王　珍， 余金舫， 丁國(guó)龍

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

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基于MATLAB的搖臂軸非圓齒扇數(shù)控加工仿真

王珍， 余金舫， 丁國(guó)龍

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

[摘要]汽車轉(zhuǎn)向器搖臂軸非圓齒扇的加工存在一定難度和復(fù)雜性，傳統(tǒng)上是利用三維建模軟件直接模擬搖臂軸齒扇實(shí)際的加工過(guò)程，這種方法直觀，且求解過(guò)程簡(jiǎn)單，但是所得齒面精度不高并且需要進(jìn)行齒面重構(gòu)。針對(duì)這些問(wèn)題，提出一種加工仿真的方法，即通過(guò)MATLAB軟件，對(duì)非圓齒輪(以余弦函數(shù)傳動(dòng)比模型為例)進(jìn)行建模，根據(jù)齒輪齒條的嚙合原理，分析齒扇插齒加工中各進(jìn)給軸的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，然后在MATLAB軟件中模擬加工出齒扇。經(jīng)驗(yàn)證，計(jì)算齒面和實(shí)際齒面的誤差范圍很小，證明該方法正確且精確。

[關(guān)鍵詞]轉(zhuǎn)向器； 搖臂軸； 非圓齒扇； MATLAB

商用汽車轉(zhuǎn)向器搖臂軸齒扇齒條嚙合的速比曲線從早期的分段直線變速(日本五十鈴NKR、東風(fēng)商用車、印度塔塔)發(fā)展到余弦曲線變速(日本NSK等)，甚至偏心齒扇(德國(guó)奔馳)，這種變化極大地改善汽車駕駛操控的平順性，成為汽車轉(zhuǎn)向器市場(chǎng)的新亮點(diǎn)，應(yīng)用前景十分廣闊。相比于搖臂軸齒扇齒條副變速比設(shè)計(jì)技術(shù)，變速比齒扇加工技術(shù)難度和復(fù)雜度越來(lái)越大，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面為：一是余弦函數(shù)偏心齒扇加工需要三軸聯(lián)動(dòng)(一般是X、Y、C軸)，聯(lián)動(dòng)軸數(shù)增加；二是各進(jìn)給軸的運(yùn)動(dòng)軌跡方程以及數(shù)控插補(bǔ)算法更為復(fù)雜，增加了專機(jī)數(shù)控系統(tǒng)開(kāi)發(fā)難度。因此，利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)，分析插齒加工各進(jìn)給軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，模擬該齒扇實(shí)際加工過(guò)程，再將得到的齒扇齒廓進(jìn)行分析，驗(yàn)證插補(bǔ)算法的正確性，可避免專機(jī)數(shù)控系統(tǒng)開(kāi)發(fā)的盲目性，降低風(fēng)險(xiǎn)，為實(shí)際加工提供理論指導(dǎo)。

胡來(lái)瑢[1]闡述了非圓齒條齒輪副的平面嚙合理論，給出了嚙合的瞬心線求解的理論公式與齒廓方程。賀敬良[2]等人具體地研究了余弦函數(shù)變速比轉(zhuǎn)向器齒扇，并推導(dǎo)出嚙合方程與齒廓方程，雖然這些方程未得到有效驗(yàn)證，但這些理論研究對(duì)本文所提出的方法具有重要指導(dǎo)意義；周艷紅[3]等人開(kāi)發(fā)了變速比齒扇插齒加工的新型CNC系統(tǒng)，研究了分段直線式傳動(dòng)比的搖臂軸齒扇的數(shù)控加工，其方法對(duì)研究余弦函數(shù)傳動(dòng)比加工系統(tǒng)有很好的借鑒；方明輝[4]等人基于MATLAB對(duì)非圓齒輪的實(shí)現(xiàn)算法進(jìn)行了研究,為本文實(shí)現(xiàn)余弦函數(shù)傳動(dòng)比齒扇加工模擬，獲得更好的加工效果打下良好的基礎(chǔ)；丁國(guó)龍[5]等人對(duì)偏心的轉(zhuǎn)向器搖臂軸齒扇的數(shù)控加工進(jìn)行了分析與研究。本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上，基于MATLAB軟件基本功能的組合，設(shè)計(jì)一種類似實(shí)體布爾運(yùn)算的方法，實(shí)現(xiàn)了余弦函數(shù)傳動(dòng)比齒扇的加工仿真。

1齒輪齒條嚙合分析

余弦函數(shù)模型如圖1所示，其過(guò)渡曲線ω1-ω2段是余弦函數(shù)。在齒輪齒條的嚙合中，齒輪齒條機(jī)構(gòu)將齒輪1的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)辇X條2的移動(dòng)(圖2)。設(shè)齒輪1的瞬時(shí)角速度ω1=dφ1/dt，而齒條2的移動(dòng)速度V2=ds2/dt，式中

ds2=r1·dφ1

(1)

圖 1　余弦傳動(dòng)比曲線圖

圖 2　齒輪齒條嚙合傳動(dòng)

在直角坐標(biāo)系O1xy中，根據(jù)ds2=dx=ridφ1，齒條的瞬心線方程可表示為

齒輪齒條傳動(dòng)加工仿真的重點(diǎn)是計(jì)算出齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)與齒條移動(dòng)的相對(duì)關(guān)系，而建立了齒條位移x與齒扇轉(zhuǎn)角φ的關(guān)系，基本上就能確定加工出來(lái)的形狀(如果是帶有偏心的齒扇，還要確定中心距y與齒扇轉(zhuǎn)角φ的關(guān)系)。

對(duì)傳動(dòng)比函數(shù)i(φ)建模，利用齒輪齒條的嚙合原理，可建立x-φ(和y-φ)的參數(shù)方程。

2進(jìn)給軸運(yùn)動(dòng)分析

在數(shù)控加工中，關(guān)鍵是要確定各個(gè)軸的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況。在汽車搖臂軸齒扇的數(shù)控加工過(guò)程中，確定C軸與Y軸的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系(若帶有偏心，則需C,X,Y三軸聯(lián)動(dòng))，就能獲得確切的齒形。可以根據(jù)傳動(dòng)比模型i(φ)，提取φ為參數(shù)，分別計(jì)算出各個(gè)軸關(guān)于φ的參數(shù)方程X(φ)，Y(φ)。這樣，在編輯插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，就能以C軸為參考軸，按比例的對(duì)X和Y軸輸入脈沖，相當(dāng)于各個(gè)軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系已經(jīng)確定。

3MATLAB實(shí)例加工仿真

在MATLAB中建立刀具的模型，分別寫出在齒扇轉(zhuǎn)角φ=0時(shí)，刀具的x和y坐標(biāo)點(diǎn)的數(shù)組X和Y。因?yàn)椴煌摩罩祵?duì)應(yīng)的X和Y也是不同的，所以要求算出相對(duì)于φ=0時(shí)的增量，隨時(shí)更新X和Y，建立齒條齒扇嚙合的動(dòng)態(tài)效果(模擬的動(dòng)態(tài)效果是在for循環(huán)里面添加了一個(gè)pause函數(shù))。

真實(shí)的加工過(guò)程是刀具只做上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，齒坯做C軸與Y軸(和X軸)的聯(lián)動(dòng)。在用MATLAB模擬的時(shí)候，選定齒坯不動(dòng)，齒條做C軸與Y(和X軸)軸的聯(lián)動(dòng)，使用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式

對(duì)X和Y進(jìn)行變換。

下面給出一個(gè)應(yīng)用的實(shí)例，齒扇齒條重要參數(shù)：齒條齒全高，22 mm；齒條斜角α1，22°；齒條斜角α2，25°；齒條斜角α3，28°；齒扇齒根最大外圓直徑，95 mm；齒扇斜角，5°；C軸轉(zhuǎn)速ω，5°/s。

仿真代碼如下：

if ((t>=0)&&(1>=t))

v = v_1;

l = 34.1*c2; %x方向增量

elseif ((t>1)&&(9>=t))

v = v_2;

v2 = @(T)3.76628 -0.32272*cos(pi*(T-1)/8);

l = t/(c/w)*(4.06894 +quad(v2,1,t));

elseif ((t>9)&&(10>=t))

v = v_3;

if (c>0)

l = 36.2482 + 54.7460*(c2 - 0.7854);

elseif (c<0)

l = -36.2482 + 54.7460*(c2 +0.7854);

end

程序主要是針對(duì)變速比傳動(dòng)的轉(zhuǎn)向器中齒條的位移增量l的計(jì)算。令X=X+l，就能實(shí)現(xiàn)對(duì)X的實(shí)時(shí)更新了。另外，對(duì)于沒(méi)有偏心的搖臂軸齒扇，因?yàn)辇X輪齒條的中心距不變，所以Y不變；如果是偏心的，需要加上偏心量e(φ)(偏心量也要表示為與φ的關(guān)系)。

在MATLAB中，使用patch函數(shù)，可以畫出齒扇坯料與刀具(齒條)的圖形。刀具每轉(zhuǎn)一定的角度，都會(huì)與齒扇坯料有一點(diǎn)重合的部分，這部分是要切除的。而patch函數(shù)畫出的模型圖無(wú)法實(shí)現(xiàn)真正的圖形布爾運(yùn)算，這里使用一種類似的布爾運(yùn)算，可以看出布爾運(yùn)算的效果。具體實(shí)例代碼如下：

patch(X,Y, 'k' ) %刀具用黑色填充

hold on ;

plot(X,Y, 'w' );

plot([X(1) X(length(X2))],[Y(1) Y(length(X))], 'w' );

hold off

在實(shí)例中，使用patch函數(shù)畫出圖形的邊框顏色是黑色的，如果黑色邊框不消除，那么多次運(yùn)動(dòng)后，刀具就會(huì)留下黑色陰影。這兩個(gè)plot函數(shù)的功能就是將patch函數(shù)畫出來(lái)的刀具的黑色邊框刷白，就能將patch函數(shù)畫出的黑色邊框變成白色，從而隱藏在MATLAB的白色背景之下。仿真的效果即為刀具的轉(zhuǎn)動(dòng)伴隨著移動(dòng)，同時(shí)齒扇也逐漸成形。圖3與圖4是齒扇模擬加工的過(guò)程和最終模擬加工的齒扇。將模擬加工出的齒扇與實(shí)際加工出的齒扇的形狀精心對(duì)比，如圖5所示。

圖 3　齒扇加工

圖 4　加工出的齒扇

圖 5　模擬加工與實(shí)際加工對(duì)比

由圖5可以看出，模擬加工與實(shí)際加工的是十分接近的，由MATLAB中可查看，擬合的齒廓與實(shí)際齒廓的誤差在0.005 mm之內(nèi)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]胡來(lái)瑢.空間嚙合原理及應(yīng)用[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，1987.

[2]賀敬良，秦建旭，吳序堂.變速比轉(zhuǎn)向器齒扇設(shè)計(jì)理論研究[J].機(jī)械傳動(dòng)，2009,33(1)：12-14.

[3]周艷紅，周云飛，王水來(lái)，等.變速比齒扇插齒加工的新型CNC系統(tǒng)[J].中國(guó)機(jī)械工程，1995,6(2)：37-39.

[4]方明輝，李革，趙勻，等.基于MATLAB的非圓齒輪副齒廓算法研究[J].農(nóng)機(jī)化研究，2010,08(08)：57-60.

[5]丁國(guó)龍，王平江.轉(zhuǎn)向器搖臂軸偏心齒扇的數(shù)控加工[J].汽車工藝與材料，2009(05)：57-59.

[責(zé)任編校： 張眾]

The NC Machining Process of Rocker Arm Shaft Gear Sector Based on MATLAB

WANG Zhen，YU Jinfang，DING Guolong

(SchoolofMechanicalEngin.，HubeiUniv.ofTech.，Wuhan430068，China)

Abstract：The process of automobile redirector rocker arm shaft non-circular gear sector is of certain difficulty and complexity. It is a direct simulation of the machining process by using 3D modeling software in the tradition. The method is simple, but accuracy of the obtained tooth surface is not high and the surface reconstruction is needed in the case. To solve these problems, this paper presents a method for machining simulation, through the MATLAB to model the transmission ratio of cosine function,according to the meshing theory of gear and rack to analyze the relative motion relationship of each feed axis during the process of gear sector. It then simulated the gear sector in the MATLAB. The results proved that the error range of calculation and reality is very small and the method has high accuracy and precision.

Keywords：redirector; the rocker arm shaft; non-circular gear sector; MATLAB

[中圖分類號(hào)]TH132

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]：A

[文章編號(hào)]1003-4684(2016)01-0026-03

[作者簡(jiǎn)介]王珍(1991-)， 女，湖北武漢人，湖北工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論

[基金項(xiàng)目]湖北省科技攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目(2012AAA07-03)

[收稿日期]2015-11-05