劉苑華

摘 要：期權(quán)是現(xiàn)代金融風(fēng)險(xiǎn)管理的重要工具之一，確定的執(zhí)行價(jià)格以及特殊的損益是期權(quán)最大的特點(diǎn)。美式期權(quán)可以在期權(quán)到期日之前的任何時(shí)間行權(quán)，封頂確定了市場價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格之間的間距，看漲期權(quán)具有損失有限收益無限的特點(diǎn)。自1973年Fischer Black 和 Myron Scholes提出了著名的期權(quán)定價(jià)公式，Black-Scholes的研究框架成為期權(quán)定價(jià)研究的主流。標(biāo)準(zhǔn)的美式封頂看漲期權(quán)定價(jià)是自由邊界問題，本文從美式封頂看漲期權(quán)性質(zhì)研究開始，繼而建立自由邊界模型和變分不等方程兩種模型對美式封頂看漲期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：美式封頂看漲期權(quán)；自由邊界模型；變分不等方程模型

一、期權(quán)理論概述

1.期權(quán)概述

期權(quán)根據(jù)買方對標(biāo)的價(jià)格不同方向的判斷分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)，看漲期權(quán)的買方有權(quán)利按照執(zhí)行價(jià)格買入期權(quán)標(biāo)的，買方認(rèn)為期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格未來是會上漲的；看跌期權(quán)的買方有權(quán)利按照執(zhí)行價(jià)格賣出期權(quán)標(biāo)的，買方認(rèn)為期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格未來會下跌。對于期權(quán)的買方來講，收益是不固定的，最大損失已經(jīng)固定是全部的期權(quán)費(fèi)用加上無風(fēng)險(xiǎn)利率收益，對于期權(quán)的賣方來講，最大收益固定是全部的期權(quán)費(fèi)用，損失空間卻很大。

2.美式封頂看漲期權(quán)性質(zhì)

看漲期權(quán)的損失有限，最大的損失就是購買期權(quán)支付的費(fèi)用，盈利則是無限的，損益如圖所示。當(dāng)市場價(jià)格等于行權(quán)價(jià)格加上期權(quán)費(fèi)用之和，看漲期權(quán)損益正好平衡，市場價(jià)格越高，看漲期權(quán)盈利越大，并且沒有盈利上限，但是在現(xiàn)實(shí)生活中，期權(quán)標(biāo)的是不可能無限上漲的，因此筆者認(rèn)為期權(quán)中最重要的就是行權(quán)價(jià)格的選擇，也就是行權(quán)價(jià)格和市場價(jià)格之間的間距確定，封頂期權(quán)很好的解決了這個問題。封頂價(jià)格對看漲期權(quán)來說是定約價(jià)加上一個封頂間距，如果底層證券達(dá)到或高于看漲期權(quán)的封頂價(jià)格，封頂期權(quán)將自動履約。設(shè)定一個封頂價(jià)格就相當(dāng)于設(shè)定一個期權(quán)獲利區(qū)域，根據(jù)美式封頂看漲期權(quán)的性質(zhì)，期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格明顯有兩種損益，當(dāng)市場價(jià)格大于零（現(xiàn)實(shí)中不存在標(biāo)的價(jià)格小于零的情況），小于或等于行權(quán)價(jià)格時(shí)，看漲期權(quán)處于虧損狀態(tài)，損失為期權(quán)費(fèi)用，這時(shí)持有人應(yīng)當(dāng)繼續(xù)持有期權(quán)，因此這個區(qū)域稱為持有區(qū)域，當(dāng)市場價(jià)格大于行權(quán)價(jià)格時(shí)，期權(quán)損益出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，市場價(jià)格小于行權(quán)價(jià)格和期權(quán)費(fèi)用之和，期權(quán)仍舊處于虧損狀態(tài)，但是虧損在逐漸縮小，此時(shí)期權(quán)的損益等于市場價(jià)格減去行權(quán)價(jià)格減去期權(quán)費(fèi)用，這時(shí)期權(quán)仍舊不應(yīng)當(dāng)被執(zhí)行，當(dāng)市場價(jià)格大于行權(quán)價(jià)格與期權(quán)費(fèi)用之和，看漲期權(quán)開始盈利，這時(shí)應(yīng)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)，不再被持有，因此期權(quán)處于終止持有區(qū)域，持有到終止持有的盈利過程在兩個區(qū)域之間流轉(zhuǎn)，因此一定存在一條最佳實(shí)施邊界，并且這個邊界與封頂上限L有密切聯(lián)系。

二、永久美式封頂看漲期權(quán)定價(jià)--自由邊界模型

我們將永久美式封頂看漲期權(quán)作為自由邊界模型定價(jià)的研究對象，永久指的是沒有到期日的意思，也就是時(shí)間T=∞，因?yàn)闆]有到期日的限制，永久美式封頂看漲期權(quán)是同類型美式封頂看漲期權(quán)中最貴的，擁有最多最大的獲利機(jī)會。

1.模型的推導(dǎo)

模型推導(dǎo)中的前提是風(fēng)險(xiǎn)中性市場的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)，即假設(shè)市場不存在任何套利機(jī)會，投資者的投資態(tài)度是中性的，所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，將期望值用無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)。假設(shè)期權(quán)標(biāo)的的市場價(jià)格S符合隨機(jī)微分方程其中μ是期望回報(bào)率，永恒為常數(shù)正數(shù)，σ是波動率，同樣是正常數(shù)，表示達(dá)到市場平衡的波動幅度。dWt表示的是期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格遵循幾何分式布朗運(yùn)動。設(shè)P是永久美式封頂看漲期權(quán)的價(jià)格；r是無風(fēng)險(xiǎn)利率，和基準(zhǔn)利率密切相關(guān)；q是連續(xù)支付的紅利。然后以對沖原理為基礎(chǔ)，目標(biāo)是整個投資不存在風(fēng)險(xiǎn)，可以構(gòu)造的投資組合是：，△表示期權(quán)標(biāo)的的份數(shù)穩(wěn)定持有，在時(shí)間段t+dt內(nèi)不會改變。根據(jù)以上假設(shè)持有期權(quán)，那么投資組合滿足以下公式：

在期權(quán)標(biāo)的的市場價(jià)格S非常小的情況下，標(biāo)的價(jià)格會小于行權(quán)價(jià)格，S-K小于零，期權(quán)不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行，期權(quán)價(jià)格滿足方程1，當(dāng)期權(quán)標(biāo)的市場價(jià)格足夠高時(shí)，S-K大于零，表示執(zhí)行期權(quán)有盈利，期權(quán)持有者用約定的執(zhí)行價(jià)格買入標(biāo)的，獲得的是市場很高的價(jià)值，低價(jià)買入高價(jià)賣出獲取中間的差價(jià)利潤，這時(shí)應(yīng)當(dāng)立即執(zhí)行期權(quán)，否則就會產(chǎn)生支付紅利和貼現(xiàn)的損失。是否應(yīng)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)的分界線，用C表示，當(dāng)標(biāo)的市場價(jià)格S小于C時(shí)，不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)，S在持有區(qū)域中，此時(shí)期權(quán)價(jià)格P符合方程1，當(dāng)S大于C時(shí)，應(yīng)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)獲取盈利，S處于執(zhí)行區(qū)域，此時(shí)期權(quán)的價(jià)格P=S-K。在整個價(jià)格分析中，固定的一個時(shí)間點(diǎn)，分界線C是未知的，也是我們所研究的自由邊界，但是顯然C應(yīng)當(dāng)大等于期權(quán)執(zhí)行價(jià)格K，如果C小于K，那么C-K小于零，應(yīng)當(dāng)持有期權(quán)，處在持有區(qū)域，這和基本前提是互相矛盾的。

假設(shè)當(dāng)S=0時(shí)，市場是一只無形手，有自動調(diào)節(jié)平衡的功能，期權(quán)價(jià)格不可能無限高而沒有邊界，因此P（0）是有邊界的。當(dāng)S=L（L大于K）時(shí)，發(fā)行人按價(jià)格L-K回購，從而P（L）=L-K。

美式期權(quán)的執(zhí)行時(shí)間由持有者決定，持有者會根據(jù)自己對市場的判斷，綜合考慮多種因素，繼而選取一個利益最大化的約定執(zhí)行期權(quán)價(jià)格K（即自由邊界C），這時(shí)期權(quán)的價(jià)格達(dá)到最大值，可以得到（P；C）符合等式2：

將計(jì)算結(jié)果和分析歸納為金融解釋，可以得到如下結(jié)論：（1）期權(quán)標(biāo)的價(jià)格上漲，市場對標(biāo)的的盈利能力的期望也隨之增加，期權(quán)的價(jià)格就會上升。（2）對于美式看漲期權(quán)來講，執(zhí)行價(jià)格K越大，購買期權(quán)的持有者獲利越困難，獲利空間越小，期權(quán)的價(jià)格越低。（3）波動率是指價(jià)格的波幅，波動率大表示價(jià)格會有大幅變動的可能，將會增加盈利的可能，因此期權(quán)的價(jià)格和波動率的大小成正比。（4）期望回報(bào)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率之間聯(lián)系緊密，期望回報(bào)率隨著無風(fēng)險(xiǎn)利率的增加而增加。（5）封頂價(jià)格指的是獲利的固定空間，封頂價(jià)格變小，獲利空間變窄，期權(quán)的最終收益隨之減少，期權(quán)的價(jià)格降低。

三、變分不等方程模型

除了永久美式封頂看漲期權(quán)之外，其余類型的美式封頂看漲期權(quán)的價(jià)格都不能夠用一個表達(dá)式表示，只能根據(jù)收益函數(shù)：收益=（min（St，L）-K）+，基于變分不等方程的離散化，用數(shù)值的方法，對一般美式封頂看漲期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行建模研究。

建模需要有一系列的假設(shè)，在此假設(shè)期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動，存在固定常數(shù)的無風(fēng)險(xiǎn)利率r，期權(quán)標(biāo)的支付紅利為常數(shù)q，交易過程中沒有稅費(fèi)和交易費(fèi)用產(chǎn)生，市場中不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會。

4.顯式差分格式

在區(qū)域對收益函數(shù)的變分不等方程作變換，從而期權(quán)價(jià)格P的求解問題就是在帶狀區(qū)域上構(gòu)成區(qū)域解網(wǎng)格，每一個網(wǎng)格點(diǎn)都是固定的二維函數(shù)，將期權(quán)價(jià)格和波動率進(jìn)行定義，代入變分不等式方程得到格點(diǎn)上的方程組合解析式，利用反向歸納的方法，對變分方程進(jìn)行代入數(shù)值求解，這個模型是顯式差分格式，不需要具體解析代數(shù)方程的，區(qū)域內(nèi)的解也無法用線性邏輯描述。最終可以得到的變分方程是：

在這一部分中主要研究的參數(shù)對期權(quán)價(jià)格的影響如下：美式封頂看漲期權(quán)隨著到期日時(shí)間t的臨近，波動率逐漸變小，因此期權(quán)價(jià)格和到期日反向運(yùn)動；期權(quán)價(jià)格臨近到期日越高，就證明看漲期權(quán)獲益更大，因此期權(quán)價(jià)格與期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格同向運(yùn)動。

四、期權(quán)定價(jià)總結(jié)

執(zhí)行價(jià)格越低，市場價(jià)格變化幅度越大并且是上漲趨勢的期權(quán)合約價(jià)格越高。假設(shè)將期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格確定下來，t時(shí)刻期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格是S，期權(quán)價(jià)格為P，則可以在期權(quán)價(jià)格區(qū)域內(nèi)確定點(diǎn)Pt=P（S，t），這個點(diǎn)是確定的二維坐標(biāo)區(qū)域中的一個，期權(quán)定價(jià)就是建立常微分方程和變分不等方程的離散將這個函數(shù)的等式表示出來。期權(quán)定價(jià)工作的理論基礎(chǔ)是布萊克和肖爾斯在1973年做出的歐式期權(quán)定價(jià)的推導(dǎo)公式，關(guān)于偏微分方程的顯示解。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳樹敏，何春雄.時(shí)間依賴的關(guān)卡期權(quán)定價(jià).華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005.

[2]戴民.路徑依賴期權(quán)二叉樹方法的數(shù)值分析.

[3]丁正中，曾慧.實(shí)物期權(quán)的三叉樹定價(jià)模型.統(tǒng)計(jì)研究，2005.

[4]馮廣波.前向打靶格方法計(jì)算變異期權(quán)的價(jià)格，2003年.

[5]姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法.北京：高等教育出版社.

[6]李莉英，金朝嵩.美式看跌期權(quán)定價(jià)的一種混合數(shù)值方法，2005年.

[7]李小愛，劉全輝.離散障礙平方期權(quán)的定價(jià)，2005.

[8]劉海龍，吳沖鋒.期權(quán)定價(jià)方法綜述，2002年.

[9]劉棠，張盤銘.期權(quán)定價(jià)問題的數(shù)值方法.系統(tǒng)與科學(xué)，2004年.

[10]羅開位，侯振挺，李致中.期權(quán)定價(jià)理論的產(chǎn)生和發(fā)展，2000年.

[11]張鐵，李明輝.求解股票期權(quán)定價(jià)問題的差分方法.東北大學(xué)學(xué)報(bào)，2004.

[12]魏正元.廣義交換期權(quán)定價(jià).數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2005：第35卷第9期.