石才英

通常我們可以應(yīng)用算術(shù)方法或者代數(shù)方法去解應(yīng)用問題.然而對于有些實(shí)際應(yīng)用問題，我們還可以通過變換思維，利用構(gòu)造圖形，采取數(shù)形結(jié)合的方法去巧思妙解.這類素材較少，今補(bǔ)充數(shù)例，供中學(xué)師生教與學(xué)時(shí)參考.

1關(guān)于丟番圖的“生平”應(yīng)用問題

例1希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元3—4世紀(jì)）墓碑上的記載：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他壽命的十二分之一，兩頰長起了細(xì)細(xì)的胡須；他結(jié)了婚，又度過了一生的七分之一；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了.求出丟番圖結(jié)婚的年齡、開始當(dāng)爸爸的年齡、他兒子死時(shí)的年齡以及他去世時(shí)的年齡.

代數(shù)解法設(shè)丟番圖生活的年歲為x，則x=16x+112x+17x+5+12x+4，整理此方程，得984x=9，x=84（歲）.所以，丟番圖活了84歲.

構(gòu)圖解法畫一個(gè)長方形，用構(gòu)圖法.圖1

因?yàn)閇6，12，7，2]=84，把這個(gè)長方形分成84個(gè)格，劃去14格（即16），7格（即112），12格（即17）和42格（一半）后還剩下9格，占整個(gè)長方形的984，而9÷984=84.

由此可知，丟番圖活到84歲，21歲結(jié)婚，38歲做父親，80歲時(shí)死了兒子.

點(diǎn)評顯然兩種解法中，構(gòu)圖法別致巧妙，富有風(fēng)味，耐人細(xì)細(xì)品鑒.

2關(guān)于托爾斯泰的“割草”問題

列夫·托爾斯泰（1828—1910）是俄羅斯文學(xué)家，是《戰(zhàn)爭與和平》、《安娜·卡列尼娜》、《復(fù)活》等世界文學(xué)名著的作者，據(jù)說列夫·托爾斯泰在文學(xué)工作之余對數(shù)學(xué)也很感興趣，他喜歡這樣一道算術(shù)題：

例2割草隊(duì)要收割兩塊草地，其中一塊比另一塊大一倍，全隊(duì)在大塊草地上收割了半天之后，分為兩半，一半繼續(xù)留在大塊草地上，另一半轉(zhuǎn)移到小塊草地上.留下的人到晚上就把大草地全收割完了，而小塊草地上還剩一小塊未割.第二天，這下剩的一小塊，一個(gè)人花了一整天時(shí)間才割完.問割草隊(duì)中共有幾人？

托爾斯泰是怎樣解這道數(shù)學(xué)題的呢？

代數(shù)解法已知大片草地是小片草地的2倍，所以小片草地占兩片草地總和的13.設(shè)這組割草者共有x人，則兩片草地由x人割了一天，又由一個(gè)人割了一天.若由一個(gè)人割這兩片草地，則需（x+1）天，一個(gè)人割完小片草地的草需x+13天；另一方面，小片草地由x2人割了半天后還需一人割一天，相當(dāng)于一個(gè)人割了（x4+1）天，因而可得方程x+13=x4+1.解得x=8（人）.所以割草隊(duì)共有8人.圖2

構(gòu)圖解法先觀察圖2：它表示的是整個(gè)草地的大小，從圖中很容易分析出割草隊(duì)總?cè)藬?shù)為：13+13+13+1316=4316=8人.所以這組割草隊(duì)共有8人.

點(diǎn)評此題源自于托爾斯泰的秘書B·布爾卡柯夫的《列夫·托爾斯泰晚年的生活》一書，由上述構(gòu)圖解法不難看出：構(gòu)圖解法不僅數(shù)形結(jié)合，直觀明了，而且通俗易懂，簡潔新穎，值得重視.

3關(guān)于斯圖姆的“輪船相遇”問題

例31838年瑞士數(shù)學(xué)家斯圖姆（C.-F. Sturm，1803～1855）參加國際會議遇到此問題，是來自美國哈佛的朋友向他提出的：每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途中均要航行7天7夜.問某條從哈佛開出的輪船在到達(dá)紐約前的途中能遇上幾艘從紐約開來的輪船？

算術(shù)解法設(shè)每艘輪船的速度是x海里/晝夜，一艘輪船剛與迎面駛來的輪船相遇時(shí)，同下一艘即將相遇的輪船間剛好相差一晝夜的航程，即為x海里.因此，同下一艘輪船相遇的時(shí)間應(yīng)是x÷（x+x）=0.5（晝夜），也就是說一艘輪船可以在一晝夜遇到兩艘迎面駛來的輪船.那么，七晝夜一共可以遇到從對面開來的輪船7×2=14（艘），加上出港時(shí)遇到的1艘，一共有15艘輪船從對面開來.

構(gòu)圖解法 斯圖姆用運(yùn)行圖巧妙地解決了這一問題，如圖3所示的每條線段分別表示每條船的運(yùn)行情況，加粗的線表示從哈佛開出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點(diǎn)即為與對方開來輪船相遇的情形.由此可知該輪船能與對面開來的15艘輪船相會.這種運(yùn)行圖曾一度在運(yùn)輸問題中大顯神通.圖3

點(diǎn)評算術(shù)法顯得簡單，只要一個(gè)式子就解決問題了，但對題目意義的理解要求很高，只有充分理解題意，才能列出正確算式，否則很容易出錯(cuò).然而應(yīng)用了構(gòu)圖解法卻“柳暗花明又一村”.不僅方法匠心獨(dú)具，而且內(nèi)涵深邃，由此可啟迪學(xué)生發(fā)掘他們智慧的火花，借以點(diǎn)燃學(xué)生們頭腦思維的火焰.

4關(guān)于“溶液”問題

例4（2014年貴州省安順市中考題）一容器盛滿純酒精63升，第一次倒出若干升后，加水充滿.第二次倒出同樣升數(shù)的酒精溶液，再加水充滿，這時(shí)容器內(nèi)的純酒精為28升，求每次倒出酒精的升數(shù).

分析此題為濃度問題，加水充滿表示容器中酒精溶液永遠(yuǎn)是63升，酒精溶液中含純酒精的升數(shù)在每次倒出后都要改變.

代數(shù)解法設(shè)每次倒出x升，第一次倒出后剩下純酒精（63-x）升，加水充滿后酒精溶液的濃度是63-x63，第二次倒出純酒精63-x63·x升，第二次倒出后剩下純酒精（63-x）-63-x63·x升.依題意得：（63-x）-63-x63·x=28，即（63-x）2=28×63，

（63-x）2=22×32×72，所以63-x=±42，所以x1=21，x2=105>63不合題意，舍去.答：每次倒出酒精21升. 圖4

構(gòu)圖解法構(gòu)造邊長為（x+y）的正方形，如圖4所示，易知S1=S3=xy，S2=x2，S4=y2，用正方形面積（x+y）2表示容器的容積，第一次倒出酒精的體積為S1+S2=x（x+y）.接著用水加滿后，S1+S2表示水，此時(shí)容器中純酒精與水的比為y∶x，則第二次倒出的純酒精為S3=xy，水為S2=x2，再用水加滿，最終容器里剩下的純酒精為S4=y2=28.所以S1+S2=x（x+y）=（x+y）2-y（x+y）=63-63·28

=63-7×9×7×4=63-42=21，故每次倒出純酒精21升.

點(diǎn)評此題列一元二次方程求解，方法較難，理解困難，運(yùn)算量也較大.

然而構(gòu)圖解法卻新穎別致，從解法之中可給學(xué)生們帶來心智的啟迪，精神的愉悅.

5關(guān)于“年齡”問題

例5我現(xiàn)在的歲數(shù)是我弟弟當(dāng)年歲數(shù)的2倍，但我當(dāng)年的歲數(shù)卻與弟弟現(xiàn)在的歲數(shù)一樣，我們兩人現(xiàn)在的年齡之和是63歲.請問，我和弟弟現(xiàn)在各是多少歲？圖5

構(gòu)圖解法如圖5所示，BE是兩人年齡之差.當(dāng)年，我的年齡是AE時(shí)，他的年齡是CG，很明顯，BE=DG，而BDGE是一個(gè)平行四邊形.

由題意可以知道，CG=12AB，所以AF=CG=12AB.由于BE=DG，EF=DG，所以BF=2BE.于是AB=4BE，而CD=3BE，所以AB+CD=7BE，即63=7BE所以BE=9（歲）.因此，我和弟弟的年齡分別是36歲和27歲.

點(diǎn)評本題如用算術(shù)法和代數(shù)法求解均不容易，然而巧用構(gòu)圖法求解卻別有洞天，值得欣賞和重視.

6關(guān)于“優(yōu)惠”問題

例6一家庭（父親、母親和孩子們）去某地旅游.甲旅行社說：“如父親買全票一張，其余人可享受半票優(yōu)惠.”乙旅行社說：“家庭旅游算集體票，按23的原價(jià)優(yōu)惠.”這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的.試就家庭里不同的孩子數(shù)，分別計(jì)算兩家旅行社的收費(fèi)，并討論哪家旅行社更優(yōu)惠.圖6

構(gòu)圖解法設(shè)該家庭有x個(gè)小孩，甲、乙兩旅行社的收費(fèi)總金額為y甲和y乙，全票價(jià)為a，那么y甲=a+12（x+1）a（x為正整數(shù)），y乙=23（x+2）a（x為正整數(shù)），故y甲-y乙=a+12a（x+1）-23（x+2）a，所以y甲-y乙=a6（1-x），故當(dāng)x>1時(shí)，y甲y乙，乙旅行社更優(yōu)惠（見圖6）.

點(diǎn)評注意自變量x的實(shí)際意義，本題中自變量x表示小孩的個(gè)數(shù)，應(yīng)為自然數(shù)，所以函數(shù)圖像應(yīng)為離散的點(diǎn)而不是一條直線.這種構(gòu)圖法與一次函數(shù)相結(jié)合，緊扣教材，符合新課程改革的理念要求.

7關(guān)于“等分蛋糕”問題

例7（2014年浙江省溫州市中考題）有一塊三角形的蛋糕要平均分給6個(gè)小朋友，要求只切3刀，你有辦法達(dá)到要求嗎？試把你的方案畫出來，并加以說明.

分析實(shí)際上就是在一個(gè)三角形中作三條線段將其分成面積相等的6份.因?yàn)槿切蔚闹芯€可以將原三角形分成面積相等的兩部分，故本題應(yīng)從三角形中線入手尋找解法.圖7

構(gòu)圖解法如圖7所示，設(shè)△ABC為一塊蛋糕，在△ABC中，AE、BF、CD分別是三邊上的中線，O點(diǎn)為中線CD、AE、BF的交點(diǎn)，則此時(shí)，S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.理由如下：因?yàn)锳D=BD，所以

S△ACD=S△BCD，S△ADO=S△BDO.所以S△AOC=S△BOC，同理，△AOB和△BOC，△AOB和△AOC的面積也相等，又因?yàn)镾△BEO=S△CEO，S△CFO=S△AFO，所以S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.即只要沿三角形蛋糕的三邊中線切3刀就可達(dá)到要求.

點(diǎn)評將實(shí)際問題抽象成幾何模型，即要求“在三角形內(nèi)作三條線段，將其分成6個(gè)面積相等的部分.”由于“三角形的一條中線將原三角形分成面積相等的兩部分，”所以我們可以從畫三角形的中線入手，充分利用“三角形等底等高必等積”進(jìn)行分析和說明.

8關(guān)于“坐小火車又劃船人數(shù)”問題

例8六年級學(xué)生90人去公園夏令營.53人到湖中劃船，82人坐小型火車，有6人既沒劃船，也沒坐火車.問坐小火車又劃船的是多少人？圖8

解析圖8中構(gòu)造的這兩個(gè)圈分別表示劃船，坐火車人數(shù).中間重復(fù)的部分表示既劃船又坐火車人數(shù)，53+82=135（人），在這135人中既包括參加坐船或做小火車一項(xiàng)活動人數(shù)，又包括兩項(xiàng)都參加了的人數(shù)且重復(fù)算了這部分人數(shù)兩次，而90-6=84（人）是只參加劃船或坐小火車一項(xiàng)以及兩項(xiàng)運(yùn)動都參加了的人數(shù)的總和.所以，兩項(xiàng)都參加的人數(shù)等于135與84的差.算式：（53+82）-（90-6）=51（人）

答：既坐小火車又劃船的是51人.

點(diǎn)評圖解方法是數(shù)和形的結(jié)合.有些應(yīng)用題設(shè)置情景較為復(fù)雜，或者條件不太明顯，于是，我們分析應(yīng)用題時(shí)，利用直觀生動的幾何圖形，使題中的數(shù)量關(guān)系顯得具體形象，從而得出解題方法，這就是圖解方法.總之，應(yīng)用構(gòu)圖法解實(shí)際應(yīng)用問題，完全符合新課程改革的理念精神，對于啟迪學(xué)生思維，拓寬視野，鞏固“雙基”，提高綜合分析問題和解決實(shí)際問題的能力大有裨益.