本刊試題研究組

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分

1.記函數(shù)f（x）=3-x的定義域為A，函數(shù)g（x）=lg（x-1）的定義域為B，則A∩B=.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（z+1）i=3+5i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|=.

3.某算法的偽代碼如圖所示，若輸出y的值為3，則輸入x的值為.

4.右圖是7位評委給某作品打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，那么這組數(shù)據(jù)的方差是.

5.已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（φ>0）的部分圖象如圖所示，則ω=.

6.在一個盒子中有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片，現(xiàn)從中一次取出2張卡片，則取到的卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是.

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知OA=（3，-1），OB=（0，2）.若OC·AB=0，AC=λOB，則實數(shù)λ的值為.

8.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面.

①若mα，m⊥β，則α⊥β；

②若mα，α∩β=n，α⊥β，則m⊥n；

③若mα，nβ，α∥β，則m∥n；

④若m∥α，mβ，α∩β=n，則m∥n.

上述命題中為真命題的是（填寫所有真命題的序號）.

9.將函數(shù)y=2sinπ3x的圖象上每一點向右平移1個單位，再將所得圖象上每一點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的π3倍（縱坐標(biāo)保持不變），得函數(shù)y=f（x）的圖象，則f（x）的一個解析式為.

10.函數(shù)f（x）=（x-1）sinπx-1（-1

11.設(shè)α，β∈（0，π），且sin（α+β）=513，tanα2=12.則cosβ的值為.

12.設(shè)數(shù)列{an}滿足：a3=8，（an+1-an-2）（2an+1-an）=0（n∈N*），則a1的值大于20的概率為.

13.已知函數(shù)f（x）=x+2，0≤x<1，2x+12，x≥1.若a>b≥0，且f（a）=f（b），則bf（a）的取值范圍是.

14.已知曲線C：f（x）=x+ax（a>0），直線l：y=x，在曲線C上有一個動點P，過點P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為A，B.再過點P作曲線C的切線，分別與直線l和y軸相交于點M，N，O是坐標(biāo)原點.若△ABP的面積為12，則△OMN的面積為.

二、解答題：本大題共6小題，共90分

15.（本小題滿分14分）

已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=-7210.

（1）求cos2α的值；

（2）求2α-β的值.

16.（本小題滿分14分）

如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A=2AB，D，E，F(xiàn)分別為線段AC，A1A，C1B的中點.

（1）證明：EF∥平面ABC；

（2）證明：C1E⊥平面BDE.

17.（本小題滿分14分）

為穩(wěn)定房價，某地政府決定建造一批保障房供給社會.計劃用1600萬元購得一塊土地，在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)，每幢樓的樓層數(shù)相同，且每層建筑面積均為1000平方米，每平方米的建筑費用與樓層有關(guān)，第x層樓房每平方米的建筑費用為（kx+800）元（其中k為常數(shù)）.經(jīng)測算，若每幢樓為5層，則該小區(qū)每平方米的平均綜合費用為1270元.（每平方米平均綜合費用=購地費用+所有建筑費用所有建筑面積）.

（1）求k的值；

（2）問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費用最低，應(yīng)將這10幢樓房建成多少層？此時每平方米的平均綜合費用為多少元？

18.（本小題滿分16分）

已知函數(shù)f（x）=（m-3）x3+9x.

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為4，求m的值.

19.（本小題滿分16分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2m+y28-m=1.

（1）若橢圓C的焦點在x軸上，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若m=6，

①P是橢圓C上的動點，M點的坐標(biāo)為（1，0），求PM的最小值及對應(yīng)的點P的坐標(biāo)；

②過橢圓C的右焦點F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線l交x軸于點N，證明：ABFN是定值，并求出這個定值.

20.（本小題滿分16分）

設(shè)無窮數(shù)列{an}滿足：n∈Ν，an

（1）若bn=3n（n∈N*），求證：a1=2，并求c1的值；

（2）若{cn}是公差為1的等差數(shù)列，問{an}是否為等差數(shù)列，證明你的結(jié)論.

參考答案

一、填空題

1. （1，3]

2. 5

3. 8

4. 127

5. 23

6. 710

7. 2

8. ①④

9. y=2sin（x-π3）

10. 4

11. -1665

12. 14

13. [54，3）

14. 4

二、解答題

15.解：（1）因為tanα=2，

所以sinαcosα=2，即sinα=2cosα.

又sin2α+cos2α=1，解得sin2α=45，cos2α=15.

所以cos2α=cos2α-sin2α=-35.

（2）因為α∈（0，π），且tanα=2，所以α∈（0，π2）.

又cos2α=-35<0，故2α∈（π2，π），sin2α=45.

由cosβ=-7210，β∈（0，π），得sinβ=210，β∈（π2，π）.

所以sin（2α-β）=sin2αcosβ-cos2αsinβ

=45×（-7210）-（-35）×210=-22.

又2α-β∈（-π2，π2），所以2α-β=-π4.

16.證明：（1）如圖，取BC的中點G，連結(jié)AG，F(xiàn)G.

因為F為C1B的中點，所以FG

在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A

所以四邊形AEFG是平行四邊形.

所以EF∥AG.

因為EF平面ABC，AG平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

（2）因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，

所以A1A⊥BD.

因為D為AC的中點，BA=BC，所以BD⊥AC.

因為A1A∩AC=A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.

因為C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.

根據(jù)題意，可得EB=C1E=62AB，C1B=3AB，

所以EB2+C1E2=C1B2.從而∠C1EB=90°，即C1E⊥EB.

因為BD∩EB=B，BD平面BDE，EB平面BDE，

所以C1E⊥平面BDE.

17.解：（1）如果每幢樓為5層，那么所有建筑面積為10×1000×5平方米，所有建筑費用為[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，

1270={16000000+[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10}/（10×1000×5），

解之得：k=50.

（2）設(shè)小區(qū)每幢為n（n∈N*）層時，每平方米平均綜合費用為f（n），由題設(shè)可知

f（n）={16000000+[（50+800）+（100+800）+…+（50n+800）]×1000×10}/（10×1000×n）

=1600n+25n+825≥21600×25+825=1225（元）.

當(dāng)且僅當(dāng)1600n=25n，即n=8時等號成立.

答：該小區(qū)每幢建8層時，每平方米平均綜合費用最低，此時每平方米平均綜合費用為1225元.

18.解：（1）因為f′（0）=9>0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上只能是單調(diào)增函數(shù).

由f′（x）=3（m-3）x2+9≥0在區(qū)間（-∞，+∞）上恒成立，所以m≥3.

故m的取值范圍是[3，+∞）.

（2）當(dāng)m≥3時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，

所以[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，

解得m=54<3，不合題意，舍去.

當(dāng)m<3時，f′（x）=3（m-3）x2+9=0，

得x=±33-m.

所以f（x）的單調(diào)區(qū)間為：（-∞，-33-m）單調(diào)減，（-33-m，33-m）單調(diào)增，（33-m，+∞）單調(diào)減.

①當(dāng)33-m≥2，即94≤m<3時，

[1，2]（-33-m，33-m]，所以f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增，

[f（x）]max=f（2）=8（m-3）+18=4，m=54，不滿足題設(shè)要求.

②當(dāng)1<33-m<2，即0

③當(dāng)33-m≤1，即m≤0時，則[1，2]（33-m，+∞]，所以f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)減，

[f（x）]max=f（1）=m+6=4，m=-2.

綜上所述：m=-2.

19.解：（1）由題意得，m>8-m>0，解得4

即實數(shù)m的取值范圍是（4，8）.

（2）因為m=6，所以橢圓C的方程為x26+y22=1.

①設(shè)點P坐標(biāo)為（x，y），則x26+y22=1.

因為點M的坐標(biāo)為（1，0），所以

PM2=（x-1）2+y2=x2-2x+1+2-x23=2x23-2x+3

=23（x-32）2+32，x∈[-6，6].

所以當(dāng)x=32時，PM的最小值為62，此時對應(yīng)的點P坐標(biāo)為（32，±52）.

②由a2=6，b2=2，得c2=4，即c=2，

從而橢圓C的右焦點F的坐標(biāo)為（2，0），右準(zhǔn)線方程為x=3，離心率e=63.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點H（x0，y0），則

x216+y212=1，x226+y222=1，

所以x21-x226+y21-y222=0，即kAB=y1-y2x1-x2=-x03y0.

令k=kAB，則線段AB的垂直平分線l的方程為y-y0=-1k（x-x0）.

令y=0，則xN=ky0+x0=23x0.

因為F（2，0），所以FN=|xN-2|=23|x0-3|.

因為AB=AF+BF=e（3-x1）+e（3-x2）

=263|x0-3|.

故ABFN=263×32=6.

即ABFN為定值6.

20.解：（1）因為an∈N，所以若a1=1，則aa1=a1=3矛盾，

若a1≥3=aa1，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2.

于是a2=aa1=3，從而c1=aa1+1=a3=aa2=6.

（2）{an}是公差為1的等差數(shù)列，證明如下：

an+1>ann≥2時，an>an-1，所以an≥an-1+1an≥am+（n-m），（m

aan+1+1≥aan+1+an+1+1-（an+1），

即cn+1-cn≥an+1-an，由題設(shè)，1≥an+1-an，又an+1-an≥1，

所以an+1-an=1，即{an}是等差數(shù)列.