耿 潔，呂 楠，王 韜，宮經(jīng)剛

(北京控制工程研究所，北京100190)

航天器的有限時(shí)間時(shí)變滑模姿態(tài)控制方法設(shè)計(jì)*

耿 潔，呂 楠，王 韜，宮經(jīng)剛

(北京控制工程研究所，北京100190)

本文研究具有參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)的航天器姿態(tài)控制問題.針對(duì)修正羅德里格參數(shù)表征的航天器姿態(tài)模型提出一種有限時(shí)間時(shí)變滑模函數(shù)，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一種有限時(shí)間收斂的滑模姿態(tài)控制方法，并證明其穩(wěn)定性，給出控制參數(shù)的設(shè)計(jì)方法.該方法在保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的前提下，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂，而且能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)跟蹤誤差在設(shè)定的時(shí)間收斂，且全局具有滑模動(dòng)態(tài)確定的系統(tǒng)響應(yīng).通過仿真結(jié)果驗(yàn)證本文提出方法的有效性.

航天器;姿態(tài)控制;滑?？刂?有限時(shí)間收斂;設(shè)定時(shí)間收斂

0 引言

航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性等參數(shù)攝動(dòng)，且在軌運(yùn)行時(shí)易受空間環(huán)境中各種無法精確描述的干擾影響，例如重力梯度、太陽(yáng)光壓、地球磁場(chǎng)等，經(jīng)典控制理論已無法滿足日益增長(zhǎng)的需求，具有較好魯棒性的航天器姿態(tài)控制方法日益受到重視［1-2］.

滑模控制可以在改善系統(tǒng)響應(yīng)特性的同時(shí)，使閉環(huán)系統(tǒng)針對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)攝動(dòng)、外部干擾等不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性和適應(yīng)性［3］，具有響應(yīng)速度快、對(duì)參數(shù)及外加干擾不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，近年來在航天器控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用［4］.

滑?？刂剖紫雀鶕?jù)期望的系統(tǒng)狀態(tài)或誤差響應(yīng)預(yù)先設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)模態(tài)(滑模面)，然后設(shè)計(jì)控制律將系統(tǒng)軌跡引導(dǎo)至該預(yù)定的模態(tài)，并迫使系統(tǒng)軌跡在以后的時(shí)間里按照該模態(tài)運(yùn)動(dòng).基于傳統(tǒng)滑模面的控制律設(shè)計(jì)方法主要采用線性滑模函數(shù)，這種滑模函數(shù)僅僅能夠保證姿態(tài)跟蹤誤差的漸近收斂，而由于有限時(shí)間控制常常能夠?qū)崿F(xiàn)更快的收斂速度和更好的控制性能［5］，在工程實(shí)際中，常常希望姿態(tài)跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂.為了提高滑?？刂葡到y(tǒng)的收斂速度，有學(xué)者提出了有限時(shí)間收斂的滑模控制方法——終端滑模，在滑模函數(shù)中引入終端吸引因子，使得系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)［6-7］.文獻(xiàn)［8-9］采用終端滑模方法為存在外界擾動(dòng)和不確定參數(shù)的航天器設(shè)計(jì)了姿態(tài)控制器，取得了良好的收斂速率和控制精度.

采用滑?？刂频南到y(tǒng)運(yùn)動(dòng)可分為兩個(gè)階段:系統(tǒng)相軌跡到達(dá)滑模面之前的到達(dá)段和系統(tǒng)相軌跡沿滑模面滑動(dòng)到原點(diǎn)的滑模段.在現(xiàn)有有限時(shí)間滑模控制律的作用下，非線性控制系統(tǒng)只有在系統(tǒng)狀態(tài)處于滑模段時(shí)才具有對(duì)匹配參數(shù)不確定性和外部干擾的不敏感性，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)處于到達(dá)段時(shí)，不僅不具備這種不敏感性，而且無法解析地確定滑模姿態(tài)控制律作用下的系統(tǒng)響應(yīng).另外，在現(xiàn)有有限時(shí)間滑模姿態(tài)控制律作用下，姿態(tài)跟蹤誤差的收斂時(shí)間無法精確估計(jì)，對(duì)于期望的收斂性能，缺乏系統(tǒng)的參數(shù)選擇方法.

針對(duì)上述問題，本文針對(duì)修正羅德里格參數(shù)描述的航天器模型，開展了有限時(shí)間滑模姿態(tài)控制方法研究，提出了一種有限時(shí)間滑模姿態(tài)控制律，并給出了滑模參數(shù)選擇方法，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)跟蹤誤差在設(shè)定的時(shí)間收斂，并保證了系統(tǒng)對(duì)參數(shù)不確定性和外部干擾的全局不敏感性.

1 數(shù)學(xué)模型及問題描述

用表示慣性參考坐標(biāo)系，表示本體坐標(biāo)系.考慮下述剛體航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

式中:J∈R3×3為航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣，考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性時(shí)，J可以表示為J=J0+ΔJ，其中J0為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量標(biāo)稱值，ΔJ為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性;uc∈R3和ud∈R3分別表示控制力矩向量和有界的外部干擾力矩向量;ω為FB相對(duì)于FI的角速度向量，ω×表示ω的反對(duì)稱矩陣，定義為

σ∈R3為航天器慣性姿態(tài)的修正羅德里格參數(shù)(modified rodrigues parameters，MRP)向量表征，采用這種姿態(tài)描述參數(shù)可以避免姿態(tài)描述中的奇異點(diǎn)［10］.

用FD表示航天器期望的本體坐標(biāo)系，F(xiàn)D相對(duì)于FI的期望MRP姿態(tài)為σd∈R3，期望角速度為ωd∈R3，并假設(shè)ωd充分光滑，且其導(dǎo)數(shù)有界.定義當(dāng)前MRPσ相對(duì)于期望MRPσd的姿態(tài):

當(dāng)前角速度ω相對(duì)于期望角速度ωd的誤差角速度向量ωe∈R3定義為

式中，R(·)∶R3→R3×3為姿態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣算子

為了表述清晰起見，下文將M(σe)，m(σe)和R(σe)簡(jiǎn)記為M，m，R.

根據(jù)式(1)～(5)，航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程可表示為

本文的控制目標(biāo)可總結(jié)如下:針對(duì)航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)(6)，設(shè)計(jì)控制律uc，使航天器在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤上給定姿態(tài)，并保持對(duì)給定姿態(tài)的跟蹤.

2 控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)上節(jié)所提出的姿態(tài)跟蹤控制問題，定義滑模函數(shù)如下:

式中，s∈R3為滑模函數(shù)，k＞0為滑模函數(shù)增益，f(t)=［f1(t)，f2(t)，f3(t)］T為連續(xù)可微的時(shí)變函數(shù)向量，選擇參數(shù)的值使f(t)滿足下列條件:

條件1.

即

條件2.

條件1表示滑模函數(shù)初始值為零，即系統(tǒng)狀態(tài)在初始時(shí)刻位于滑模面上.條件2表示時(shí)變函數(shù)f(t)的截?cái)鄷r(shí)間即為期望的收斂時(shí)間，且滑模函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在該值處連續(xù).當(dāng)設(shè)定期望的收斂時(shí)間，本文選擇f(t)為如下形式的截?cái)嗪瘮?shù)

其中Ai=［Ai1Ai2Ai3］T∈R3(i=0，1，2，3)為待定的常數(shù)矩陣，其具體選擇方法將在后文進(jìn)行詳細(xì)探討.

在式(7)所示滑模函數(shù)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)滑模姿態(tài)跟蹤控制律如下:

計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)應(yīng)用需要從業(yè)人員在掌握一定基礎(chǔ)理論知識(shí)的前提下，根據(jù)不同網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的需求對(duì)技術(shù)機(jī)型有效的應(yīng)用與部署，對(duì)于從業(yè)人員除了需要有較強(qiáng)的專業(yè)技能以外仍然需要一定的理論知識(shí)。因此，高職計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)專業(yè)教學(xué)能否將理論與技有效的融合，并有效地讓學(xué)生接收成為專業(yè)教學(xué)改革的核心內(nèi)容。

定理1.對(duì)于式(6)所示的航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，選擇式(7)所示的滑模函數(shù)，且選擇時(shí)變函數(shù)f(t)使式(9)(10)所示的條件滿足，在姿態(tài)控制律式(12)的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)將全局處于滑模段運(yùn)動(dòng)，即對(duì)于任意t∈［0，+∞)，有s(t)=0.

證.對(duì)滑模函數(shù)式(7)求導(dǎo)，有

因此，Lyapunov函數(shù)遞減，即V(t)≤V(0)，由于選擇的滑模函數(shù)滿足s(0)=0，因此V(0)≤0.又由V的定義，V≥0，因此，對(duì)于任意t∈［0，+∞)，有V(t)=0，s(t)=0.

根據(jù)上述定理，系統(tǒng)全局處于滑模面s=0上，根據(jù)式(7)有

即系統(tǒng)動(dòng)態(tài)由式(15)決定.因此可以通過調(diào)節(jié)時(shí)變函數(shù)f(t)的參數(shù)調(diào)節(jié)姿態(tài)跟蹤誤差的響應(yīng).當(dāng)選擇式(11)所示的f(t)，求解式(15)所示的微分方程可以得到具有如下形式的姿態(tài)跟蹤誤差響應(yīng)曲線

式中，C=［C1C2C3］T，Bi=［Bi1Bi2Bi3］T，i=0，1，2，3為常值系數(shù).將式(16)代入式(15)，比較相關(guān)的各項(xiàng)系數(shù)可得

至此，式(16)中的C，Bi均可用Ai表示.由于期望收斂時(shí)間為，令式(16)中σe(td)=0，即

將式(9)、(10)、(20)聯(lián)立，建立方程組如下:

由于Bi，C均為Ai的線性函數(shù)，上述方程組為關(guān)于Ai(i=0，1，2，3)的四元一次線性方程組，可以解出Ai(i=0，1，2，3)的值，該組參數(shù)使σe(td)=0.根據(jù)式(17)可知，當(dāng)σe(td)=0，對(duì)于任意，σe(t)=0.

綜上，如果按照式(21)選擇滑模函數(shù)的參數(shù)Ai(i=0，1，2，3)，姿態(tài)跟蹤誤差σe在設(shè)定的時(shí)間收斂到零，跟蹤誤差響應(yīng)曲線如下

本節(jié)設(shè)計(jì)的滑模函數(shù)和姿態(tài)控制律具有如下優(yōu)點(diǎn):1)系統(tǒng)狀態(tài)全局位于滑模面上，因此對(duì)外部干擾和不確定性具有全局不敏感性.2)通過本節(jié)給出的參數(shù)選擇方法，可以實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤誤差在設(shè)定的時(shí)間收斂，并且給出了姿態(tài)跟蹤誤差的響應(yīng)曲線，可以根據(jù)實(shí)際收斂速度的需求選擇滑模函數(shù)參數(shù).

3 仿真結(jié)果

本節(jié)通過航天器姿態(tài)控制的數(shù)值仿真驗(yàn)證本文提出的有限時(shí)間滑?？刂扑惴ǖ挠行?選擇航天器標(biāo)稱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣為

假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量存在－10%的不確定性，并給定正弦形式的外部干擾力矩

以半長(zhǎng)軸為6 900 km，升交點(diǎn)赤經(jīng)為60°，近地點(diǎn)幅角為0°，軌道傾角為0°的軌道為例，設(shè)計(jì)有限時(shí)間滑?？刂坡蓪?shí)現(xiàn)航天器對(duì)地定向，期望角速度為［0 －0.001 1 0］T(°)/s，給定衛(wèi)星初始角速度為0，初始MRP為［－0.128 0.515 0.128］T.

首先設(shè)定期望收斂時(shí)間td=50 s，選擇滑模函數(shù)參數(shù)k=0.2，η=15，其他參數(shù)的值根據(jù)式(21)計(jì)算。

為了削弱滑模的抖振現(xiàn)象，可將控制律(12)中的符號(hào)函數(shù)用飽和函數(shù)sat(s)=［sat(s1)，sat(s2)，sat(s3)］T取代，sat(si)定義為

其中l(wèi)為邊界層厚度，此時(shí)由于邊界層的引入，當(dāng)|si|＞l時(shí)，控制律與其穩(wěn)定性證明與符號(hào)函數(shù)相同，當(dāng)|si|≤l，式(13)轉(zhuǎn)化為:].

選擇與定理1中同樣的Lyapunov函數(shù)，可得V及姿態(tài)誤差收斂于0的一個(gè)較小鄰域.

選擇邊界層厚度l=0.001.圖1和圖2比較了采用式(12)所示控制律和引入飽和函數(shù)的控制律的仿真結(jié)果.采用符號(hào)函數(shù)時(shí)，控制力矩輸出存在明顯的抖振，不利于實(shí)際應(yīng)用.而引入飽和函數(shù)后，控制力矩平滑無抖振.因此后續(xù)仿真均采用了引入飽和函數(shù)的控制律.

為了驗(yàn)證本文提出的控制律在設(shè)定的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤的性能，分別設(shè)定3個(gè)期望收斂時(shí)間td=30 s，50 s，70 s，對(duì)于每一個(gè)設(shè)定的收斂時(shí)間，根據(jù)式(21)計(jì)算得到參數(shù)Ai的值，該過程可通過計(jì)算機(jī)程序離線完成，η=15.

圖1給出了有限時(shí)間時(shí)變滑模姿態(tài)控制律控制下的MRP誤差曲線，在參數(shù)不確定性和外部干擾的影響下，該控制律能夠以較高的控制精度完成姿態(tài)控制任務(wù)，姿態(tài)角跟蹤誤差實(shí)現(xiàn)了在給定的時(shí)間收斂.圖2給出了姿態(tài)角速度響應(yīng)曲線，圖3給出了控制力矩曲線，控制力矩平滑過渡，無突變和抖振.

圖1 不同給定時(shí)間下的姿態(tài)MRP仿真結(jié)果Fig.1 Response of MRP attitude with different convergence time

圖2 不同給定時(shí)間下的姿態(tài)角速度仿真結(jié)果Fig.1 The responses of angular rates with different convergence time

圖3 不同給定時(shí)間下的控制力矩仿真結(jié)果Fig.3 The responses of control torque with different convergence time

4 結(jié)論

本文研究了具有參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)的剛體航天器姿態(tài)控制問題，提出了一種有限時(shí)間滑模姿態(tài)控制算法，并給出了控制參數(shù)的設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)跟蹤誤差在設(shè)定的時(shí)間收斂，同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了全局滑模，解析地確定了滑模姿態(tài)控制律作用下的系統(tǒng)響應(yīng).仿真結(jié)果驗(yàn)證了提出方法的有效性.

［1］張景瑞，張威泰，曾祥遠(yuǎn)，等.考慮不確定性的航天器姿態(tài)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，31(10):1198-1201.

ZHANG J R，ZHANG W T，ZENG X Y，et al.Robust controller design for the attitude control of spacecraft with uncertainty［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2001，31(10):1198-1201.

［2］袁國(guó)平，史小平，李隆.航天器的自適應(yīng)魯棒姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34(12): 2524-2528.

YUAN G P，SHI X P，LI L.Adaptive robust attitude maneuvering control for rigid spacecraft［J］.Systems Engineering and Electronics，2012，34(12):2524-2528.

［3］UTKIN V I.Sliding modes in control and optimization［M］.Berlin:Springer-Verlag，1992:10-11.

［4］馬克茂.大型空間飛行器的高階滑模姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)［J］.控制與決策，2013，28(2):201-204.

MA K M.Design of higher order sliding mode attitude control laws for large-scale spacecraft［J］.Control and Decision，2013，28(2):201-204.

［5］WANG X，SUN X，YE H.Finite-time position tracking control of rigid hydraulic manipulators based on highorder terminal sliding mode［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part I:Journal of Systems and Control Engineering，2012:226，394-415.

［6］MAN Z H，YU X H.Terminal sliding mode control of MIMO linear systems［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，1997，44(11):1065-1070.

［7］FENG Y，YU X H，HAN F L.On nonsingular terminal sliding-mode control of nonlinear systems［J］.Automatica，2013，49:1715-1722.

［8］WU S N，RADICE G，GAO Y S，et al.Quaternionbased finite time control for spacecraft Attitude tracking［J］.Acta Astronautca，2011，69(1-2):48-58.

［9］ZHU Z.XIA Y Q，F(xiàn)U M Y.Attitude stabilization of rigid spacecraft with finite-time convergence［J］.Robust Nonlinear Control，2011，21(6):686-702.

［10］CRASSIDIS J L，MARKLEY F L.Sliding mode control using modified rodrigues parameters［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics Control，1996，19 (6):1381-1383.

A Novel Finite-Time Sliding Mode Attitude Controller for Spacecraft

GENG Jie，LYU Nan，WANG Tao，GONG Jinggang
(Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China)

The problem of spacecraft attitude control is investigated in this paper.To solve this problem，a finite-time sliding mode control strategy is proposed based on a finite-time time-varying sliding manifold in the present of uncertainty and external disturbance.The stabilization is proved and the parameter selection method is given.By using the proposed control strategy，the closed-loop system is asymptotically stable and the convergence time is finite.In addition，the attitude tracking error can converge in a given time.Consequently the dynamic response of the closed-loop system is determined by the sliding mode dynamics.Numerical simulations are finally provided to illustrate the performance of the control strategy.

spacecraft;attitude control;sliding mode control;finite-time convergence;convergence at a given time

V448.2

A

1674-1579(2016)04-0030-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.04.006

耿 潔(1986—)，女，工程師，研究方向?yàn)榉蔷€性控制、航天器姿態(tài)控制、衛(wèi)星控制分系統(tǒng)等;呂 楠(1980—)，男，高級(jí)工程師，主任設(shè)計(jì)師，研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)軌道控制、衛(wèi)星控制分系統(tǒng)設(shè)計(jì)等;王 韜(1984—)，男，工程師，研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)軌道控制、衛(wèi)星控制分系統(tǒng)設(shè)計(jì)與測(cè)試等;宮經(jīng)剛(1981—)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)楹教炱骶C合電子系統(tǒng)設(shè)計(jì)、姿態(tài)軌道控制等.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61573060).

2016-02-26