鐘祥貴, 張曉蕾

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中心以外的非循環(huán)子群自正規(guī)化的有限群

鐘祥貴, 張曉蕾

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 廣西桂林, 541004)

利用中心以外的非循環(huán)子群自正規(guī)化性質(zhì), 刻畫了有限群的結(jié)構(gòu), 得到: 如果對于有限群的每個素數(shù)冪階非循環(huán)子群, 或者≤(), 或者|N() :≤ 2, 則是超可解群。對于任意非循環(huán)非中心子群滿足N() =的有限群, 給出了它的結(jié)構(gòu)分類。

有限群; 非循環(huán)子群; 指數(shù); 正規(guī)化子

利用非循環(huán)子群的性質(zhì)可以給出群的結(jié)構(gòu)刻畫[1-8]。2014年, 文獻[1]研究了某些非循環(huán)子群在其正規(guī)化子中的指數(shù)較小時有限群的結(jié)構(gòu), 并且證明, 如果對于有限群的每個素數(shù)冪階非循環(huán)子群,|N() :2, 則是超可解群。本文繼續(xù)文獻[1]的工作, 在更弱的條件下給出非循環(huán)子群自正規(guī)化的有限群的一些結(jié)構(gòu)性質(zhì)。本文討論的群為有限群, 未加說明的符號均為標(biāo)準(zhǔn)的[9-10]。

1 主要引理

引理1[9]設(shè)有限-群有2個極大子群是交換的, 則至少有+ 1個極大子群是交換的。

引理2[10]設(shè)為超可解群, 則為冪零群。

引理3[9]設(shè)是有限群。如果的所有Sylow子群都循環(huán), 那么= <,= 1 =,-1=>, 其中1(mod),是奇數(shù), 0≤<,與(?1)是互素的。

引理4[11]設(shè)是內(nèi)超可解群, 則下列結(jié)論成立:

(1) 存在的正規(guī)Sylow-子群, 并且()為() 的極小正規(guī)子群;

(2) 若2, 則exp=。若= 2, 則exp≤4。

引理5[11]設(shè)是有限群。若=, 其中,是的超可解正規(guī)子群, [,]冪零, 則超可解。

引理6[11]設(shè)是的最小素因子, 若的生成子群數(shù)2++ 1, 則超可解。

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè)為有限群。如果的每個素數(shù)冪階非循環(huán)子群均有≤(), 或者| N() :≤2, 則是超可解群。

證明 運用極小反例法。假設(shè)這個定理結(jié)論不正確, 設(shè)是極小階反例。

設(shè)是的任意一個真子群,是的任意素數(shù)冪階非循環(huán)子群, 且≮(), 顯然≮()。依定理1假設(shè),|N() :≤2, 從而|N() :≤2。由的極小選擇,是超可解群, 則為內(nèi)超可解群。

根據(jù)引理4(1),=, 其中是的正規(guī)Sylow-子群,是的一個補。顯然是超可解的, 并且= 1。如果≤(), 則=, 所以。又因為是超可解的, 根據(jù)引理2,冪零, 所以冪零。再根據(jù)引理5可知超可解, 矛盾。所以≮()。如果≤(), 則由于()同構(gòu)于()(())是超可解的, 根據(jù)文獻[10](IX, 推1.13)知超可解。矛盾。所以,≮(), 從文獻[11](定理7.3)得到是非循環(huán)子群。

根據(jù)定理1假設(shè), 可設(shè)|N() :≤2, 因為正規(guī)于, 所以:= 2,為奇素數(shù)。設(shè)*為的極大子群,*正規(guī)于。如果*≤(), 則*Φ()為Φ()的正規(guī)子群。這與引理4(1)的結(jié)果相矛盾。所以*≮()。若*非循環(huán), 則由≤ N(*)及定理1假設(shè), 得到=|N(*) :*≤2。矛盾。所以*循環(huán),是的極小非循環(huán)-群。注意到為奇素數(shù), 根據(jù)文獻[9](III, 定理6.7)可知≌, 從而是非交換22階群。再根據(jù)引理6知是超可解群。矛盾。

定理2 設(shè)是非交換的冪零群, 則對于的任意非循環(huán)子群均有N() =, 或者≤()的充分必要條件是與下列群之一同構(gòu): (1),是素數(shù); (2)8。

證明 充分性顯然, 只證必要性即可。

因為是冪零群, 根據(jù)文獻[9](IV, 定理2.7)可知的每個極大子群都正規(guī)。設(shè)為的任一極大子群, 則|N() :=:=, 其中是素數(shù)。若非循環(huán)并且≮(), 則由定理1假設(shè),|N() := 1。矛盾。從而或者循環(huán)或者≤()。若≤(), 則= <>, ?∈, 所以為交換群。矛盾。即為循環(huán)群。又因為非交換, 所以是內(nèi)循環(huán)群。根據(jù)文獻[9](III, 定理6.7)可得≌或≌8。

定理3 設(shè)是非冪零群。則對于的任意非循環(huán)子群均有N() =, 或者≤() 的充分必要條件是同構(gòu)于超可解群<,= 1 =,-1=>, 其中是的最小素因子, ((1),) = 1, ≡ 1(mod),>>1,1。

證明 必要性。首先證明斷言:的所有Sylow子群都是循環(huán)群。事實上, 由定理1可知為超可解群,至少有一個正規(guī)的具有素數(shù)指數(shù)的極大子群。設(shè)為這樣的一個極大子群,:=為素數(shù)。如果非循環(huán), 則由于|N() :=:1, 依定理1假設(shè),≤()。從而=<,>, 其中∈。這導(dǎo)致是交換群, 從而是冪零群。矛盾。所以必為循環(huán)群。注意到:=,的任何Sylow-子群(≠) 均循環(huán), 并且正規(guī)于。為完成上述斷言的證明, 只需要證明的 Sylow-子群循環(huán)即可。

若否, 則有非循環(huán)的Sylow-子群。若≤(), 注意到正規(guī)于, 有為冪零。矛盾。所以≮()。因為非循環(huán), 由定理2假設(shè)N() =, 如果非交換, 則≌8。若交換, 根據(jù)文獻[9](IV, 定理5.14)知≌1。又因非循環(huán),至少有2個不同的極大子群1,2。注意到≮(), 所以1,2至少有一個不是()的子群。不妨設(shè)1≮(), 記=1。容易看到正規(guī)于≤, 則N() ≥>, 所以≠ N()。由定理2假設(shè)得到循環(huán)或者≤()。若≤(), 則1≤()。矛盾。所以≮()即循環(huán),1≤ C()。如果1,2均不是()的子群, 則≤ C()。為冪零。矛盾。所以只有一個極大子群不是()的子群, 其余的均含于中心。由于≮(), 所以只有2個極大子群, 其中一個含于中心, 另一個不含于中心。顯然交換。從而只能≌1。而根據(jù)引理1,1不可能只有2個極大子群。矛盾。所以斷言成立。

由上述證明及定理1假設(shè)可知,的所有Sylow子群都是循環(huán)的并且是非冪零的。根據(jù)引理3,= <,= 1 =,-1=>,((1),) = 1, ≡ 1(mod),>>1,>1。設(shè)是任一素因子,=<,>。由的定義關(guān)系可知, <> ≤ N(), 從而≮N()。又≮(), 所以定理1假設(shè)蘊含循環(huán)。故1(mod)。設(shè)是的最小素因子, 則是使1(mod)的最小正整數(shù)。如果至少有2個不同的素因子,。注意到(1,) = 1,-1+-2+++10(mod), 其中=或=。這導(dǎo)致整除。矛盾。所以=,為正整數(shù)。從而<>是的Sylow-子群。下面證明是的最小素因子。若否, 則存在的最小素因子使。設(shè)是的Sylow-子群, 則≤ <>循環(huán)。根據(jù)文獻[9](II, 定理5.5)知是-冪零的。從而有正規(guī)-補使得=。因為≮(),< N() =。按定理1假設(shè),是循環(huán)的。因為,為-群, 所以包含的任一Sylow-子群。從而<> ≤。由于<>char及正規(guī)于,得到<>正規(guī)于。矛盾。所以是的最小素因子, 并且同構(gòu)于<,= 1 =,-1=>, 其中 ((1),) = 1,≡ 1(mod),>>1,≥ 1。

充分性。設(shè)是的非循環(huán)子群。根據(jù)的定義關(guān)系, 設(shè)=, b>, 其中為正整數(shù),∈。注意到<>正規(guī)于并且=N() 等價于=N()。不妨設(shè)= 1, 即=,。顯然≤()不能成立, 下面證明=N()。

取=a∈N(),,均為正整數(shù)。因為<>正規(guī)于蘊含<>正規(guī)于, 所以=H= < (), b>= <, b>== <,>。從而<b>,<>均為的Sylow子群。根據(jù)Sylow定理, 存在∈使<b>= <>。設(shè)=b1()2, 其中1,2為正整數(shù)。則存在正整數(shù)使b= ()1(al) y2。從而-1+x=(r-1)(j-2)。注意到<><>= 1。有-1+x= 1 =(r-1)(j-2)。即1(mod), (1)(2)0 (mod)。又由(1,) = 1可得20 (mod), 則=a=ba2= b()2∈, 即=N()。證畢。

總結(jié)定理2和定理3可得到定理4。

定理4 設(shè)是有限群。如果對于的任意非循環(huán)子群, 均有N() =, 或者≤(), 那么與下列群之一同構(gòu): (1) 交換群; (2)8; (3) <,= 1 =,-1=>, 其中是的最小素因子, 并且((1),) = 1,≡1(mod),>>1,≥1。

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[10] 徐明曜, 黃建華, 李慧陵, 等. 有限群導(dǎo)引(下冊)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1999.

[11] 陳重穆. 內(nèi)外群與極小非群[M]. 重慶: 西南師范大學(xué)出版社, 1988.

(責(zé)任編校: 劉曉霞)

Finite groups with some non-cyclic subgroups outside centre being self-normalizing

Zhong Xianggui, Zhang Xiaolei

(College of Mathematics and Statistics, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China)

By some non-cyclic subgroups outside centre being self-normalizing to characterize the structure of finite groups, the results were obtained as follows: A finite groupis always supersolvable if either|N() :≤2 or≤() for every non-cyclic subgroupofof prime-power order. Also, finite groupswith all non-cyclic subgroups being self-normalizing or contained in() are completely classified.

finite groups; non-cyclic subgroup; index; normalize

10.3969/j.issn.1672–6146.2016.04.001

O 152.1

1672–6146(2016)04–0001–03

鐘祥貴, xgzhong@gxnu.edu.cn。

2016-05-19

國家自然科學(xué)基金項目(11261007); 廣西省自然科學(xué)基金項目(2014GXNSFAA118009); 廣西高?？茖W(xué)技術(shù)研究項目(ZD2014016)。