張玉花
解圓錐曲線問題常用以下方法:
1.定義法
(1)橢圓有兩種定義.第一定義中,r1+r2=2a.第二定義中,r1=ed1,r2=ed2.
(2)雙曲線有兩種定義.第一定義中,|r1-r2|=2a,當(dāng)r1>r2時,注意r2的最小值為c-a:第二定義中,r1=ed1,r2=ed2,尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用,常常將焦半徑與“點到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化.
(3)拋物線只有一種定義,而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大,很多拋物線問題用定義解決更直接簡明.
2.韋達(dá)定理法
因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一,尤其是弦中點問題,弦長問題,可用韋達(dá)定理直接解決,但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.
3.設(shè)而不求法
解析幾何的運算中,常設(shè)一些量而并不解出這些量,利用這些量過渡使問題得以解決,這種方法稱為“設(shè)而不求法”.設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題,常用“點差法”,即設(shè)弦的兩個端點A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點為M(x0,y0),將點A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程,作差后,產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關(guān)系,這是一種常見的“設(shè)而不求”法.
4.數(shù)形結(jié)合法
解析幾何是代數(shù)與幾何的一種統(tǒng)一,常要將代數(shù)的運算推理與幾何的論證說明結(jié)合起來考慮問題,在解題時要充分利用代數(shù)運算的嚴(yán)密性與幾何論證的直觀性,尤其是將某些代數(shù)式子利用其結(jié)構(gòu)特征,想象為某些圖形的幾何意義而構(gòu)圖,用圖形的性質(zhì)來說明代數(shù)性質(zhì).
5.參數(shù)法
(1)點參數(shù)
利用點在某曲線上設(shè)點(常設(shè)“主動點”),以此點為參數(shù),依次求出其他相關(guān)量,再列式求解.如x軸上一動點P,常設(shè)P(t,0);直線x-2y+1=0上一動點P.除設(shè)P(x1,y1)外,也可直接設(shè)P(2y1-1,y1).
(2)斜率為參數(shù)
當(dāng)直線過某一定點P(x0,y0)時,常設(shè)此直線為y-y0=k(x-x0),即以k為參數(shù),再按命題要求依次列式求解等.
(3)角參數(shù)
當(dāng)研究有關(guān)轉(zhuǎn)動的問題時,常設(shè)某一個角為參數(shù),尤其是圓與橢圓上的動點問題.
6.代入法
這里所講的“代入法”,主要是指條件的不同順序的代入方法,如對于命題:“已知條件P1,P2求(或求證)目標(biāo)Q”,方法1是將條件P1代入條件P2,方法2可將條件P2代入條件P1,方法3可將目標(biāo)Q以待定的形式進(jìn)行假設(shè),代入P1,P2,這就是待定法.不同的代入方法常會影響解題的難易程度,因此要學(xué)會分析,選擇簡易的代入法.
(作者單位:河南省正陽縣第二高級中學(xué) 463600)