃爍體，材料為NE102，其密度為1.02g/cm3.當(dāng)一個(gè)高能繆子或電子穿越探測(cè)器時(shí)，其軌跡上會(huì)產(chǎn)生微弱的熒光.這些熒光會(huì)被光電倍增管(PMT)接收并放大為電信號(hào).為了增加光的收集率，探測(cè)器被一層氧化鋯反射層包裹，并用黑紙包裹防止光的泄露.光電倍增管的型號(hào)為GDB52B，是從一個(gè)舊的NaI(TI)γ射線探測(cè)器上拆卸下的.在實(shí)驗(yàn)中，光電倍增管的工作電壓為-1200V，由一個(gè)可變高壓電源(HV)提供.光電倍增管在屏蔽管內(nèi)集成了一個(gè)預(yù)放大器.其一般的輸出電壓大約為0.5V，脈沖寬度20ns. 在一個(gè)典型的繆子衰變事件中，第一個(gè)信號(hào)是由繆子進(jìn)入探測(cè)器產(chǎn)生，第二個(gè)信號(hào)由繆子衰變產(chǎn)生的電子產(chǎn)生.兩個(gè)脈沖信號(hào)之間的時(shí)間差就是這個(gè)繆子的壽命.信號(hào)的電壓幅度與粒子在探測(cè)器中沉積的能量成正比.因此通過(guò)測(cè)量?jī)蓚€(gè)脈沖的時(shí)間差便可以得到繆子的壽命譜，通過(guò)測(cè)量?jī)蓚€(gè)脈沖的高度便可以得到粒子的能量譜.

為了進(jìn)行能量定標(biāo)，我們又在探測(cè)器的上方和下方加入了兩塊小探測(cè)器，確保宇宙線粒子是垂直入射的.塑料閃爍體的密度為1.02g/cm3，繆子穿越塑料閃爍體時(shí)，單位長(zhǎng)度徑跡損失的能量大約為2MeV/cm.小探測(cè)器為34cm×34cm的正方形，厚度為2.5cm.這兩個(gè)小探測(cè)器來(lái)自實(shí)驗(yàn)室的其他科研項(xiàng)目.圖3(a)展示的是3個(gè)探測(cè)器的擺放方式.一個(gè)小探測(cè)器位于主探測(cè)器上方88cm處，另一個(gè)小探測(cè)器位于主探測(cè)器下方112cm處.它們把入射繆子的入射角限制在±9.6°范圍內(nèi).一個(gè)時(shí)間窗為100ns的快速符合模塊被用來(lái)篩選垂直穿過(guò)3個(gè)探測(cè)器的繆子.其符合輸出會(huì)觸發(fā)數(shù)字示波器，并記錄主探測(cè)器輸出的波形.在后面的段落會(huì)展示，繆子在探測(cè)器內(nèi)的能量損失滿足朗道分布.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和蒙特卡洛模擬

一個(gè)用Visual Basic語(yǔ)言編寫(xiě)的程序被用來(lái)記錄信號(hào)的波形，分析脈沖間的時(shí)間差，脈沖的高度，并展示衰變時(shí)間中繆子的壽命譜和電子與繆子的能量譜.程序的交互界面由4個(gè)面板組成：實(shí)時(shí)的波形展示、繆子壽命的統(tǒng)計(jì)分布、繆子信號(hào)電壓的統(tǒng)計(jì)分布、電子信號(hào)電壓的統(tǒng)計(jì)分布.只要數(shù)字示波器被觸發(fā)，程序就會(huì)記錄40μs內(nèi)的信號(hào)并將其儲(chǔ)存在硬盤(pán)中.這40μs中包含10μs觸發(fā)前的波形和30μs觸發(fā)后的波形.程序會(huì)自動(dòng)測(cè)量?jī)蓚€(gè)脈沖間的時(shí)間差，并記錄信號(hào)的振幅和實(shí)時(shí)更新統(tǒng)計(jì)分布.為了盡可能獲取所有的繆子衰變事件，增加效率，信號(hào)判選電路的閾值電壓略高于噪聲水平.因?yàn)樗械牟ㄐ味急挥涗浽谟脖P(pán)中，后續(xù)的離線處理和分析可以設(shè)定新的判別標(biāo)準(zhǔn)，并更嚴(yán)格地篩選繆子衰變信號(hào)

3.1 能量定標(biāo)

圖3(b)、(c)展示了穿越探測(cè)器的繆子的能量沉積的朗道分布.通常脈沖的電壓與能量沉積成正比.為了獲得能量沉積和信號(hào)電壓的轉(zhuǎn)換系數(shù)k(單位為MeV/mV)，我們用粒子與物質(zhì)相互作用的模擬軟件Geant4[14]仿真了整個(gè)過(guò)程.宇宙線繆子的能量分布取自參考文獻(xiàn)[15]，繆子關(guān)于入射角的分布則為cos2θ.只有穿過(guò)3個(gè)探測(cè)器的繆子才會(huì)被記錄在主探測(cè)器中的能量損失.圖3(b)是模擬結(jié)果.從模擬的結(jié)果可以看出，對(duì)于這個(gè)探測(cè)器，朗道分布的峰值位于71MeV處，與我們的預(yù)估值35cm×2MeV/cm吻合.圖3(c)是測(cè)量的脈沖高度.測(cè)量結(jié)果是一個(gè)朗道分布.實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到結(jié)果比模擬的分布略寬一些，這可能與探測(cè)器對(duì)光子的不完全收集有關(guān).通過(guò)模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，可以得到轉(zhuǎn)換因子k=0.215MeV/mV.值得注意的是，k是由加在光電倍增管上的高壓、放大器放大倍數(shù)、以及光子的收集效率決定的.

圖3 探測(cè)器擺放方式和繆子能量損失的朗道分布(a) 3個(gè)探測(cè)器的排列方式.這樣可以選擇垂直穿過(guò)主探測(cè)器的粒子; (b) 蒙特卡洛模擬的結(jié)果; (c) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2 繆子壽命

如同其他放射性粒子的壽命一樣，繆子的壽命是大量繆子衰變事件的統(tǒng)計(jì)平均值.對(duì)于一個(gè)獨(dú)立的繆子，衰變是隨機(jī)發(fā)生的，或者說(shuō)是不能被準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的.為了測(cè)量繆子的平均壽命，我們用一周時(shí)間收集了1.1×105個(gè)繆子衰變事件.衰變壽命的統(tǒng)計(jì)直方圖如圖4(c)所示.點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，曲線是按照N(t)=N0+A0Exp(-t/τ)擬合數(shù)據(jù)的結(jié)果.這里t是繆子信號(hào)和電子信號(hào)的時(shí)間差，τ是繆子的平均壽命，N0是取決于隨機(jī)事件的背景噪聲，A0τ是衰變的繆子總數(shù).在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中觀察到了一個(gè)有趣的現(xiàn)象.在初期的實(shí)驗(yàn)中，我們觀察到壽命譜在t≈7μs 處有一個(gè)小的凸起.這個(gè)凸起是由光電倍增管后脈沖產(chǎn)生的偽衰變事件.然而，在光電倍增管被加上高壓工作幾個(gè)月之后，這個(gè)峰逐漸消失了.后脈沖是由光電倍增管中殘余的氣體產(chǎn)生的，它們會(huì)在與電子的碰撞中被電離.當(dāng)這些離子撞擊光陰極或前面的打拿極時(shí)，二級(jí)電子會(huì)被釋放，因此產(chǎn)生了一個(gè)相對(duì)較強(qiáng)的脈沖噪聲.這些脈沖噪聲通常被觀察為初級(jí)信號(hào)后產(chǎn)生后脈沖.一種特殊設(shè)計(jì)的抑制離子反饋噪聲的光電倍增管，或者同時(shí)利用兩個(gè)光電倍增管，都可以解決這個(gè)問(wèn)題[8].在我們的實(shí)驗(yàn)中，后脈沖逐漸消失的一個(gè)可能的解釋是殘余的氣體在長(zhǎng)時(shí)間的電子轟擊下逐漸消耗殆盡.我們獲得的μ-和μ+的壽命是τ=(2.098±0.006)μs(統(tǒng)計(jì)誤差)，小于自由空間下的標(biāo)準(zhǔn)值τμ=(2.1969811±0.0000022)μs[15,17].其原因是μ-粒子有不可忽略的概率會(huì)被閃爍體中C原子的K層軌道俘獲，并最終被吸入其帶正電荷的原子核，而不是放出一個(gè)衰變電子.

3.3 能量譜

除了繆子的壽命之外，繆子衰變的電子能譜也對(duì)理論研究有很大價(jià)值[18].在閃爍體探測(cè)器中，信號(hào)的幅度是與帶電粒子沉積的能量成正比的.因此，如果探測(cè)器的尺寸足夠大，應(yīng)該有能力觀測(cè)到繆子衰變事件中的電子衰變能譜.圖4(b)和(d)分別展示的是衰變繆子的能譜和繆子衰變產(chǎn)生電子的能譜.這里利用了前文得到的轉(zhuǎn)換因子k=0.215MeV/mV.乍看之下，能量分布的形狀和文獻(xiàn)報(bào)道的電子能譜不盡相同[17].低能量區(qū)域的密度比標(biāo)準(zhǔn)模型預(yù)測(cè)的要高[17].這是因?yàn)槲覀兲綔y(cè)器的尺寸是有限的，不是無(wú)窮大的.一般來(lái)說(shuō)，高能粒子在塑料閃爍體探測(cè)器中不會(huì)完全停下；它們會(huì)穿過(guò)探測(cè)器并沉積下一部分的能量.其能量損失(ΔE)可以從參考文獻(xiàn)中的“能量損失表”中得到[19].繆子衰變產(chǎn)生的電子最高能量為53MeV[18].能量為53MeV的電子需要在塑料閃爍體中直線穿行約20cm后動(dòng)能才會(huì)完全耗盡[19].顯然，我們的探測(cè)器尺寸Φ31cm×35cm是不足夠大到讓所有繆子都可以停下的.對(duì)于宇宙線繆子，單位物質(zhì)的能量損失為dE/dx≈2MeV/cm.在我們的探測(cè)器中，其豎直穿過(guò)探測(cè)器所能沉積的能量大約為ΔE=70MeV.這可以解釋為什么繆子信號(hào)的幅度在圖4中大部分比電子信號(hào)大.

圖4 實(shí)時(shí)展示的程序界面(a) 繆子衰變信號(hào)的波形; (b) 繆子信號(hào)幅度的統(tǒng)計(jì)分布; (c) 繆子壽命的統(tǒng)計(jì)分布.實(shí)線為擬合曲線，擬合函數(shù)為(t)=N0+A0Exp(-t/τ); d)電子信號(hào)的幅度的統(tǒng)計(jì)分布

為了解釋獲得的電子能譜，用Geant4模擬仿真了整個(gè)過(guò)程[14].不失一般性，我們假定繆子會(huì)均勻地停在探測(cè)器內(nèi).如圖5所示，模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的能譜符合得很好.模擬結(jié)果在53MeV 處有一個(gè)明顯的截止，與理論預(yù)測(cè)的繆子衰變放出電子最大能量53MeV相符.

圖5 繆子衰變事件中的電子能譜(a) 蒙特卡洛模擬結(jié)果; (b) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

我們?cè)O(shè)計(jì)了一套簡(jiǎn)單的測(cè)量繆子衰變的系統(tǒng).設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的電路用來(lái)觸發(fā)數(shù)字示波器記錄衰變事件的信號(hào).為了解決50 MeV 左右能量定標(biāo)的問(wèn)題，我們用了能量損失朗道分布的方法.本文詳細(xì)闡述了繆子平均壽命和衰變電子能譜的測(cè)量.所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果都被蒙特卡洛模擬很好重現(xiàn).整個(gè)系統(tǒng)簡(jiǎn)單，成本低廉，信號(hào)處理過(guò)程完全透明.因此可以作為一個(gè)很好的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的積極性.文中提到的設(shè)計(jì)信號(hào)判選電路來(lái)觸發(fā)數(shù)字示波器記錄信號(hào)的方法還可以廣泛應(yīng)用于其他采樣率不是很高的實(shí)驗(yàn)中.電路圖和代碼都可以聯(lián)系作者寧傳剛來(lái)免費(fèi)獲得.

[1] Muon, Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Muon.

[2] Particle Data Group, Particle Physics Booklet (Lawrence Berkeley National Lab, Berkeley, CA, 1998).

[3] Caso C, et al. Particle data group, review of particle physics[J]. Euro Phys J C 1998, 3(1): 1-783.

[4] Hall R E, Lind D A, Ristinen R A. A simplified muon lifetime experiment for the instructional laboratory[J]. Am. J. Phys. 1970, 38(10): 1196-1200.

[5] Owens A, Macgregor A E. Simple technique for determining the mean lifetime of the cosmic ray μ meson[J]. Am. J. Phys. 1978, 46(8): 859-860.

[6] Lewis R. Automatic measurement of the mean lifetime of the muon[J]. Am. J. Phys. 1982, 50(10): 894-895.

[7] Ward T, Barker M, Breeden J, et al. Laboratory study of the cosmic-ray muon lifetime[J]. Am. J. Phys. 1985, 53(6): 542-546.

[8] The speed and decay of cosmic-ray muons: Experiments in the relativistic kinematics of the universal speed limit and time dilation. MIT Department of Physics, October 17, 2014, http://web.mit.edu/8.13/www/JLExperiments/JLExp14.pdf.

[9] Coan T, Liu T K, Ye J B . A compact apparatus for muon lifetime measurement and time dilation demonstration in the undergraduate laboratory[J]. Am. J. Phys. 2006, 74(2): 161-164.

[10] 孫臘珍,吳雨生,李澄.μ子壽命測(cè)量實(shí)驗(yàn)[J].物理實(shí)驗(yàn),2010,30(2):1-3,19.

[11] Brau B, May C, Ormond R, et al. Determining the muon mass in an instructional laboratory[J]. Am. J. Phys. 2009, 78(1): 64-70.

[12] Wilkinson DH, Ionization energy loss by charged particles Part Ⅰ. The Landau distribution[J]. Nucl. Instr. and Meth. A 1996, 383(2): 513 -515.

[13] Atomic and Nuclear Properties of Materials for 292 substances, http://pdg.lbl.gov/AtomicNuclearProperties/

[14] Agostinelli S, Allison J, Amako K, Apostolakis J et al., Geant4—a simulation toolkit[J]. Nucl. Instr. and Meth. A 2003, 506(3): 250-303.

[15] Kremer J et al. Measurements of Ground-Level Muons at Two Geomagnetic Locations[J]. Phys. Rev. Lett. 1999, 83(21): 4241-4244.

[16] Reiter R A, Romanowski T A, Sutton R B, and Chidley B G,Precise Measurements of the Mean Lives of μ+ and μ- Mesons in Carbon[J]. Phys. Rev. Lett. 1960, 5(1): 22-23.

[17] K.A.Olive et al. (Particle Data Group). Review of Particle Physics[J]. Chin. Phys. C ,2014, 38(9), 090001.

[18] Ehrlich R D, Fryberger D, Powers R J, Sherwood B A, and Telegdi V L, Measurement of the Electron Spectrum from Muon Decay, and Its Implications[J]. Phys. Rev. Lett.,1966, 16(12): 540 -543.

[19] Stopping-Power and Range Tables for Electrons, Protons, and Helium Ions, http://physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/contents.html

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A SIMPLE SETUP TO MEASURE MUON LIFETIME AND ELECTRON ENERGY SPECTRUM OF MUON DECAY AND ITS MONTE CARLO SIMULATION

Hu Yushi1,2Wang Tianye1,2Mei Yefeng1Zhang Zhao1Ning Chuangang1

(1State Key Laboratory of Low-Dimensional Quantum Physics, Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084；2The High School Affiliated to Renmin University of China, Beijing 100080)

We designed a simple setup to measure the muon lifetime and the electron energy spectra of muon decay. A low cost coincidental circuit was designed to select the signals of muon decay events detected by a plastic scintillator detector. It triggered a digital oscilloscope to record the signals of muon decay events for measuring the muon lifetime and electron energy spectrum. A Landau-distribution energy loss method was introduced to conduct the energy calibration of the system. The experimental results were well reproduced by the Monte Carlo simulation. The software and hardware of the system are completely open to students, thus more helpful for instruction and motivation.

cosmic ray muon; muon decay； energy spectrum; Landau distribution; Monte Carlo simulation

2016-07-13

教育部基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃支持(項(xiàng)目號(hào)：20160204)和基金委基礎(chǔ)科學(xué)人才培養(yǎng)支持(項(xiàng)目號(hào)：J1210018).

寧傳剛，男，教授，主要從事物理教學(xué)科研工作，研究方向?yàn)楦叻直尕?fù)離子光電子能譜學(xué).ningcg@tsinghua.edu.cn

胡雨石，王天冶，梅葉峰，等. 測(cè)量繆子壽命和衰變能譜的簡(jiǎn)單裝置及其蒙特卡洛模擬[J]. 物理與工程，2016，26(5)：27-32.