余麗琴 董玉娟
摘要:本文利用積分變換(Fourier變換和Laplace變換)來計(jì)算無窮限積分,通過具體的實(shí)例說明采用積分變換計(jì)算特殊類型的無窮限積分是簡(jiǎn)便、有效的,是對(duì)用初等方法計(jì)算無窮限積分的一個(gè)很好補(bǔ)充。
關(guān)鍵詞:無窮限積分;Fourier變換;Laplace變換
中圖分類號(hào):G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2016)09-0171-03
一、引言
廣義積分(或稱反常積分)的反常性既表現(xiàn)在積分區(qū)間為無窮區(qū)間,又表現(xiàn)為被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)部出現(xiàn)瑕點(diǎn)。當(dāng)廣義積分被積函數(shù)的原函數(shù)不好找或者不存在初等函數(shù)的原函數(shù)時(shí),反常積分的求解就不太容易討論,也就難于求值,因此除了掌握用基本方法外,還應(yīng)了解一些特殊類型積分的求解方法。
求解無窮限積分的方法還有很多,如文獻(xiàn)中就介紹了利用留數(shù)來計(jì)算某些類型的無窮限積分.但要利用留數(shù)計(jì)算定積分,需具備兩個(gè)條件:一是被積函數(shù)與某個(gè)解析函數(shù)有關(guān);二是選擇相應(yīng)的封閉路徑,由于封閉路徑的形狀可能是多種多樣,再者周線上有奇點(diǎn)的時(shí)候還要繞過去,因此由于選擇封閉路徑的困難使得利用留數(shù)計(jì)算無窮限積分的方法也受到了很大的限制。
積分變換(Fourier變換和Laplace變換)的理論和方法在數(shù)學(xué)的許多分支、其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中均有廣泛應(yīng)用.本文通過具體的實(shí)例展現(xiàn)利用積分變換計(jì)算某些特殊類型的無窮限積分的思想和方法,以及相對(duì)于初等方法方法的優(yōu)勢(shì),對(duì)積分變換計(jì)算某些特殊類型的無窮限積分的應(yīng)用做了淺顯的討論。
二、利用拉普拉斯變換的定義計(jì)算無窮限積分
對(duì)比兩種方法,可以看到利用積分變換計(jì)算比用留數(shù)的方法計(jì)算更方便和更簡(jiǎn)捷。
四、利用傅立葉變換及其逆變換的定義計(jì)算無窮限積分
定義:如果函數(shù)f(x)滿足Fourier積分定理中的條件,也就是函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)滿足下列條件:1)f(x)在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件;2)f(x)在無限區(qū)間
例5和例6利用傅立葉變換及其逆變換的定義計(jì)算含參變量的無窮限積分,高數(shù)中計(jì)算含參變量的無窮限積分,一般只能按定義進(jìn)行,難點(diǎn)在于要求出被積函數(shù)的原函數(shù),而一些看似簡(jiǎn)單的函數(shù)想要找到其原函數(shù),在實(shí)函數(shù)理論中幾乎辦不到,即使能夠找到,過程也很繁瑣,而利用積分變換法解決這種問題,就可以避免求原函數(shù),從而簡(jiǎn)化了計(jì)算,具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。
五、總結(jié)
本文通過具體的實(shí)例說明利用積分變換計(jì)算特殊類型的無窮限積分是一種簡(jiǎn)便而有效的方法和途徑,它克服了初等方法的局限性,是對(duì)初等方法的一個(gè)很好的補(bǔ)充.
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