童第華， 吳學仁， 劉建中 中航工業(yè)北京航空材料研究院， 北京 100095

由裂紋嘴位移確定雙懸臂梁試樣應力強度因子的權函數(shù)解法

童第華， 吳學仁*， 劉建中 中航工業(yè)北京航空材料研究院， 北京 100095

雙懸臂梁(DCB)試樣在材料的損傷容限性能評價，特別是應力腐蝕開裂門檻值(KISCC)測定中有重要應用。由于該試樣幾何的特殊性，一般采用與試樣端部(裂紋嘴)有一定距離的特定位置裂紋面位移加載方式，然而該加載點的位移測量不但費時而且精度低,位移測量最方便和準確的位置是在DCB試樣的裂紋嘴。通過對一種參考載荷條件的有限元計算，應用邊緣裂紋的經(jīng)典權函數(shù)解法，推導出DCB試樣的權函數(shù)解析解，并與復變函數(shù)泰勒級數(shù)展開的權函數(shù)解法作了比較驗證。在此基礎上根據(jù)特定加載點的位移反算出相應位置均布應力加載下的應力強度因子，進而建立DCB試樣在特定位置的裂紋面位移加載條件下的應力強度因子與裂紋嘴位移之間的關系式，為采用這種試樣的材料損傷容限性能評價，特別是KISCC的高精度自動化測定奠定了基礎。

雙懸臂梁試樣； 權函數(shù)； 位移加載條件； 應力強度因子； 裂紋嘴位移

雙懸臂梁(DCB)試樣(圖1)被廣泛用于材料的損傷容限性能評價，特別是應力腐蝕開裂門檻值(KISCC)的測定[1-4]，因此需要這種試樣在不同加載情況下的高精度應力強度因子解。但文獻中對于DCB試樣的斷裂力學分析，尤其是位移加載情況下的應力強度因子計算，鮮有涉及。

國家標準GB/T 15970.6—2007[4]中給出的DCB試樣在位移加載情況下的應力強度因子表達式是根據(jù)梁的彈性柔度理論得到的，它適用于中心位于x=d點的螺栓對裂紋面進行位移加載的情況u(a/W,x/W=d/W)，見圖1，其中：W為試樣的特征尺寸，本文中取為試樣寬度；a為裂紋長度。相比于位于試樣端部的裂紋嘴處的位移u(a/W,x/W=0)，該加載點位移的測定不但很不方便，而且準確性差，更難以實現(xiàn)自動化測量。而裂紋嘴處的位移卻能夠通過位移規(guī)很準確地獲得。本文旨在根據(jù)裂紋嘴處的位移u(a/W,x/W=0)確定DCB試樣在裂紋面位移加載條件下的高精度應力強度因子，從而為采用這種試樣的材料損傷容限性能評價，特別是KISCC的高精度自動化測定提供理論依據(jù)。

圖1 雙懸臂梁(DCB)試樣 (a=l+d)

Fig.1 Double cantilever beam (DCB) specimen (a=l+d)

1 二維裂紋問題的權函數(shù)法

在眾多的應力強度因子求解方法中，權函數(shù)法[5-9]以其高度的普適性、出色的求解效率、可靠的精度和便于應用的特點，在裂紋問題的分析中得到了日益廣泛的應用。權函數(shù)一經(jīng)確定，就可用來不受限制地求解該裂紋體在任意受載條件下的應力強度因子。本文根據(jù)Wu(吳學仁)和Carlsson權函數(shù)方法[7-8]確定DCB試樣的權函數(shù)解析表達式，進而利用螺栓中心線處的裂紋面位移或裂紋嘴處的位移求解裂紋面位移加載情況下的應力強度因子。

斷裂力學的權函數(shù)理論最早是由Bueckner[5]和Rice[6]提出的，其基本思想是將影響裂紋尖端應力強度因子的2個變量——載荷和裂紋體幾何進行分離，得到獨立于載荷情況(僅包含裂紋體幾何信息(包括載荷-位移邊界條件))的權函數(shù)。Wu和Carlsson系統(tǒng)地給出了各類二維裂紋問題權函數(shù)的解析推導方法[7-8]。

對于應力強度因子，有

(1a)

(1b)

式中：σ(x/W)/σ為假想裂紋處的無量綱應力分布；m(a/W,x/W)為所考慮裂紋體的權函數(shù)。

裂紋面位移與權函數(shù)存在如式(2)所示的關系。

(2)

式中:E′=E(平面應力),E′=E/(1-ν2)(平面應變)，E為彈性模量，ν為泊松比；f(s/W)見式(1b)，其中s為積分變量。

DCB試樣屬于邊緣裂紋，根據(jù)文獻[7-8]，這類裂紋的權函數(shù)通式為

(3)

式中：

(4)

(5a)

(5b)

(6a)

(6b)

式中：αi和γi為多項式系數(shù)。

式(3)～式(6)表明，為了得到權函數(shù)，需要先有一種參考載荷作用下的應力強度因子fr和裂紋嘴位移ur的表達式(式(6))。根據(jù)文獻[7-8]對邊緣裂紋權函數(shù)的推導方法，將已知的fr和ur代入式(4)和式(5)，就能確定φ和F1～F4，進而確定DCB試樣的權函數(shù)系數(shù)βi(a/W)。將βi(a/W)代入式(3)，便得到DCB試樣的權函數(shù)m(a/W,x/W)。本文采用ABAQUS有限元數(shù)值程序[10]求解該試樣在一種參考載荷作用下的高精度應力強度因子解fr和裂紋嘴張開位移ur，作為擬合式(6)的基礎數(shù)據(jù)，詳見第2節(jié)。

2 DCB試樣的寬范圍權函數(shù)解

針對雙懸臂梁試樣，利用有限元程序ABAQUS建立不同a/W的有限元模型(試樣寬度W=100 mm，試樣高度h=10 mm)，如圖2所示。裂紋尖端局部網(wǎng)格劃分如圖3所示，裂紋尖端采用退化的1/4節(jié)點奇異元，其他單元采用二次八節(jié)點等參元。加載形式為遠端均勻應力。

ABAQUS有限元計算可以直接給出應力強度因子和裂紋嘴張開位移。由于權函數(shù)分析通常采用無量綱的應力強度因子和裂紋嘴張開位移，在此將ABAQUS有限元結果轉化為無量綱形式，如表1所示。

圖2 DCB試樣的有限元模型(由于對稱性，取一半)

Fig.2 Finite element model of DCB specimen (Because of symmetry, only half of DCB specimen was modelled)

圖3 裂紋尖端局部網(wǎng)格劃分

Fig.3 Finite element mesh of crack tip region

表1 不同裂紋長度情況下的無量綱應力強度因子和裂紋嘴位移(DCB試樣受遠端均勻應力作用)

Table 1 Normalized stress intensity factor and crack mouth displacement (DCB specimen subjected to remote uniform tension)

Normalizedcracklengtha/WNormalizedstressintensityfactorfraW()=K/(σπa)NormalizedcrackmouthdisplacementuraW,xW=0()=E'uaW,xW=0()σa01.121502.90860.011.150582.98760.102.5395310.37750.204.7990036.28630.307.4992588.39830.4010.57192175.62130.5013.97729306.93600.6017.68253491.2717

結合半無限大板邊緣裂紋的理論極限值fr=1.121 5和ur=2.908 6,通過擬合表1中DCB試樣的無量綱應力強度因子fr和無量綱裂紋嘴位移ur結果，即可得到多項式(6a)和式(6b)中的相應系數(shù)αi和γi，結果如下所示：當a/W≤0.6時，αi(i=0～6)=1.102 6, 4.454 1, 103.03, -531.32, 1 271.0, -1 584.3, 789.59；當a/W≤0.6時，γi(i=0～6)=2.900 3, -2.383 5, 624.56, -516.87, 290.29, -1 914.5, 1 611.5。

將以上系數(shù)代入式(6a)和式(6b)，fr和ur擬合得到的曲線與有限元結果的最大差別為1.7%和0.29%，如圖4所示。將式(6a)和式(6b)代入式(4)和式(5)，即可得到式(3)中DCB試樣的權函數(shù)系數(shù)βi(a/W)，如表2所示。表2中，a/W=0的權函數(shù)系數(shù)βi值引自文獻[7]中半無限大板邊緣裂紋的理論極限值。

圖4 DCB試樣受遠端均勻應力作用下的無量綱應力強度因子和無量綱裂紋嘴位移擬合曲線

Fig.4 Fitting curves of normalized stress intensity factor and crack mouth displacement of DCB specimen subjected to remote uniform tension

為了驗證本文求得的DCB試樣的解析權函數(shù)的精度，把所得結果與文獻中用其他方法確定的權函數(shù)進行了比較。Jing(景致)和Wu(吳學仁)利用復變函數(shù)泰勒級數(shù)展開方法(WCTSE)確定了DCB試樣的權函數(shù)[11]。Fett和Munz[9]也給出了DCB試樣的權函數(shù)表達式，如式(7)所示。

表2 通過Wu和Carlsson權函數(shù)方法[7-8]確定的DCB試樣權函數(shù)系數(shù)值

Table 2 Weight function coefficients for DCB specimen based on Wu and Carlsson weight function method[7-8]

a/Wβ1(a/W)β2(a/W)β3(a/W)β4(a/W)β5(a/W)02.00.97881.1101-0.3194-0.10170.012.01.74140.2945-0.1467-0.08400.102.08.86821.58633.6753-1.62910.202.018.114014.5490-1.7245-0.16190.302.028.829125.98790.0722-1.60620.402.039.979043.9685-3.4196-1.33230.502.052.360361.5146-3.0837-2.62650.602.064.788780.51691.0404-5.6676

(7)

確定了DCB試樣的權函數(shù)后，對于載荷邊界條件下的應力強度因子的計算，可以通過式(1)一個簡單的積分得到。對于位移邊界條件下的應力強度因子計算，則可以通過已知的裂紋面位移，對式(2)進行逆運算得到，詳見第3節(jié)。

圖5 DCB試樣的3種格林函數(shù)(權函數(shù))的比較

(a/W=0.1～0.6)

Fig.5 Comparison of three Green’s functions (weight function) for DCB specimen (a/W=0.1-0.6)

3 DCB試樣在點位移加載下的應力強度因子求解

DCB試樣通過螺栓實現(xiàn)位移加載(見圖1)，這種加載形式相當于裂紋面受區(qū)段均布應力σ作用，其作用寬度為螺栓的直徑，應力σ的具體數(shù)值則只能通過位移間接確定。

裂紋面區(qū)段均勻應力作用下的應力強度因子可以寫為[7-8]

(8a)

(8b)

式中：d1和d2見圖1。

在未知區(qū)段均布應力值σ的情況下，無法通過式(8)確定應力強度因子。Wu和Carlsson[7-8]給出了裂紋面區(qū)段均布應力作用下的裂紋面位移表達式為

(9a)

(9b)

將第2節(jié)中通過Wu和Carlsson權函數(shù)法確定的權函數(shù)系數(shù)βi表達式和裂紋面的位移代入到式(9)中，即可確定裂紋面區(qū)段均布應力σ的值。

圖6給出了根據(jù)裂紋面位移和相應裂紋幾何的權函數(shù)確定區(qū)段均布應力值和應力強度因子的流程圖。該方法是一種普適方法，不僅適用于DCB試樣，也適用于其他各種裂紋幾何。

圖6 利用裂紋面位移確定區(qū)段均布應力值σ和應力強度因子的流程圖

Fig.6 Flowchart of determination of segment uniform stress σ and stress intensity factor using crack surface displacements

GB/T 15970.6—2007[4]中給出了DCB試樣在螺栓加載情況下根據(jù)加載點位移u求解應力強度因子的表達式為

(10)

為了將權函數(shù)計算結果和式(10)進行對比，這里以d/W處的位移作為已知條件。對于圖1所示的DCB試樣，取W=100 mm，h=10 mm，d=10 mm，螺栓直徑為7.5 mm，a/W=0.3, 0.4, 0.5, 0.6(與式(10)的適用范圍2≤l/h≤5對應)。結合第2節(jié)中通過Wu和Carlsson權函數(shù)法得到的DCB試樣權函數(shù)和式(9)，得到了區(qū)段均布應力值與d/W=0.1處裂紋面位移的關系，如圖7所示。

將裂紋面區(qū)段均布應力值σ和權函數(shù)表達式(3)代入式(8)，便能確定所對應的點位移加載條件下的應力強度因子K，結果如圖8所示。圖8 表明，基于權函數(shù)法得到的結果和GB/T 15970.6—2007[4]公式計算結果符合良好，最大差別為1.9% (當a/W=0.3，即l/h=2)。

圖7 DCB試樣在d/W=0.1處裂紋面位移加載下的無量綱區(qū)段均布應力

Fig.7 Normalized segment uniform stresses when DCB specimen subjected to crack surface displacement loading at location of d/W=0.1

圖8 DCB試樣在d/W=0.1處裂紋面位移加載下的無量綱應力強度因子

Fig.8 Normalized stress intensity factors when DCB specimen subjected to crack surface displacement loading at location of d/W=0.1

根據(jù)圖8中利用權函數(shù)計算得到的無量綱應力強度因子結果，擬合了DCB試樣在d/W=0.1處裂紋面位移加載下的應力強度因子公式為

(11)

4 由裂紋嘴位移確定DCB試樣在點位移加載下的應力強度因子

按照國家標準GB/T15970.6—2007[4]，利用DCB試樣測定材料的應力腐蝕開裂門檻值(KISCC)，只能通過測量裂紋面上d/W處的位移u(a/W,x/W=d/W)，根據(jù)式(10)來計算應力強度因子。但是裂紋面的位移，除裂紋嘴位置(試樣端部x/W=0)能夠很方便地通過位移規(guī)準確測量外，其他都是很難準確得到的。本文利用Wu和Carlsson權函數(shù)法求得DCB試樣的權函數(shù)，基于裂紋嘴位移即可確定DCB試樣在裂紋面位移加載情況下的應力強度因子，如圖9所示，這將為試驗中的位移加載參數(shù)的準確測量帶來很大方便。根據(jù)權函數(shù)計算結果，擬合得到了高精度的應力強度因子公式，如式(12)所示。利用式(12)，就可以根據(jù)位移規(guī)對裂紋嘴位移的自動化精確測量結果求得DCB試樣的應力強度因子。

圖9 基于裂紋嘴位移確定DCB試樣在點位移加載下的無量綱應力強度因子(式(12)與權函數(shù)解的比較)

Fig.9 Determination of normalized stress intensity factor based on crack mouth displacements for DCB specimen subjected to point displacement loading (Comparison of Eq.(12) and weight function solutions)

(12)

5 結 論

1) 根據(jù)Wu和Carlsson權函數(shù)方法，首次給出了雙懸臂梁試樣的寬范圍高精度權函數(shù)解析表達式，相應的格林函數(shù)得到了Jing和Wu的復變函數(shù)泰勒級數(shù)展開方法結果的驗證。

2) 根據(jù)DCB試樣的權函數(shù)和裂紋面任意位置的位移，求解了在特定位置位移加載情況下的應力強度因子，并與GB/T15970.6—2007的公式作了對比，計算結果符合良好，最大差別為1.9%。

3) 提出了利用裂紋嘴位移反算應力強度因子的方法和DCB試樣在特定位置的裂紋面位移加載條件下的應力強度因子與裂紋嘴位移之間的關系?？朔嗽趪覙藴蔊B/T15970.6—2007中，利用雙懸臂梁試樣測定應力腐蝕開裂門檻值KISCC時，必須通過測量螺栓中心點的裂紋面位移來求解應力強度因子的弊端，為采用這種試樣的材料損傷容限性能評價，特別是KISCC的高精度自動化測定奠定了基礎。

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童第華 男， 博士, 高級工程師。主要研究方向： 疲勞與斷裂力學。

Tel: 010-62496725

E-mail: tongdi133@163.com

吳學仁 男， 博士， 研究員， 博士生導師， 中國航空工業(yè)集團公司資深首席技術專家。主要研究方向： 斷裂力學與疲勞、 損傷容限技術、 材料的力學行為。

Tel: 010-62458003

E-mail: xueren.wu@gmail.com

Received： 2015-03-06； Revised： 2015-05-11； Accepted： 2015-05-27； Published online： 2015-06-29 13:49

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20150629.1349.001.html

Foundation item： National Natural Science Foundation of China (11402249)

*Corresponding author. Tel.： 010-62458033 E-mail: xueren.wu@gmail.com

Weight function method of determining double cantilever beam specimen stress intensity factor by crack mouth displacement

TONG Dihua, WU Xueren*, LIU Jianzhong

AVICBeijingInstituteofAeronauticalMaterials,Beijing100095,China

Double cantilever beam (DCB) specimen has important applications in materials’ damage tolerance properties evaluation, especially for experimental determination of the stress corrosion cracking threshold (KISCC). Because of the particular specimen geometry, crack surface displacement loading at a specific position which is a certain distance away from the specimen edge (crack mouth) is commonly used. However, displacement measurement at the loading position is not only time-consuming but also inaccurate. For the DCB specimen, the most convenient and accurate displacement measurement location is at the crack mouth. In this paper, through finite element calculations for a reference load case and by using the classical weight function method for the edge crack geometry, analytical weight function for the DCB specimen is developed. Comparisons and verification have been conducted using the complex variable function Taylor series expansion weight function. Furthermore, from the specific loading point displacement, stress intensity factor for uniform stress loading at the corresponding crack surface location is obtained by inverse calculation. An analytical expression between the stress intensity factor and the crack mouth displacement is derived for DCB specimen subjected to the crack surface displacement loading at specific position. Thus, a solid foundation is laid for the evaluation of materials’ damage tolerance properties using the DCB specimen, especially forKISCCmeasurement automation with high accuracy.

double cantilever beam specimen; weight function; displacement loading condition; stress intensity factor; crack mouth displacement

2015-03-06；退修日期：2015-05-11；錄用日期：2015-05-27； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡出版時間：

時間： 2015-06-29 13:49

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童第華， 吳學仁， 劉建中． 由裂紋嘴位移確定雙懸臂梁試樣應力強度因子的權函數(shù)解法[J]． 航空學報, 2016, 37(2): 609-616. TONG D H, WU X R, LIU J Z. Weight function method of determining double cantilever beam specimen stress intensity factor by crack mouth displacement[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(2): 609-616.

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10.7527/S1000-6893.2015.0154

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