李鋒，孟羽韋，郭琛，黃子瑜，王軍陣

（山東科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，山東 青島 266590）

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基于功的互等定理的組合樓板彈性階段受力分析

李鋒，孟羽韋，郭琛，黃子瑜，王軍陣

（山東科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，山東 青島 266590）

當(dāng)今社會，對于組合鋼梁及組合樓板在連續(xù)倒塌過程中的受力特性的研究，特別是彈性受力階段的研究還不完善。為了了解連續(xù)性倒塌工況下彈性階段受力性能，并為進一步的研究參數(shù)確定提供依據(jù)。文章針對連續(xù)倒塌的組合樓板彈性變形階段，運用功的互等定理，和采用有限元軟件模擬相同工況，并將其結(jié)果與運用功的互等定理得到的方程數(shù)值解結(jié)果分析比較，兩種方法的吻合性驗證了分析思維的正確性。

功的互等定理；線性分析；連續(xù)倒塌；組合樓板

0　引言

本文基于功的互等定理，展開了結(jié)構(gòu)彈性變形階段的受力分析，求解了梁與板的撓度方程、邊界條件、廣義位移解、邊界力的表達式；通過能量守恒定律，建立失效節(jié)點p-Δ混合變量的函數(shù)方程，通過方程全面的揭示了組合樓板連續(xù)倒塌工況下彈性階段的受力機理。

1　功的互等定理

功的互等定理簡單敘述如下：若一小變形線彈性體分別受到第1組力和第2組力的作用，則有第1組力在第2組力所產(chǎn)生的相應(yīng)位移上所做的功和在第1組力所產(chǎn)生的相應(yīng)位移上所做的功相等。

鑒于功的互等定理諸多優(yōu)點，恰恰適用于受力狀態(tài)復(fù)雜的連續(xù)倒塌工況下梁與板的受力分析，巧妙的繞過了復(fù)雜的內(nèi)力狀態(tài)，得到了關(guān)于位移和應(yīng)力的解，將互等定理與最小勢能原理、能量守恒定率相結(jié)合，即可清晰系統(tǒng)地求解在連續(xù)倒塌工況下梁板的受力特性，同時獲得其解析解，為結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌分析建立一種有效的分析方法。

2　板的廣義位移解

在連續(xù)倒塌工況中，典型的工況有角柱失效、邊柱失效、內(nèi)柱失效。相應(yīng)地，組合樓板的受力狀態(tài)也有多種。為求得在不同工況下的解，首先應(yīng)求得板在廣義支承邊下的廣義位移解及其邊界值。

廣義支承邊是指：板邊界的位移及彎矩值均為已知的支承邊，在連續(xù)倒塌過程中，支承邊四個角點的位移也均為已知，那么四邊為廣義支承邊的板稱為廣義支承，其解為最一般的解。

結(jié)合不同受力狀態(tài)下板的邊界條件，廣義支承板可以轉(zhuǎn)化為各種邊界條件的彈性彎曲板。

由功的互等定理及修正的Castigliano定理，可將板面的內(nèi)力與板邊緣及角點等廣義力廣義位移聯(lián)系起來，建立實際板和基本系統(tǒng)板之間的功的互等方程，即可建立失效點位移、集中力與板邊緣、板內(nèi)應(yīng)力的關(guān)系，其中還包含板的內(nèi)力與梁板構(gòu)件宏觀承載力間的關(guān)系，從而可獲得連續(xù)倒塌工況下剩余結(jié)構(gòu)的彈性受力機理和承載性能，利用能量法整體性的優(yōu)越特點巧妙的跳過了倒塌工況的復(fù)雜受力狀態(tài)計算，得到了解析解，并證明了其解為結(jié)構(gòu)的真實解。

3　角柱失效工況下的解

3.1純組合板計算

角柱失效引發(fā)的連續(xù)倒塌工況發(fā)生時，位于角部的板和梁的支承條件將發(fā)生變化，角部的兩根梁將轉(zhuǎn)變?yōu)閼冶哿海遣繕前宓闹С袟l件也由四邊固定轉(zhuǎn)變?yōu)閮舌忂吂潭?、兩鄰邊自由的矩形受彎樓板。取出分析對象結(jié)構(gòu)的底層，拆除A1角柱，將上部剩余結(jié)構(gòu)傳來的荷載簡化為一集中荷載作用于角部節(jié)點上。因此是結(jié)構(gòu)處于彈性范圍內(nèi)，故忽略失效柱相鄰兩柱的水平位移及豎向應(yīng)變。

3.2組合板與鋼梁連接區(qū)域板的計算

梁的豎向抵抗彎曲剛度遠大于組合樓板的豎向抗彎剛度，因此板的自由邊的邊界撓度應(yīng)由懸臂梁來確定，板面的撓曲面方程仍有板面彎曲特性確定，根據(jù)圣維南原理，相隔一段距離后力的影響是有限的，也即板邊緣存在一定寬度為Ω的有限區(qū)域。

根據(jù)虛功原理，外虛功等于內(nèi)虛功，也即宏觀外力在宏觀虛位移上所做的外虛功總和等于在內(nèi)力虛位移上所做虛功總和。在懸空角點處，連續(xù)倒塌處于彈性階段時，梁板不發(fā)生分離，其幾何應(yīng)變協(xié)調(diào)，但梁與板抗彎剛度的差異，使各構(gòu)件所承擔(dān)的力有所差異，根據(jù)力學(xué)基本原則，梁與板所受集中力近似按剛度比進行分配。

3.3組合板與鋼梁連接區(qū)域梁的計算

板面受均布荷載在板邊緣產(chǎn)生的彎矩Mx0、My0，對于組合梁相當(dāng)于作用于梁有效翼緣上的扭轉(zhuǎn)彎矩Mx0、My0，由于在構(gòu)件皆處于彈性階段，故在此不考慮組合梁的扭轉(zhuǎn)，對Mx0、My0作用在組合梁上進行抗扭轉(zhuǎn)斜截面應(yīng)力校核。

3.4平衡方程的建立

至此，角柱失效的連續(xù)倒塌的彈性階段工況下，角部板與梁的撓曲面和撓曲軸方程皆已求出，相應(yīng)地邊界方程均已建立，邊界廣義力參量也已求出。在此基礎(chǔ)上，建立能量平衡方程，即，對角部板的封閉系統(tǒng)而言，外力在其方向上所做總功之和，等于構(gòu)件各內(nèi)力分別在其方向上所做總功之和。

系統(tǒng)的外力做功由均布荷載q和集中力p組成，其中，q的做功距離即為撓曲面由力q和p共同貢獻產(chǎn)生，即二者撓曲面代數(shù)之和。外力分別對其所作用面積及距離進行積分，即可得在角柱失效的連續(xù)倒塌工況下，彈性階段角部結(jié)構(gòu)受力的所有參量。自此，校核結(jié)構(gòu)發(fā)生角柱失效連續(xù)倒塌的彈性階段受力，可以判斷出結(jié)構(gòu)是否能將連續(xù)倒塌控制在彈性階段內(nèi)，而不進入下一步的非線性變形或懸鏈線階段，事實證明，有一定比例的連續(xù)倒塌工況結(jié)構(gòu)的最終狀態(tài)是處于彈性范圍內(nèi)的，并未發(fā)生大面積的連續(xù)倒塌，實驗和模擬的結(jié)果也有類似結(jié)論。

3.5方程的數(shù)值解與有限元分析

通過Matlab數(shù)學(xué)軟件來解方程的數(shù)值解，按照本文分析的實際結(jié)構(gòu)設(shè)定基本參量，在這里將組合方程求得的ω撓曲面方程通過lowess擬合方法，也就是局部加權(quán)回歸散點修勻方法，將所得的撓曲面三角級數(shù)解的點在局部通過多項式算法，把所得解的集合擬合成數(shù)值解的曲面。

有限元分析結(jié)果也揭示了樓板對連續(xù)倒塌的有利作用，對比方程數(shù)值解的分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)擬合度很好，驗證了方程的正確性，同時證明了前文分析所得的撓曲面方程的解為廣義位移的真實解，在連續(xù)倒塌的彈性階段采用建立的方程結(jié)果進行結(jié)構(gòu)的位移計算是可行的。

有限元結(jié)果表明，組合板在角柱失效的連續(xù)倒塌工況下，面內(nèi)彎矩的最大值也出現(xiàn)在板面中心偏節(jié)點處，最大彎矩值與方程結(jié)果擬合較好，彎矩的分布情況與方程結(jié)果相同，懸臂梁的最大彎矩值也處于距節(jié)點約三分之一跨處，同樣揭示了組合樓板對結(jié)構(gòu)抗連續(xù)性能的有利作用，驗證了方程的正確性，在連續(xù)性倒塌的彈性階段建立的方程進行結(jié)構(gòu)抗力計算是切實可行的。

4　邊柱失效工況下的解

4.1邊柱失效受力分析

連續(xù)倒塌的第二種典型工況為邊柱失效，也即結(jié)構(gòu)長邊或短邊最外側(cè)軸線中某一根柱子破壞失效，當(dāng)?shù)讓舆呏r，邊柱失效結(jié)構(gòu)會發(fā)生整體變形。

4.2方程的數(shù)值分析與有限元分析

建立了能量平衡方程后，可得到p—Δ為混合變量的函數(shù)表達式，其中各參數(shù)用三角級數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)混合函數(shù)等方法寫出，通過數(shù)值計算即可獲得失效節(jié)點承載力和豎向位移的解、組合樓板撓曲面方程的解、支承鋼梁撓曲軸的解、局部結(jié)構(gòu)重要節(jié)點和邊緣處彎矩剪力等廣義力的解。通過Matlab求解方程組，通過對混合變量取變分后，首先獲得板面位移的撓曲面方程的解，再通過lowess局部加權(quán)回歸擬合為曲面。

有限元結(jié)果表明，2塊組合板的最大撓度乃發(fā)生在失效節(jié)點。有限元分析結(jié)果也揭示了樓板對連續(xù)倒塌的有利作用，對比在有限元中所得數(shù)值分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)擬合度很好，驗證了方程的正確性，同時證明了前文分析所得的撓曲面方程的解為廣義位移的真實解，在邊柱失效時連續(xù)倒塌的彈性階段建立的方程組進行結(jié)構(gòu)的位移計算是可行的。

5　內(nèi)柱失效工況下的解

5.1內(nèi)柱失效受力分析

連續(xù)倒塌的第三種典型工況為內(nèi)柱失效，也即結(jié)構(gòu)內(nèi)部某一根柱子破壞失效，當(dāng)進入底層內(nèi)柱失效連續(xù)倒塌工況時，內(nèi)柱失效局部結(jié)構(gòu)會發(fā)生彈性變形。

5.2方程的數(shù)值解與有限元分析

根據(jù)能量守恒方程，得到了p—Δ為混合變量的函數(shù)表達式，通過Matlab求解方程組，對混合變量取變分后，首先獲得板面位移的撓曲面方程的10000個點的解。內(nèi)柱失效的連續(xù)倒塌工況下彈性階段板面變形的有限元結(jié)果揭示了樓板對連續(xù)倒塌的有利作用，對比在方程數(shù)值計算所得的撓曲面方程的解為廣義位移的真實解，在內(nèi)柱失效時連續(xù)倒塌的彈性階段建立的方程組結(jié)果進行結(jié)構(gòu)的位移計算是可行的。

與邊柱失效工況相比，發(fā)現(xiàn)雖然上部結(jié)構(gòu)傳來的突加荷載更大，但板的最大彎矩增加不多，這是由于與失效節(jié)點直接聯(lián)系的樓板數(shù)量更多，形成了彈性膜效應(yīng)，使得梁和板上彎矩的分布更均勻，減小了彎矩極值，提高結(jié)構(gòu)抗力，這對提升結(jié)構(gòu)抗連續(xù)性倒塌性能是非常有利的。有限元結(jié)果表明組合板在角柱失效的連續(xù)倒塌工況下，面內(nèi)彎矩的最大值出現(xiàn)在節(jié)點處，彎矩的分布情況與方程結(jié)果相同。

可見，彈性階段內(nèi)柱失效的板整體性更好，傳力路徑更多，形成了彈性膜效應(yīng)，大幅度提高失效節(jié)點的承載力，結(jié)構(gòu)內(nèi)柱失效更不易發(fā)生連續(xù)倒塌，揭示了組合樓板對結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌性能的有利作用，驗證了方程的正確性。

6　結(jié)論

針對連續(xù)倒塌的彈性變形階段，運用功的互等定理，在實際系統(tǒng)和基本系統(tǒng)之間建立了梁與板的撓度方程、邊界值方程，列出局部結(jié)構(gòu)的能量守恒方程，從而得到了以位移-應(yīng)力為混合變量的三角函數(shù)和三角-雙曲混合函數(shù)表達式，通過對混合變量取變分，得到了關(guān)于結(jié)構(gòu)連續(xù)倒塌的一系列問題的解。求解方程的數(shù)值解與有限元軟件的模擬結(jié)果對比，驗證了本文提出方程的理論正確性。

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TU31

A

1007-7359(2016)03-0062-03

10.16330/j.cnki.1007-7359.2016.03.021

李鋒（1989-），女，山東聊城人，山東科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院在讀碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)工程。