摘要：稀疏性是信號(hào)表示非零系數(shù)個(gè)數(shù)的度量，一個(gè)信號(hào)越稀疏，它的非零系數(shù)個(gè)數(shù)越多。稀疏表示一種信號(hào)的基礎(chǔ)研究，它在人臉識(shí)別、圖像復(fù)原、圖像去噪等領(lǐng)域有著極為重要的意義。文章基于信號(hào)的稀疏特性在人臉識(shí)別、圖像去噪等方面的應(yīng)用，對(duì)信號(hào)在過(guò)完備字典下的表示進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞：稀疏表示；人臉識(shí)別方法；圖像復(fù)原；圖像去噪；字典優(yōu)化 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類號(hào)：TP393 文章編號(hào)：1009-2374（2015）36-0001-03 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.36.001

稀疏性是指信號(hào)進(jìn)行某種變換后，用來(lái)表示該信號(hào)的非零系數(shù)遠(yuǎn)小于信號(hào)本身的長(zhǎng)度。這種特性使得與信號(hào)相關(guān)的信息提取變得快速有效，減少信號(hào)在處理過(guò)程中所需要的成本。稀疏表示使得圖像的能量只集中于部分少量的原子，這些非零系數(shù)對(duì)應(yīng)的原子揭示了圖像主要的特征及內(nèi)在的結(jié)構(gòu)。近百年來(lái)，信號(hào)處理經(jīng)歷了小波變換、正交基變換、多尺度變換，直到20世紀(jì)末則使用過(guò)完備字典的稀疏表示，過(guò)完備字典的表示是指構(gòu)成字典的基原子的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)大于基元素的維數(shù)，這樣便構(gòu)成了一個(gè)扁矩陣，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成為求解欠定方程的問(wèn)題。

1 基于稀疏表示的人臉識(shí)別

人臉識(shí)別（Face Recognition，F(xiàn)R）技術(shù)是基于人臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)，因?yàn)槿四樀奈ㄒ恍院筒蝗菀讖?fù)制性，為人物的身份進(jìn)行正確的判定提供了重要線索，人臉識(shí)別技術(shù)也已成為模式識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、圖像處理等領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。2009年，J.Wright等人在前人的人臉識(shí)別算法基礎(chǔ)上，提出了基于稀疏表示的穩(wěn)健人臉識(shí)別方法（Sparse Representation-based Classification，SRC），與其他的算法相比，即使在圖片具有高污染或陰影的情況下，仍然可以保持較高的識(shí)別率。

人臉識(shí)別問(wèn)題也就是監(jiān)督學(xué)習(xí)分類問(wèn)題，即已知一些數(shù)據(jù)的正確結(jié)果，然后對(duì)未知的數(shù)據(jù)做出預(yù)測(cè)。在已有監(jiān)督學(xué)習(xí)分類識(shí)別中，它的基本問(wèn)題描述如下：給定個(gè)不同種類的人臉數(shù)據(jù)，共個(gè)樣本集，假設(shè)給定的第類樣本中有個(gè)樣本人臉圖片，且滿足：

利用這些已知類別的個(gè)訓(xùn)練樣本集，來(lái)判斷新的測(cè)試樣本屬于哪一類別。在人臉識(shí)別中，一張像素為的黑白人臉圖片，就是一個(gè)的矩陣圖片信息，矩陣的每一個(gè)元素就對(duì)應(yīng)人臉圖片的一個(gè)灰度值。通過(guò)把這張人臉圖片構(gòu)成的矩陣堆積成一個(gè)維度為的列向量，在第類中，把這個(gè)樣本人臉圖片合并成一個(gè)維的矩陣，其中作為矩陣的列向量，即，則就表示第個(gè)人的人臉訓(xùn)練集。

在實(shí)際的人臉識(shí)別問(wèn)題中，通常一張普通的人臉圖片的分辨率為像素，則一張圖片的維度為個(gè)數(shù)量級(jí)，所以圖片維度大大超過(guò)訓(xùn)練樣本的個(gè)數(shù)，即，這樣求解是一個(gè)過(guò)定方程，得到的解是一個(gè)唯一的解，作為之后的分類判別效果很不好，并且圖片的維數(shù)過(guò)高，但計(jì)算量太大，超出普通計(jì)算機(jī)可以承受的范圍，所以需要對(duì)進(jìn)行降維處理。

如圖2所示，由于噪聲的存在，導(dǎo)致求得的系數(shù)在不相關(guān)的類別上，并不是嚴(yán)格的零。如何針對(duì)求得的系數(shù)進(jìn)行正確的分類是算法的核心問(wèn)題。

基于全局的稀疏表示，可以設(shè)計(jì)出多種不同的分類器，SRC算法采用了使用系數(shù)向量與所有樣本直接的相關(guān)程度來(lái)分類的方式，即用余差法的方式，具體過(guò)程如下：

對(duì)于每一個(gè)類別，讓作為第個(gè)類別的對(duì)應(yīng)系數(shù)的特征函數(shù)，對(duì)于，是一個(gè)新的系數(shù)向量，它當(dāng)中的元素除了與它對(duì)應(yīng)的第類的系數(shù)，其他元素都為零，即。使用這個(gè)只與第類對(duì)應(yīng)的系數(shù)相關(guān)的向量，可以把測(cè)試樣本重新表示為。接下來(lái)，將通過(guò)最小化和的范數(shù)來(lái)對(duì)進(jìn)行分類：

（6）

在計(jì)算過(guò)程中，如果第類恢復(fù)得到誤差最小，那么就判斷測(cè)試樣本屬于第類。至此，可以總結(jié)得出SRC算法的基本過(guò)程：（1）輸入：類訓(xùn)練樣本的共張圖片，構(gòu)造出訓(xùn)練樣本矩陣以及一個(gè)測(cè)試樣本；（2）將樣本矩陣的列向量歸一化。identity（y）=argminiri（y）；（3）求解最小化范數(shù)問(wèn)題，得到稀疏系數(shù)： subject to ；（4）計(jì)算出測(cè)試樣本對(duì)應(yīng)的每一類的余差值： ；（5）輸出：判斷圖片的類別：。

2 字典優(yōu)化

為了應(yīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)模型分析，產(chǎn)生了基于學(xué)習(xí)的冗余字典。在基于稀疏表示的人臉識(shí)別建模中，就是使用基于訓(xùn)練樣本學(xué)習(xí)的方法來(lái)構(gòu)造過(guò)完備冗余字典。特征空間的提取對(duì)于稀疏表示模型的一個(gè)好處是：減少數(shù)據(jù)的維數(shù)，降低計(jì)算的成本。在SRC算法中，訓(xùn)練樣本矩陣被替代為，d

，基本模型由前式（1）至式（5）可得。

為驗(yàn)證不同降維方法對(duì)SRC算法性能的影響，選取了兩種降維方式：一是傳統(tǒng)的通過(guò)主元分析（PCA）得到的特征臉Eigenfaces；二是一種隨機(jī)臉（Randomfaces）的降維方法。

由參考文獻(xiàn)[2]和參考文獻(xiàn)[3]可得，通過(guò)PCA降維的主要思想是：尋找一個(gè)維子空間來(lái)表示數(shù)據(jù)，并盡量保持原始數(shù)據(jù)的方差不變。在運(yùn)行PCA算法之前，首先需要對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行預(yù)處理，以保證不同刻量單位的數(shù)據(jù)具有零均值和單位的方差，下面是PCA算法通常的預(yù)處理步驟：（1）計(jì)算樣本均值：；（2）替換每一個(gè)為；（3）計(jì)算所有類的第個(gè)數(shù)據(jù)的方差：；（4）替換每一個(gè)為。

由于圖片灰度值都是0到255統(tǒng)一的刻度標(biāo)準(zhǔn)，所以步驟3、4在算法中可以省略。假設(shè)一個(gè)單位向量和一個(gè)空間的數(shù)據(jù)點(diǎn)，那么點(diǎn)到向量的投影的長(zhǎng)度可以表示為，那么如果是數(shù)據(jù)集中的一個(gè)點(diǎn)，那么它到向量的投影就是到原點(diǎn)的距離。因此，為了最大化投影的方差，可以選擇一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量進(jìn)行最大化：

（7）

其中是數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，在的條件下，由拉格朗日乘子可得，最大化，需要是數(shù)據(jù)的主元特征向量。當(dāng)投影到一維子空間的時(shí)候，需要選擇是的主元特征向量。更一般地，如果我們想把數(shù)據(jù)投影到一個(gè)維子空間（），需要選擇是的前個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，所有的都是正交的。因此，要表示投影后的數(shù)據(jù)，只需要計(jì)算對(duì)應(yīng)的向量：

（8）

因?yàn)椋虼讼蛄烤徒o出了低維空間的表示。向量叫做數(shù)據(jù)的前個(gè)主元成分。在稀疏表示人臉識(shí)別中，可以根據(jù)具體情況選擇最合適的維投影空間，再由以上介紹的PCA過(guò)程計(jì)算出訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的前個(gè)特征向量作為投影矩陣來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維。

通過(guò)隨機(jī)臉降維的主要思想是：使用隨機(jī)采樣法，用一個(gè)高斯隨機(jī)矩陣作為投影矩陣對(duì)人臉數(shù)據(jù)進(jìn)行線性地投影。研究表明，在范數(shù)的求解過(guò)程中，如果系數(shù)解是足夠的稀疏，有個(gè)非零元素，且t

（9）

那么隨機(jī)線性測(cè)量對(duì)于范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題求解已經(jīng)足夠了，由此可以得出隨機(jī)臉的定義：考慮一個(gè)投影矩陣，它的元素是零均值的正態(tài)分布且線性獨(dú)立（高斯隨機(jī)陣即可滿足），那么歸一化它的行向量后，這個(gè)矩陣的行向量就可以看作是維空間的隨機(jī)臉。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在本文的人臉識(shí)別仿真中，使用了兩種常用的人臉數(shù)據(jù)庫(kù)，下面首先對(duì)這兩個(gè)常用的人臉數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行介紹，分別是Yale Database人臉數(shù)據(jù)庫(kù)和AR Database人臉數(shù)據(jù)庫(kù)。

Yale Database：由耶魯大學(xué)計(jì)算視覺(jué)和控制中心產(chǎn)生，一共有15位志愿者的165張圖片，每人11張，包括表情、光照、姿態(tài)的變化，如圖3所示是其中第一個(gè)志愿者的部分人臉圖片。

AR Database：由100個(gè)人組成，其中50個(gè)男性，50個(gè)女性，每人26張圖片，分兩次拍攝完成，每次每人拍攝13張，如圖4所示。其中14張圖片只有光照和表情的變化，另外12張圖片是戴著圍巾或墨鏡，是有遮擋的情況，比較符合現(xiàn)實(shí)中實(shí)際的人臉圖片。

下面給出基于以上介紹的SRC稀疏人臉識(shí)別算法的Matlab仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這個(gè)實(shí)驗(yàn)是基于AR人臉數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行的仿真，選用100個(gè)人臉中每人7張圖片共700張圖片作為訓(xùn)練樣本構(gòu)造冗余字典。如圖5所示，由于噪聲的存在，求解得到的稀疏系數(shù)在其他人臉空間并不是嚴(yán)格的零，但系數(shù)分布仍然十分稀疏，較大的幅值主要集中于測(cè)試樣本所屬的人臉空間。從圖中較大的系數(shù)可以看到，最大幅值所對(duì)應(yīng)x的位置是8，由于每個(gè)人是7張訓(xùn)練圖片，第8張圖片恰好對(duì)應(yīng)第二個(gè)人的訓(xùn)練圖片的第一張。雖然算法并不是直接使用最大幅值來(lái)作為分類標(biāo)準(zhǔn)，是使用余差值的方法，但仍然可以由圖中系數(shù)分布情況得到與算法一致的分類效果。

在本實(shí)驗(yàn)中，選取Yale Database人臉數(shù)據(jù)庫(kù)中每個(gè)人10張圖片作為訓(xùn)練樣本集，剩余1張圖片作為測(cè)試樣本。在AR Database人臉數(shù)據(jù)庫(kù)中，選取僅有光照和表情變化的14張圖片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中7張作為訓(xùn)練樣本集，7張作為測(cè)試樣本集。在選取過(guò)程中，以隨機(jī)選取為原則，隨機(jī)性地選擇圖片，保證了實(shí)驗(yàn)結(jié)果不依賴于某些特別的圖片，從而保證實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。在這兩個(gè)人臉庫(kù)中，使用以上介紹的PCA和Randomfaces兩種降維方法進(jìn)行了正確識(shí)別率的測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如下：

由圖6和圖7分析可得，無(wú)論使用哪種降維方法，算法的正確識(shí)別率都是隨著特征空間維度的增加而增大，并且SRC對(duì)于特征空間的選取方式并不敏感，即使是隨機(jī)臉，它的人臉識(shí)別率仍與Eigenface差不多，這與傳統(tǒng)的人臉識(shí)別方法有很大的不同，傳統(tǒng)的人臉識(shí)別分類依靠特征臉的選取，同一分類方法，使用不同的特征空間提取方法，分類效果差異很大，往往需要試驗(yàn)得出哪種分類效果更好。

既然SRC算法對(duì)于特征空間的選取不敏感，那么在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維時(shí)，可以選取隨機(jī)臉作為投影矩陣。隨機(jī)臉易于產(chǎn)生，且與訓(xùn)練數(shù)據(jù)獨(dú)立，不受訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的影響，這些優(yōu)點(diǎn)大大降低了降維過(guò)程中計(jì)算的成本。

4 結(jié)語(yǔ)

本文是基于稀疏表示的人臉識(shí)別。通過(guò)信號(hào)的稀疏表示，在Extend Yale B Database和AR Database人臉數(shù)據(jù)庫(kù)仿真模擬下分析了SRC算法在不同的人臉特征空間的性能。

參考文獻(xiàn)

[1] J.Wright，Allen Y.Yang and A.Ganesh.Robust Face Recognition via Sparse Representation[J].IEEE Tans.Pattern Analysis and Machine Intelligence，2009，31（2）.

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[4] D.Donoho.High-Dimensional Data Analysis：The Curses and Blessings of Dimensionality[M].AMS Math Challenges Lecture，2000.

作者簡(jiǎn)介：劉敏（1986-），女，四川瀘州人，西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院碩士，研究方向：圖像處理。

（責(zé)任編輯：周 瓊）