田 玉 萍

(黑河學(xué)院數(shù)學(xué)系　黑龍江 黑河 164300)

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基于離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換本征矢量分解的圖像加密算法

田 玉 萍

(黑河學(xué)院數(shù)學(xué)系黑龍江 黑河 164300)

摘要針對(duì)目前采用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對(duì)圖像進(jìn)行加密的算法中，其主要存在密鑰敏感性較差等不足，提出一種將離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換與指數(shù)隨機(jī)相位掩膜、Logistic混沌映射結(jié)合起來(lái)進(jìn)行加密的新算法。該算法在加密過(guò)程采用離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換本征矢量分解的方法進(jìn)行運(yùn)算，顯著提高了加密系統(tǒng)的安全性能。首先，對(duì)原始圖像進(jìn)行Logistic映射混沌置亂處理，接著與第一個(gè)指數(shù)隨機(jī)矩陣A相乘，之后再經(jīng)α階離散的分?jǐn)?shù)階Fourier變換；其次，與第二個(gè)指數(shù)隨機(jī)矩陣B相乘,再經(jīng)β階離散的分?jǐn)?shù)階Fourier變換；最后，利用Logistic映射對(duì)圖像再次進(jìn)行置亂處理來(lái)獲得最終的密文圖像。仿真結(jié)果表明：與其他類似加密機(jī)制相比，該加密系統(tǒng)兼顧了更強(qiáng)的密鑰敏感性以及更高的安全性。

關(guān)鍵詞圖像加密離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換本征矢量分解密鑰敏感性混沌置亂

IMAGE ENCRYPTION ALGORITHM BASED ON EIGENVECTOR DECOMPOSITION OF DISCRETE FRACTIONAL FOURIER TRANSFORM

Tian Yuping

(Department of Mathematics,Heihe College,Heihe 164300,Heilongjiang,China)

AbstractCurrent algorithms use discrete fractional Fourier transform (DFRFT) to encrypt images, they have the shortcoming of poor sensitivity in key. In light of this, we proposed a new algorithm, which combines the discrete fractional Fourier transform with exponential random phase mask and Logistic chaotic mapping for encryption. In encryption process the algorithm adopts the method of discrete fractional Fourier transform eigenvector decomposition for computing, and this significantly improves the safety performance of the encryption system. First, it conducts Logistic mapping chaotic scrambling processing on original image, then is multiplied by the first exponential random matrix A, after that the DFRFT of order α is applied; Secondly, it is multiplied by the second exponential random matrix B, then the DFRFT of order β is applied again; Finally, it uses Logistic mapping to scramble the image once again to get the final ciphertext image. Simulation results showed that compared with other similar encryption mechanisms, the proposed encryption system considered both the stronger key sensitivity and higher security.

KeywordsImage encryptionDiscrete fractional Fourier transformEigenvector decompositionKey sensitivityChaotic scrambling

0引言

隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)以及多媒體技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)字圖像不僅涉及了個(gè)人隱私的安全性，而且也涉及了國(guó)家信息保密的安全性，其在傳輸過(guò)程中容易遭受非法攻擊和泄露，因此數(shù)字圖像信息安全已經(jīng)成為了當(dāng)今時(shí)代具有重要現(xiàn)實(shí)意義的研究課題，圖像加密技術(shù)也越來(lái)越受到人們密切的關(guān)注與重視[1-4]。

分?jǐn)?shù)階Fourier變換[5,6]是一種與具有交叉項(xiàng)干擾的二次型時(shí)頻分布有顯著差異的新型時(shí)頻分析工具。它已經(jīng)在信息安全領(lǐng)域、目標(biāo)檢測(cè)領(lǐng)域以及信號(hào)處理領(lǐng)域等均顯示出了極為優(yōu)良的應(yīng)用價(jià)值，已經(jīng)逐漸成為圖像加密中的重要研究熱點(diǎn)之一[7,8]。何俊發(fā)[9]等人利用分?jǐn)?shù)傅里葉變換的正變換和逆變換來(lái)完成圖像的加密變換，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該加密方案具有可行性，并且也一定程度上提高了圖像的安全性；但是，該方案也存在某些弊端，例如只有在正、逆變換級(jí)次相同或滿足周期條件這兩種情況下，才能正確解密出原始圖像，并且該算法的安全性還不夠高。崔得龍[10]等人對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的加密算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種同時(shí)結(jié)合隨機(jī)相位掩膜、混沌系統(tǒng)的新算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該算法的安全性能較高。王雅慶[11]等人提出了一種將分?jǐn)?shù)階Fourier變換和混沌系統(tǒng)結(jié)合在一塊的數(shù)字圖像加密算法，方案首先利用混沌將圖像進(jìn)行置亂處理，然后再執(zhí)行X方向和Y方向的離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，加密算法的安全性很好。

上述基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的相關(guān)加密算法，雖然可以在一定程度上提高加密系統(tǒng)的安全性，但是還存在一些不足，如系統(tǒng)的密鑰空間較小，導(dǎo)致抗窮舉攻擊性能較差；密文圖像對(duì)密鑰的敏感性還相對(duì)較差等。對(duì)此，本文為了進(jìn)一步提高加密系統(tǒng)的密鑰敏感性及安全性，提出一種基于離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換本征矢量分解結(jié)合指數(shù)隨機(jī)相位掩膜的新加密算法；最后測(cè)試了本文算法的安全性能。

1分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論

對(duì)于信號(hào)x(t)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換，其定義[6]如下：

(1)

其中，核函數(shù)Kp(u,t)可表示為：

(2)

(3)

其中，式中的k≥0,m≤M-1。矩陣X中只有四個(gè)本征值，它們分別是1，-1，j以及-j。引入另外一個(gè)M×M矩陣Y,其定義如下：

(4)

Ym,m+1=Ym+1,m=10≤n≤M-2

(5)

YM-1,0=Y0,m-1=1

(6)

當(dāng)YZ=ZY時(shí)，它們之間可以相互交換，并且有相同的本征矢量值，但是它們的本征值卻不同。因此，對(duì)于一個(gè)M×M離散的分?jǐn)?shù)階Fourier變換，可以應(yīng)用離散Fourier變換Hermite本征矢量來(lái)構(gòu)造離散的分?jǐn)?shù)階Fourier變換的本征矢量，其變換算子[11]可以表示為：

(7)

式中，M是離散信號(hào)的有效長(zhǎng)度；v是由離散Fourier變換Hermite本征矢量構(gòu)造出來(lái)的酉矩陣；vk是離散Fourier變換的第k個(gè)Hermite本征矢量；D為對(duì)角矩陣；T為轉(zhuǎn)置矩陣。而矩陣V則可以表示為如下形式：

(8)

2本文加密算法設(shè)計(jì)

本文采用離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換結(jié)合雙隨機(jī)相位矩陣對(duì)圖像進(jìn)行加密。首先原始圖像p經(jīng)Logistic映射進(jìn)行圖像像素值置亂處理，將處理后得到的圖像與第一個(gè)指數(shù)隨機(jī)矩陣A相乘，之后再經(jīng)α階離散的分?jǐn)?shù)階Fourier變換，得到處理后的圖像p′；接著，將處理后的圖像p′與第二個(gè)指數(shù)隨機(jī)矩陣B相乘,再經(jīng)β階離散的分?jǐn)?shù)階Fourier變換,獲得加密圖像p″，最后利用Logistic映射對(duì)圖像再次進(jìn)行置亂處理，獲得最終的密文圖像。加密過(guò)程的流程設(shè)計(jì)如圖1所示。

圖1　本文提出的加密流程圖

2.1圖像加密過(guò)程設(shè)計(jì)

(1) 原始圖像。本文加密的圖像是大小為M×N的灰度圖像，其中，M為圖像像素總行數(shù)，N為圖像像素總列數(shù)；

(2) Logistic映射混沌置亂。設(shè)置初始值X0和控制參數(shù)u0，代入Logistic映射方程Xn+1=uXn(1-Xn)(3.5669≤μ≤4，0≤X0≤1)，迭代N次，生成長(zhǎng)度為M×N的混沌序列L，接著對(duì)混沌序列L進(jìn)行排序來(lái)獲得新的序列L′;將原始圖像的像素值按先后順序轉(zhuǎn)換成長(zhǎng)度為M×N的一維序列X, 然后利用L′來(lái)對(duì)X進(jìn)行置亂處理。置亂處理方式如下：

X′(L′(i))=X(i)i=1,2,…,M×N

(9)

(3) 矩陣A變換。將經(jīng)Logistic映射處理后的圖像P與指數(shù)隨機(jī)矩陣A相乘,矩陣A=ejφn。其運(yùn)算公式如下：

H′=P?A=P?ejφn(x,y)

(10)

(4) α階離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換。將已經(jīng)完成了步驟(3)處理后的圖像經(jīng)α階離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換，運(yùn)算公式如下：

H″=Xα(P?ejφn(x,y))

(11)

(5) 矩陣B變換。將步驟(4)得到的圖像與指數(shù)隨機(jī)矩陣B相乘,矩陣B=ejβm(其中，矩陣B與矩陣A相互獨(dú)立)。運(yùn)算公式如下：

H?=(Xα(P×ejφn(x,y)))×ejβm(x,y)

(12)

(6) β階離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換 將已經(jīng)完成了步驟(5)處理后的圖像經(jīng)β階離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換，運(yùn)算公式如下：

W=Xβ((Xα(P×ejφn(x,y)))×ejβm(x,y)

(13)

(14)

其中，式中的t(x,y)表示為置亂矩陣T(x,y)的元素值。

2.2圖像解密過(guò)程設(shè)計(jì)

圖像的解密過(guò)程是加密過(guò)程的逆過(guò)程，具體的解密流程如圖2所示。

圖2　本文提出的解密流程圖

解密過(guò)程大致描述如下：

(1) 利用Logistic映射置亂矩陣T對(duì)密文圖像進(jìn)行反置亂處理；

(2) 將反置亂后的圖像經(jīng)-β階離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換，運(yùn)算公式為：

W′=X-β(W)=X-β(Xβ(Xα(P?ejφn(x,y)?ejβm(x,y))

(15)

(3) 將W′與指數(shù)隨機(jī)矩陣B*=e-jβm(x,y)相乘，得到W″：

W″=(X-β(Xβ((Xα(P?ejφn(x,y)))?ejβm(x,y))))?e-jβm(x,y)

(16)

(4) 將W″經(jīng)-α階離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換，得到W?：

W?=X-α((X-β(Xβ((Xα(P?ejφn(x,y)))?

ejβm(x,y))))?e-jβm(x,y)

(17)

(5) 將W?與指數(shù)隨機(jī)矩陣A*=e-jαn(x,y)相乘：

S=(X-α((X-β(Xβ((Xα(P?ejφn(x,y)))?

ejβm(x,y))))?e-jβm(x,y)))?e-jφn(x,y)

(18)

(6) 對(duì)S再次進(jìn)行Logistic映射反置亂處理，最終獲得原始圖像。

3仿真結(jié)果及分析

本文將文獻(xiàn)[10](記作A算法)和文獻(xiàn)[11](記作B算法)作為對(duì)照組來(lái)測(cè)試本文加密算法的安全性能，仿真圖像是一個(gè)大小為256×256的灰度圖像，在MATLAB7.1軟件平臺(tái)下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真條件為：Intel 2.5 GHz，雙核CPU，16 GB的內(nèi)存，運(yùn)行系統(tǒng)Windows 7。

3.1圖像加密效果對(duì)比分析

圖3　圖像加密算法結(jié)果

為了進(jìn)一步量化不同加密算法的安全性，本文引用信息熵來(lái)評(píng)估[12,13]：

(19)

其中，L為像素值，p(mi)為mi出現(xiàn)的概率。

經(jīng)不同加密算法處理后密文的信息熵結(jié)果見(jiàn)表1。從表1中可以看出，利用本加密算法處理后的密文熵值均比A、B加密算法的熵值要更大。這表明本文加密算法的抗熵攻擊性及安全性均更好。

表1　不同加密算法處理后密文的信息熵值

3.2圖像統(tǒng)計(jì)特征分析

本文通過(guò)比較加密前后圖像灰度直方圖的分布特點(diǎn)來(lái)進(jìn)一步分析系統(tǒng)的抵御統(tǒng)計(jì)攻擊性能，分析結(jié)果如圖4所示。由圖4(a)可知，初始圖像像素點(diǎn)的分布呈現(xiàn)出不均勻態(tài)勢(shì)，直方圖波動(dòng)程度較大，很容易受到攻擊，其安全性較低。而經(jīng)本文算法加密后的密文圖像，直方圖發(fā)生了很大的改變，如圖4(d)所示，其像素分布比較均勻，表明本文采用的加密算法具有特別好的加密效果，安全性高；然而，A、B算法的密文直方圖卻呈現(xiàn)不均分布的特征，如圖4(b)和4(c)所示，密文直方圖波動(dòng)程度較圖4(d)的大，說(shuō)明它們的隨機(jī)性以及冗余性較低，與本文算法的安全性相比，均更容易受到攻擊。

圖4　灰度直方圖仿真結(jié)果

3.3密鑰空間對(duì)比分析

3.4密鑰敏感性分析

密鑰敏感性越強(qiáng)，則說(shuō)明加密算法抵抗差分攻擊性能也越強(qiáng)。本文測(cè)試參數(shù)x1(0)的敏感性。在其他參數(shù)不變的情況下，將x1(0)增加或減去一個(gè)極其微小干擾值δ后，變?yōu)?x0+δ)。圖5為當(dāng)δ取10-14時(shí)的密鑰敏感性能仿真測(cè)試結(jié)果，圖5(a)為正確密鑰對(duì)應(yīng)的密文；圖5(b)為(x0+δ)密鑰對(duì)應(yīng)的密文。從圖中可以看到，當(dāng)加密密鑰發(fā)生極其微小變化時(shí)，二者的像素點(diǎn)差異分布為對(duì)角形式，表明所得到的密文是截然不同的，見(jiàn)圖5(c)。圖5(d)更加直觀體現(xiàn)了本文算法的密鑰敏感性，當(dāng)x1(0)發(fā)生極其微小變動(dòng)時(shí)，其MSE曲線波動(dòng)劇烈。變換階數(shù)偏差MSE曲線如圖5(e)所示。 從圖5(e)中可以看出，當(dāng)加密過(guò)程中的單個(gè)階數(shù)密鑰誤差達(dá)到或超過(guò)0.01時(shí)，其MSE曲線呈現(xiàn)尖銳上升趨勢(shì)，并且相對(duì)于其他兩種加密算法，本加密算法的趨勢(shì)更明顯。這說(shuō)明本文加密算法的密鑰敏感性較強(qiáng)，且滿足嚴(yán)格的“雪崩準(zhǔn)則”。

圖5　密鑰敏感性仿真實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果

同時(shí)，本文引入像素改變率(NPCR)與歸一化像素值平均改變強(qiáng)度(UACI)來(lái)對(duì)密鑰敏感性進(jìn)行測(cè)試評(píng)估。NPCR與NPCR的計(jì)算公式如下[14,15]：

(20)

(21)

(22)

經(jīng)計(jì)算獲得NPCR= 99.89%，UACI=33.48%，均大于A、B算法的NPCR與UACI(見(jiàn)圖6與表2所示)，可見(jiàn)本文算法具有更強(qiáng)的抗差分攻擊能力、更高的加密效率。

圖6　UACI以及NPCR的測(cè)試結(jié)果

加密算法NPCRUACI本文加密算0.99890.3348A算法0.99780.3335B算法0.99830.3341

3.5相鄰兩像素點(diǎn)的相關(guān)性分析

大量研究表明，高度安全的加密系統(tǒng)可以有效消除相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)性。在初始圖像與密文圖像中分別隨意擇取3000對(duì)相鄰像素點(diǎn)計(jì)算其相關(guān)系數(shù)RXY，計(jì)算模型如下：

(23)

其中，X與Y表示為圖像相鄰像素點(diǎn)的灰度值；σX、σY分別表示為X、Y的標(biāo)準(zhǔn)偏差；μX、μY分別表示為X、Y平均值。

圖像在對(duì)角線、水平、垂直這三個(gè)方向的相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)性測(cè)試結(jié)果如表3所示，從表中可以看出，密文圖像相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性較低。圖7是水平方向上的加密前后圖像里任意兩個(gè)相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性測(cè)試結(jié)果。如圖7(a)所示，明文圖像的相鄰像素值聚集為一條對(duì)角線(x=y)，這表明其相鄰像素點(diǎn)間的相關(guān)性很高，得到的值達(dá)到0.9766；而經(jīng)過(guò)本文算法加密后，其像素值呈現(xiàn)均勻分布，如圖7(b)所示，說(shuō)明本文算法能夠以有效消除其相關(guān)性，得到的值為-0.0039，該值趨于0。

圖7　相鄰像素間相關(guān)性仿真結(jié)果

相鄰像素點(diǎn)的擇取方向明文圖像密文圖像對(duì)角線方向0.93540.0087水平方向0.9766-0.0039垂直方向0.98470.0010

4結(jié)語(yǔ)

針對(duì)目前的一些關(guān)于基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的圖像加密算法主要存在密鑰敏感性及安全性較差的缺點(diǎn)，本文提出一種基于離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換結(jié)合指數(shù)隨機(jī)相位掩膜的加密算法。利用Logistic混沌映射進(jìn)行置亂處理，加密過(guò)程采用了離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換本征矢量分解的方法進(jìn)行運(yùn)算。最后給出了相關(guān)算法的安全性對(duì)比分析。仿真結(jié)果表明:與其他加密機(jī)制相比，本文加密系統(tǒng)兼顧了更強(qiáng)的密鑰敏感性以及更高的安全性。

參考文獻(xiàn)

[1] 任洪娥,戴琳琳,張健.基于混沌數(shù)列變換的圖像加密算法[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì),2013,34(5):1615-1619.

[2] 郭雨,柏森,陽(yáng)溢.基于復(fù)用技術(shù)和數(shù)論的圖像加密壓縮同步算法[J].電視技術(shù),2013,37(5):33-37.

[3] 許爽,王偉,蘇玉.基于雙向擴(kuò)散機(jī)制融合偽隨機(jī)數(shù)同步生成器的快速圖像加密算法研究[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2014,14(3):45-50.

[4] 龔黎華,曾邵陽(yáng),周南潤(rùn).基于2D Arnold變換與頻譜切割的彩色圖像加密算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2012,32(9):2599-2602.

[5] Nshchal N K,Joseph J,Singh K.Securing information using fractional Fourier transform in digital holography[J].Optics Communications,2004,235(6):253-259.

[6] 李孟濤,孫劉杰,李晨璐.基于小波變換的傅里葉加密印刷水印算法研究[J].包裝工程,2012,23(15):22-24.

[7] Zhou Y C,Bao L,Chen C L P.Image encryption using a new parametric switching chaotic system[J].Signal Processing,2013,93(11):3039-3052.

[8] Li L,Abd El-Latif A A,Niu X.Elliptic curve ElGamal based homomorphic image encryption scheme for sharing secret images[J].Signal Process,2012,38(92):1069-1078.

[9] 何俊發(fā),李俊,王紅霞.不對(duì)稱離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像的加密變換[J].光學(xué)技術(shù),2005,31(3):410-412.

[10] 崔得龍,肖明,左敬龍.一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的改進(jìn)圖像加密算法[J].成都信息工程學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(1):22-26.

[11] 王雅慶,周尚波.基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的數(shù)字圖像加密算法研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究,2011,28(7):2738-2741.

[12] Ahmed A,Abd El-Latif,Li Li,et al.A new approach to chaotic image encryption based on quantum chaotic system,exploiting color spaces[J].Signal Processing,2013,93(11):2986-3000.

[13] Zheng H,Yu S,Lü J.Design and ARM Platform-Based Realization of Digital Color Image Encryption and Decryption via Single State Variable Feedback Control[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2014,24(4):1013-1018.

[14] Wang Zhen,Huang Xia,Li Yuxia,et al.A new image encryption algorithm based on the fractional-order hyperchaotic Lorenz system[J].Chinese Physics B,2013,22(1):10504-10509.

[15] Joshi M,Shakher C,Singh K.Logarithms-based RGB image encryption in the fractional Fourier domain:a non-linear approach[J].Optics and Lasers in Engineering,2009,47(6):721-727.

中圖分類號(hào)TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

DOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.02.074

收稿日期：2014-07-02。黑龍江省新世紀(jì)高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目(JG2013010437)；黑河學(xué)院高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目(Xjg1303)。田玉萍，副教授，主研領(lǐng)域：圖像處理，線性代數(shù)。