冉政，陳健

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072)

關(guān)于格子Boltzmann方法的幾個(gè)問題(I)

冉政*，陳健

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072)

格子氣方法及后續(xù)發(fā)展的格子Boltzmann方法，是一種完全不同于傳統(tǒng)流場(chǎng)計(jì)算的基于介觀物理的新方法。由于其內(nèi)在的優(yōu)勢(shì)，盡管該方法問世不過幾十年的時(shí)間，就在傳統(tǒng)計(jì)算流體力學(xué)難于處理的研究領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，被譽(yù)為是現(xiàn)代流體力學(xué)的一場(chǎng)變革。文章主要論述了格子Boltzmann方法有關(guān)學(xué)術(shù)思想的源頭，論述在該論題發(fā)展過程中的一些關(guān)鍵性工作。

格子Boltzmann方法;元胞自動(dòng)機(jī);格子氣自動(dòng)機(jī)

0 引言

目前，有關(guān)格子Boltzmann方法的文獻(xiàn)數(shù)量是十分巨大的，出現(xiàn)了許多中文、英文的專著［1-11］，特別還有一些在該領(lǐng)域中有重要影響的綜述性論文［12-22］，估計(jì)這種勢(shì)頭還會(huì)持續(xù)，在這種情況下，有必要再撰寫一篇有關(guān)格子Boltzmann方法的歷史性簡(jiǎn)介論文嗎?這是我們寫作此文首先要面對(duì)的問題?；卮鹗强隙ǖ?，因?yàn)殚喿x該領(lǐng)域研究一些研究文獻(xiàn)的歷史評(píng)述，給作者留下的初步印象并不令人十分樂觀。這里特別想強(qiáng)調(diào)的是:這個(gè)問題的客觀存在性，并且在中文文獻(xiàn)中更為顯出。我們想詳細(xì)地分析出現(xiàn)這種混亂現(xiàn)象的原因所在。事實(shí)上，目前這種不健康的狀態(tài)，對(duì)于整個(gè)學(xué)科的發(fā)展是十分不利的。試想:一個(gè)初入該領(lǐng)域的研究者如果在總體的歷史信息都不準(zhǔn)確的情況下，能做出真正具有創(chuàng)新意義的工作嗎?

在這種情況下，我們希望選擇該領(lǐng)域幾個(gè)具體的發(fā)展故事，厘清一些概念性的東西，試圖從個(gè)人的角度強(qiáng)調(diào)哪些作者的工作真正是具有開創(chuàng)性的意義。限于篇幅，這里僅僅給出一些概貌性的介紹，放棄了一些細(xì)節(jié)，感興趣的讀者可以通過原始文獻(xiàn)的學(xué)習(xí)得到完整的通讀［23-34］。

從歷史角度看，盡管格子氣自動(dòng)機(jī)的原型可以追溯到20世紀(jì)60年代，Broadwell離散速度模型對(duì)于氣體激波結(jié)構(gòu)的模擬［23］，但是使得格子氣自動(dòng)機(jī)研究真正進(jìn)入公眾視野的事件卻是與美國(guó)華盛頓郵報(bào)有關(guān)。在科學(xué)史上，這無疑是一件有趣的事。1985年11月19日，美國(guó)華盛頓郵報(bào)在頭版報(bào)道，“在Los Alamos工作的美國(guó)和法國(guó)科學(xué)家發(fā)展了一種計(jì)算流動(dòng)的新方法，初期的試驗(yàn)表明這種新方法比傳統(tǒng)方法快1000倍到100萬倍，專家們還說需要一些時(shí)間試驗(yàn)才能完成［35-36］”。

我們知道，流體力學(xué)計(jì)算特別是計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué)是與原子彈、飛機(jī)導(dǎo)彈等國(guó)防科技研究密切相聯(lián)系的，所以一般公眾也會(huì)關(guān)注，這很正常。后來，我們還知道，這件事還一直為20世紀(jì)人類天才的物理學(xué)家Richard Phillips Feynman所關(guān)注。實(shí)際上從事該領(lǐng)域的一些頂級(jí)科學(xué)家一直與Richard Phillips Feynman有所互動(dòng)［35-36］。當(dāng)Stephen Wolfram等人向Richard Phillips Feynman尋求學(xué)術(shù)指教時(shí)，這位天才說了如下一段話［36］:

"We have noticed in nature that the behavior of a fluid depends very little on the nature of the individual particles in that fluid.For example，the flow of sand is very similar to the flow of water or the flow of a pile of ball bearings.We have therefore taken advantage of this fact to invent a type of ima-ginary particle that is especially simple for us to simulate.This particle is a perfect ball bearing that can move at a single speed in one of six directions.The flow of these particles on a large enough scale is very similar to the flow of natural fluids."

上述Feynman的論斷基本上從物理本質(zhì)概述了該研究領(lǐng)域后來發(fā)展的真諦所在。

其實(shí)我們認(rèn)識(shí)流體世界可以有兩個(gè)極端的方式，一種是經(jīng)典力學(xué)的場(chǎng)的方式(宏觀)，另一種則完全是從由Maxwell發(fā)展的分子角度去認(rèn)識(shí)(微觀)［37］。格子Boltzmann方法卻是介于兩者之間的一種認(rèn)識(shí)方法，是一種介觀方法。這個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)使得格子Boltzmann方法與傳統(tǒng)計(jì)算流體力學(xué)方法完全不同，并且具有如下顯著的優(yōu)點(diǎn):

1)內(nèi)在穩(wěn)定;

2)邊界條件易處理;

3)易于并行處理，或具有天然的并行性。

正因?yàn)樯鲜龅闹T多原因，使得一些人對(duì)這一新的研究領(lǐng)域持非常樂觀的態(tài)度。比如華盛頓郵報(bào)報(bào)道的那篇論文就是以“代替Navier-Stokes方程的格子氣自動(dòng)機(jī)”為標(biāo)題的［26］，非常引人眼球。另一個(gè)令學(xué)術(shù)界關(guān)注的原因在于有人直接將這一進(jìn)展與經(jīng)典物理的最后一個(gè)難題——湍流的解決相關(guān)聯(lián)。同樣是前面提到的這篇論文，在最后作者寫道:Wolfram S激起了我們的興趣，他指出了把格點(diǎn)自動(dòng)機(jī)作為研究湍流的一種新的可能方法。甚至有人宣稱找到了湍流的Ising模型。

這種新聞媒體與科學(xué)界的互動(dòng)，最終吸引各國(guó)學(xué)者對(duì)該研究領(lǐng)域的關(guān)注，使得該領(lǐng)域研究論文的引用率一直攀升，形成國(guó)際學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)，并迅速地應(yīng)用到產(chǎn)業(yè)界。因此，學(xué)術(shù)界需要從源頭厘清格子Boltzmann方法的發(fā)展歷程。在這里，我們將選擇關(guān)鍵性的幾個(gè)理論概念，希望從源頭上給出簡(jiǎn)要的理論發(fā)展的脈絡(luò)。

1 格子氣自動(dòng)機(jī)的理論結(jié)構(gòu)

首先理論上討論的最重要的結(jié)構(gòu)是，認(rèn)為所有的格子氣假想彈性碰撞粒子位于所謂的Bravais格子節(jié)點(diǎn)上［3-5］。這種平面Bravais格子實(shí)際上是六邊形平面格子，具有較高的幾何對(duì)稱性，能保證四階張量是各向同性的，這是1986年Frisch等人采用這種格子的主要原因［26］。與物理實(shí)際問題相對(duì)應(yīng)的是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的空間位置標(biāo)識(shí)為r，而物理時(shí)間為t，只是在研究中認(rèn)為它們只取離散的值。在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，應(yīng)用元胞自動(dòng)機(jī)的思想引入一個(gè)賦予了數(shù)學(xué)物理內(nèi)容的元胞自動(dòng)機(jī)，并且關(guān)鍵性地認(rèn)為問題中包含N個(gè)全同的元胞自動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)。每個(gè)元胞賦予一個(gè)標(biāo)識(shí)其節(jié)點(diǎn)上對(duì)應(yīng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，下面可以由此建立Boolean場(chǎng)量，每個(gè)通道只具有兩個(gè)可能的狀態(tài):0或1，分別表示該通道要么是空的，要么被一個(gè)粒子所占有，這里需要進(jìn)一步引入Pauli不相容原理:每條通道只能最多被一個(gè)粒子占有。通過這種關(guān)系建立該研究節(jié)點(diǎn)與鄰域節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，實(shí)際上這是相互作用的表示。

現(xiàn)在我們觀察每個(gè)節(jié)點(diǎn)，引入

這樣一個(gè)b-字節(jié)的符號(hào)來表示該節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)。這個(gè)b-字節(jié)稱為節(jié)點(diǎn)的Boolean狀態(tài)，實(shí)際上也就是單節(jié)點(diǎn)的相空間。

根據(jù)前面的幾何構(gòu)型，在整個(gè)物理空間中，存在一個(gè)有關(guān)的b-字節(jié)的N集合，這個(gè)集合存在Nb個(gè)Boolean量，記為

稱為格子的Boolean構(gòu)型。而所有的可能Boolean構(gòu)型的集合Γ，稱為全局相空間。

為進(jìn)行數(shù)值分析，還必須給幾何結(jié)構(gòu)賦予一定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。實(shí)際上，對(duì)應(yīng)每一個(gè)離散時(shí)間，可以通過所有節(jié)點(diǎn)上的通道的狀態(tài)集合，可以建立節(jié)點(diǎn)到一個(gè)集合{0，1}的映射，這個(gè)映射稱為Boolean場(chǎng)，并標(biāo)識(shí)為n。對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，可以寫成

這里ni(r，t)表示位于r的i通道的占有數(shù)。進(jìn)一步我們想研究空間節(jié)點(diǎn)上占有數(shù)的時(shí)間演化行為。

對(duì)于Boolean場(chǎng)，引入演化算子E，定義

這里ξ(t)表示隨機(jī)量。

一般將演化算子分解成兩個(gè)算子的作用:

這里T是平移算子，C是碰撞算子，后者則是需要特別研究的對(duì)象。

為了得到一個(gè)具體的格子氣碰撞算子的具體表示，首先認(rèn)為對(duì)于所有節(jié)點(diǎn)，這種碰撞算子是等同的。這實(shí)際上是采用了同步的假設(shè)［4］。另外，理論上還要引入碰撞矩陣的概念，來標(biāo)識(shí)這里的局域相互作用。碰撞矩陣記為:

它包含了所有碰撞的信息。由于每個(gè)通道存在兩個(gè)狀態(tài)，而對(duì)一個(gè)節(jié)點(diǎn)有b個(gè)通道，所以這是一個(gè)2b× 2b的方陣。每個(gè)矩陣元素表示從Boolean狀態(tài)s，到另一個(gè)Boolean狀態(tài)s～的轉(zhuǎn)移概率。這樣，該矩陣元素的值則是在0和1之間的實(shí)數(shù)，同時(shí)，應(yīng)該滿足如下的歸一化條件:

在上述假設(shè)下，可以得到格子氣流體碰撞算子的具體表達(dá)式:

這里

特別應(yīng)該注意的是上述量必須在時(shí)間t、空間r處取值，公式中沒有寫出。公式中的ξ(s→)是一個(gè)2b×2b的方陣的Bernoulli隨機(jī)變量(其取值為0或1)，而其平均值是A(s→s～)。則有:

這即是格子氣微觀動(dòng)力學(xué)基本方程。它對(duì)應(yīng)于經(jīng)典力學(xué)中相互作用系統(tǒng)的Hamilton方程，這里沒有任何近似，是所有格子氣動(dòng)力學(xué)理論研究的出發(fā)點(diǎn)。

由前面的碰撞矩陣可以給出對(duì)應(yīng)的細(xì)致平衡條件:

粒子碰撞過程是微觀可逆的，這可以通過下面的公式表示:數(shù)學(xué)上講矩陣A(s→)是對(duì)稱矩陣。

另一個(gè)必須給出精確定義的是系統(tǒng)的守恒量。

設(shè)q是所謂的觀測(cè)量，如果它又是系統(tǒng)碰撞不變量，則有:

使用Boolean場(chǎng)變量則可以表示為:

由于整個(gè)研究對(duì)象是宏觀物理問題，我們必須研究整個(gè)格子網(wǎng)格的集團(tuán)行為。而整個(gè)網(wǎng)格的相空間是Γ，S是一個(gè)子集，S∈Γ，由此可以引入類似于Gibbs建立的系綜的概念結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)于格子氣的系綜平均計(jì)算。對(duì)于每個(gè)S∈Γ，建立一種對(duì)應(yīng)關(guān)系:

滿足歸一化關(guān)系

這實(shí)際上是單粒子的概率分布函數(shù)。由此可以建立物理觀測(cè)量的系綜平均:

如果研究常規(guī)的觀測(cè)量

在節(jié)點(diǎn)r處的測(cè)量值是

其系綜平均值為:

最后，利用前面建立的這些概念可以得到格子Liouville演化方程。當(dāng)格子氣系統(tǒng)引入概率結(jié)構(gòu)后，其概率分布函數(shù)應(yīng)該是時(shí)間的函數(shù)，從而構(gòu)成系統(tǒng)的概率演化。對(duì)于格子氣系統(tǒng)宏觀的概率演化方程可以是所謂的Chapman-Kolmogorov方程:

這個(gè)方程與連續(xù)動(dòng)力學(xué)中的Liouville方程相對(duì)應(yīng)。并且是嚴(yán)格成立的，在學(xué)術(shù)界稱為格子Liouville方程。

上述的方程盡管嚴(yán)格成立，但是是整體性的，需要得到在每個(gè)格點(diǎn)上相應(yīng)的概率演化方程，這個(gè)目標(biāo)可以通過格點(diǎn)占有數(shù)的系綜平均而得到。

前面占有數(shù)的演化方程(11)取系綜平均可以有

這里有

這個(gè)方程對(duì)應(yīng)于連續(xù)動(dòng)力學(xué)中的Boltzmann方程，不過后者是微分積分方程。經(jīng)典的連續(xù)Boltzmann方程是兩體碰撞的單體分布函數(shù)演化方程，公式(23)得到類似的兩體相互作用的單體分布函數(shù)演化方程，所以，人們將這種離散的動(dòng)力學(xué)演化方程稱為格子Boltzmann方程(Lattice Boltzmann Equation，簡(jiǎn)稱LBE)。

邏輯上講，完整的對(duì)應(yīng)關(guān)系還應(yīng)該包括連續(xù)動(dòng)力學(xué)中的細(xì)致平衡，碰撞守恒量和所謂的H-定理。

在大多數(shù)物理問題中，我們關(guān)心系統(tǒng)在平衡態(tài)附近的性態(tài)，這就需要研究格子氣系統(tǒng)的平衡分布問題。在連續(xù)動(dòng)力學(xué)中這是對(duì)應(yīng)的Maxwell分布?？梢宰C明:對(duì)應(yīng)于格子氣則平衡態(tài)分布為Fermi-Dirac分布。

設(shè)格子氣系統(tǒng)的碰撞不變量集合為(q［k］，k= 1，2，…，δ)，則存在如下的線性組合關(guān)系:

從而得到平衡態(tài)分布函數(shù):

從統(tǒng)計(jì)力學(xué)我們知道上面實(shí)際是Fermi-Dirac分布。但是這里的組合系數(shù)是需要確定的，還有一個(gè)最為重要的理論問題是如何確定格子氣系統(tǒng)的守恒量。

下面我們研究只保持質(zhì)量和動(dòng)量守恒的系統(tǒng)，宏觀的變量取為密度和動(dòng)量密度，即

基本的狀態(tài)選擇為:所有通道為等概率的占有態(tài)，

參數(shù)d滿足

這種平衡稱為低速平衡分布。

將由上述方法得到的待定系數(shù)代入分布函數(shù)的展開式，可以得到［3-5］

其中的密度影響因子為:

從后面宏觀方程的分析可以知道，這個(gè)因子引起格子氣不滿足Galilean不變性，其中參數(shù)的定義可以參見有關(guān)文獻(xiàn)。

2 格子Boltzmann方法的提出

從微觀動(dòng)力學(xué)方程通過Chapman-Enskog展開，可以得到宏觀方程，這個(gè)過程一般文獻(xiàn)中都有比較詳細(xì)的過程，可以直接參考。這里我們想詳細(xì)討論有關(guān)微觀動(dòng)力學(xué)方程的線性化問題。這個(gè)問題所以重要的原因在于:

1)動(dòng)理學(xué)線性化本身是具有物理背景的一個(gè)問題;

2)線性化將引入所謂的散射矩陣，其結(jié)構(gòu)將直接與數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性相關(guān)聯(lián);

3)對(duì)格子氣系統(tǒng)的輸運(yùn)系數(shù)的計(jì)算依賴于線性化結(jié)構(gòu)。

到目前為止，討論還限于格子氣流體力學(xué)的問題范疇。那么格子Boltzmann方程的概念是如何引入的呢?

我們知道對(duì)于格子氣自動(dòng)機(jī)，存在如下的內(nèi)在缺陷:

1)統(tǒng)計(jì)噪聲;

2)非Galilean不變;

3)狀態(tài)方程依賴于宏觀速度，存在非物理振蕩;

4)對(duì)于單粒子格子氣模型，沒有獨(dú)立的能量方程式。

對(duì)于格子氣統(tǒng)計(jì)噪聲問題消除，1988年McNamara和Zanetti［29］，首先提出直接使用平均粒子數(shù)或粒子數(shù)分布函數(shù)代替Boolean變量進(jìn)行演化，即直接按照格子Boltzmann方程計(jì)算粒子分布函數(shù)。盡管早期人們?cè)诟褡託獾妮斶\(yùn)系數(shù)計(jì)算中已經(jīng)使用過這一方程，但是直接將此方程用于數(shù)值計(jì)算是從1988年開始的，這開創(chuàng)了一個(gè)新的研究方向。但是，盡管1988年McNamara和Zanetti的工作克服了格子氣模型的統(tǒng)計(jì)噪聲問題，其他問題并沒有得到合理解決。1989年，Higuera和Jimenez對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)［30］，他們的工作表明:計(jì)算量很大的復(fù)雜碰撞算子可以通過線性化算子逼近。線性化的手段大大地提高了計(jì)算效率，并為后來的發(fā)展奠定了重要的基礎(chǔ)，成為了這一研究領(lǐng)域的一個(gè)里程碑。

從前面的分析可以得到，在引入Boltzmann假設(shè)條件下，格子氣可以有Boltzmann碰撞算子

這個(gè)算子可以在平衡態(tài)附近進(jìn)行線性化處理，這里的平衡態(tài)定義如下:由此可以引入Boltzmann碰撞矩陣

這個(gè)矩陣對(duì)于格子氣的輸運(yùn)系數(shù)計(jì)算和計(jì)算的穩(wěn)定性起關(guān)鍵性作用?？梢宰C明，對(duì)于單粒子的格子氣模型

這里

當(dāng)滿足細(xì)致平衡條件時(shí)，可以寫成對(duì)稱的形式:

基于對(duì)上述線化矩陣的研究，1989年Higuera，Succi和Benzi提出一種新的格子Boltzmann方程模型［31］，即所謂的強(qiáng)化碰撞模型。他們研究的出發(fā)點(diǎn)是線化的格子Boltzmann方程:

與前面的嚴(yán)格碰撞矩陣不同的是這里的矩陣是參數(shù)可調(diào)。

他們選取與格子氣相類似的平衡態(tài)分布函數(shù)。主要的思想是希望碰撞矩陣較少地依賴于微觀動(dòng)力學(xué)，也就是希望更多地依賴于宏觀量，使得這種選擇能最終得到流體運(yùn)動(dòng)正確的宏觀方程。

在構(gòu)造強(qiáng)化碰撞矩陣模型時(shí)，Higuera，Succi和Benzi提出如下約束(稱為HSB模型):

1)Kij是對(duì)稱矩陣。

2)各向同性，即矩陣元素僅與兩個(gè)粒子速度之間的夾角有關(guān)。

3)滿足質(zhì)量和動(dòng)量守恒。

4)Kij是對(duì)稱負(fù)定矩陣。

與前面微觀動(dòng)力學(xué)引入的Boltzmann碰撞矩陣比較，可以看出這里想法的合理性。首先條件1)恢復(fù)了微觀碰撞矩陣的對(duì)稱條件;條件2)和條件3)，使得強(qiáng)化碰撞矩陣與微觀動(dòng)力學(xué)具有相同的對(duì)稱。

這種方法在Frisch(1991)的建議下［34］，可以通過所謂的方程投影得到宏觀的流體力學(xué)方程，但是并沒有使完整的Navier-Stokes方程得到恢復(fù)。這個(gè)本質(zhì)困難直到1991年，才由Koelmann提出的一系列研究得到了新進(jìn)展［32］。

到此，目前流行最廣的LBGK方法的確立應(yīng)該是呼之欲出了。實(shí)際上仔細(xì)分析，不難看到前面的HSB模型的整個(gè)理論構(gòu)架實(shí)際上已經(jīng)具備了LBGK方法的基本特征，唯一需要進(jìn)一步挖掘的地方是碰撞矩陣。在數(shù)值計(jì)算中，對(duì)于滿矩陣的處理，可以采用矩陣對(duì)角化的方法，另外在取對(duì)角化后，矩陣元取對(duì)角元的最大值也是實(shí)際應(yīng)用中常用的一種快速算法。這里使用這種思維，即

其中τ是一個(gè)無量綱參數(shù)。這種模型的碰撞算子特別簡(jiǎn)單，可以表示為

3 Koelman的工作

一種完整的LBM至少應(yīng)該包含有三種因素:1)離散格子結(jié)構(gòu);2)平衡分布函數(shù);3)動(dòng)理學(xué)演化律。目前大多使用了BGK近似［32］。1991年，Koelman首次在以下的離散格子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了上述的幾個(gè)目標(biāo);這使得他的研究具有開創(chuàng)性。正如該論文中指出的那樣，這里給出的是一種理論框架，而非特殊的算法。

格子速度ci的取法如下:

這里a、b是常數(shù)，滿足條件:

為了使用D2Q9離散格子(這種格子屬性的記法是由錢躍竑等人首先引入的［33］)說明問題，這里取

此時(shí)將Koelman(1991)使用的格子旋轉(zhuǎn)45°，則得到標(biāo)準(zhǔn)的D2Q9離散格子，其中

物理上的質(zhì)量密度ρ，動(dòng)量密度J，則可以由分布函數(shù)確定

定義零速度的全局平衡分布函數(shù)Wi，則對(duì)于低馬赫數(shù)流動(dòng)，可以看成分布函數(shù)是對(duì)這一平衡分布的小的偏離，即有

這里

下面的的分析中，選擇平衡態(tài)分布為Maxwell型:

這里D是空間維度，ρ0是質(zhì)量密度，m是質(zhì)量，v是粒子速度，kB是Boltzmann常數(shù)，T是溫度。這里對(duì)問題的四階矩結(jié)構(gòu)有

從上面的過程我們知道，整個(gè)的LBGK方法，將涉及到兩個(gè)關(guān)鍵性的步驟，即權(quán)函數(shù)的計(jì)算，平衡分布函數(shù)的確定，這些理論方面的進(jìn)展在Koelman (1991)開創(chuàng)性的工作中，都得到了具體的回答，正如作者自己所說，該論文不僅僅是給出一種具體的計(jì)算方法，而是建立了一套系統(tǒng)理論。令人遺憾的是，這關(guān)鍵性的進(jìn)展在后續(xù)的大多數(shù)學(xué)者的評(píng)述中沒有得到客觀的體現(xiàn)。

問題一:權(quán)函數(shù)的計(jì)算

這里我們使用的是D2Q9幾何模型，在格點(diǎn)上具有三個(gè)不同的速度，表1給出詳細(xì)的幾何結(jié)構(gòu)，以及權(quán)。

表1 計(jì)算參數(shù)［3］Table 1 Calculation parameters［3］

根據(jù)格點(diǎn)速度偶階矩方程，可以有

零階矩:

二階矩:

四階矩:

由此可以得到權(quán)函數(shù)的解。

問題二:平衡分布函數(shù)的確定

Koelman首先引入了格子相對(duì)熵密度

對(duì)于該力學(xué)系統(tǒng)存在兩個(gè)守恒約束條件

根據(jù)一般約束系統(tǒng)變分原理，可以定義系統(tǒng)的泛函數(shù)

系統(tǒng)平衡分布函數(shù)可以從變分條件得到

令上述變分為0，則可得到這個(gè)方程的解為

利用動(dòng)理學(xué)中的多重尺度展開，可以得到標(biāo)準(zhǔn)的Navier-Stokes方程。

從上面的工作，可以看到存在以下的不足:

1)標(biāo)準(zhǔn)的Navier-Stokes方程僅僅是連續(xù)性方程和動(dòng)量方程，而能量方程的恢復(fù)并沒有得到預(yù)期的結(jié)果，使得熱力學(xué)理論結(jié)構(gòu)并不完善;

2)確實(shí)Koelmann(1991)的工作，消除了影響伽利略不變性的因子，但是必須清楚地知道這里僅是針對(duì)連續(xù)性和動(dòng)量方程而言的，建立在嚴(yán)格的群分析基礎(chǔ)上的理論是否支持上述的結(jié)論?

在后續(xù)的論文中，我們將繼續(xù)就這兩個(gè)方面的問題進(jìn)行探討。

致謝:作者對(duì)審稿人的改進(jìn)意見表示衷心的感謝!

［1］Rothman D，Zaleski S.Lattice gas cellular automata:simple models of complex hydrodynamics［M］.Cambridge University Press，1997.

［2］Chopard B，Droz M.Encyclopedia of complexity and systems science［M］.Cambridge University Press，1998.

［3］Wolf G D.Lattice-gas cellular automata and lattice Boltzmann models［M］.Berlin:Springer-Verlag，2000.

［4］Rivet J P，Boon J P.Lattice gas hydrodynamics［M］.Cambridge University Press，2001.

［5］Succi S.Lattice Boltzmann equation for fluid dynamics and beyond［M］.Oxford:Clarendon Press，2001.

［6］Sukop M C，D.T Thorne J.Lattice Boltzmann modeling:an introduction for geoscientists and engineers［M］.Berlin:Springer，2005.

［7］Tsutahara M，Takada N，Kataoka T.Lattice gas and lattice boltzmann methods:new methods of computational fluid dynamics［M］.Tokyo:Corona Publishing Co.Ltd，1999.

［8］Li Y X，Kan L S，Chen Y P.Lattice gas automaton［M］.Beijing: Press of Qin Hua University，Press of Guangxi Keji，1994.(in Chinese)李元香，康立山，陳毓屏.格子氣自動(dòng)機(jī)［M］.清華大學(xué)出版社，廣西科學(xué)技術(shù)出版社，1994.

［9］Guo Z L，Zheng C G.Principal and applications of the lattice Boltzmann methods［M］.Beijing:Science Press，2009.(in Chinese)郭照立，鄭楚光.格子Boltzmann方法的原理及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.

［10］Guo Z L，Zheng C G，Li Q.Lattice Boltzmann methods in fluid dynamics［M］.Wuhan:Press of Hubei Science and Technology，2002.(in Chinese)郭照立，鄭楚光，李青，等.流體動(dòng)力學(xué)的格子Boltzmann方法［M］.武漢:湖北科學(xué)技術(shù)出版社，2002.

［11］He Y L，Wang Y，Li Q.Theory and appllications of lattice Boltzmann methods［M］.Beijing:Science Press，2009.(in Chinese)何雅玲，王勇，李慶.格子Boltzmann方法的理論及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.

［12］Benzi R，Succi S，Vergassola M.The lattice Boltzmann equation: theory and applications［J］.Physics Reports，1992，222(3):145-197.

［13］Qian Y H，Succi S，Orszag S.Recent advances in lattice Boltzmann computing［J］.Annu.Rev.Comput.Phys.，1995，3:195-242.

［14］Chen S，Doolen G D.Lattice Boltzmann method for fluid flows［J］.Annu.Rev.Fluid Mech，2003，30(5):329-364.

［15］Nourgaliev R R，Dinh T N，Theofanous T G，et al.The lattice Boltzmann equation method:theoretical interpretation，numerics and implications［J］.International Journal of Multiphase Flow，2003，29:117-169.

［16］Zhu Z X.Lattice gas automata［J］.Mechanics in Engineering，1987，9:1-6.(in Chinese)朱照宣.點(diǎn)格自動(dòng)機(jī)［J］.力學(xué)與實(shí)踐，1987，9:1-6.

［17］Hu S Y.Linear lattice gas automata［J］.Mechanics in Engineering，1988，10:34-37.(in Chinese)胡守信.線性點(diǎn)格自動(dòng)機(jī)［J］.力學(xué)與實(shí)踐，1988，10:34-37.

［18］Qian Y H，D d’Humieres，Y Pomeau，et al.The newest development of lattice gas automaton dynamics［J］.Mechanics in Engineering，1990，12(1):7-16.(in Chinese)錢躍竑，D d’Humieres，Y Pomeau，等.格子氣流體動(dòng)力學(xué)及其最新進(jìn)展［J］.力學(xué)與實(shí)踐，1990，12:7-16.

［19］Li Y X.Discrete kinetic models for simulating fluid dynamics［J］.Numerical Simulations and Computer Applications，1995(3):233-240.(in Chinese)李元香.模擬流體力學(xué)的離散運(yùn)動(dòng)論模型［J］.數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用，1995(3):233-240.

［20］Cheng X L，Hu F，Zhao S N，et al.The application of lattice Boltzmann method in the atmospheric turbulence study［J］.Advances in Earth Science，2007，22(3):29-40.(in Chinese)程雪玲，胡非，趙松年，姜金華.格子玻爾茲曼方法在大氣湍流研究中的應(yīng)用［J］.地球科學(xué)進(jìn)展，2007，22(3):29-40.

［21］He Y L，Li Q，Wang Y，et al.Lattice Boltzmann method and its applications in engineering thermal physics［J］.Chinese Science Bulletin，2009，(18):2638-2656.(in Chinese)何雅玲，李慶，王勇，等.格子Boltzmann方法的工程熱物理應(yīng)用［J］.科學(xué)通報(bào)，2009，(18):2638-2656.

［22］Xu A G，Zhang G C，Li Y J，et al.Modeling and simulation of nonequilibrum and multiphase complex systems—lattice Boltzmann kinetic theory and application［J］.Progress in Physics，34(3): 136-167，2014.(in Chinese)許愛國(guó)，張廣財(cái)，李英駿，等.非平衡與多相復(fù)雜系統(tǒng)模擬研究——Lattice Boltzmann動(dòng)理學(xué)理論與應(yīng)用［J］.物理學(xué)進(jìn)展，2014，34(3):136-167.

［23］Broadwell J E.Shock Structure in a simple discrete velocity gas［J］.Physics of Fluids，1964，7(8):1243-1247.

［24］Hardy J，Pomeau Y，O de Pazzis.Time evolution of a twodimensional model system(I):Invariant states and time correlation functions［J］.Journal of Mathematical Physics，1973，(12):1746-1759.

［25］Hardy J，Pomeau Y，O de Pazzis.Molecular dynamics of a classical lattice gas:Transport properties and time correlation functions［J］.Phys.Rev.A，1976，13:1949-1961.

［26］Frisch U，Hasslacher B，Pomeau Y.Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equation［J］.Physical Review Letters，1986.56 (14):1505-1508.

［27］Wolfram S.Cellular automaton fluids I:Basic theory［J］.Journal of Statistical Physics，1986，45:471-529.

［28］Frisch U，D d’Humieres，Hasslacher B，et al.Lattice gas hydrodynamics in two and three dimensions［J］.Complex Systems，1987，(4):649-707.

［29］McNamara G R，Zanetti G.Use of the Boltzmann equation to simulate lattice gas hydrodynamics［J］.Phys.Rev.Lett.，1988，61: 2332-2335.

［30］Higuera，Jiménez.Boltzmann approach to lattice gas simulation［J］.Europhys Lett.，1989，9:663-668.

［31］Higuera F J，Succi S，Benzi R.Lattice gas dynamics with enhanced collisions［J］.Europhysics Letters，1989，9(4):345-349.

［32］Koelman J M V A.A simple lattice boltzmann scheme for Navier-Stokes fluid flow［J］.Europhysics Letters，1991，(6):603-607.

［33］Qian Y H，D d’Humieres，Lallemand P.Lattice BGK models for Navier-Stokes equation［J］.Europhysics Letters，1992，17(6): 479-484.

［34］Frisch U.Relation between the lattice Boltzmann equation and the Navier-Stokes equations［J］.Physica D Nonlinear Phenomena，1991:231-232.

［35］Feynman R P.Simulating physics with computers［J］.International Journal of Theoretical Physics，1982，21(6-7):467-488.

［36］Hillis W D.Richard Feynman and the connection machine［J］.Physics Today，2008，42(2):78-83.

［37］Maxwell J C.Scientific papers II［M］.Cambridge University Press， 1890.

Several problem s on the lattice Boltzmann method(I)

Ran Zheng*，Chen Jian
(Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200072，China)

The lattice gas method and the subsequent lattice Boltzmann method are new methods which are completely different from th traditional calculation of the flow field.Its development tendency and the impact on the traditional fluid mechanics were unexpected was hailed as a revolution in modern fluid mechanics.This paper mainly discusses the source of relevant thought and some key work in the development process of this field in order to give a review of these stirring years.Historically，five stages in the development of lattice Boltzmann methods can be distinguished.We follow the corresponding exciting development of both methods since 1989 and the men who have made contributions to this field.

lattice Boltzmann method;cellular automata;lattice gas automata

V211.3;O241.8

A

10.7638/kqdlxxb-2015.0058

0258-1825(2016)03-0333-08

2015-04-10;

2015-05-15

國(guó)家自然科學(xué)基金(90816013)

冉政*(1966-)，男，四川人，副研究員，研究方向:計(jì)算流體力學(xué)，湍流統(tǒng)計(jì)理論.E-mail:zran@staff.shu.edu.cn

冉政，陳健.關(guān)于格子Boltzmann方法的幾個(gè)問題(I)［J］.空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2016，34(3):333-340.

10.7638/kqdlxxb-2015.0058 Ran Z，Chen J.Several problems on the lattice Boltzmann method(I)［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2016，34(3):333-340.