張 楊，王典軍，朱志斌，高恩宇

(1.中國(guó)空間技術(shù)研究院通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京100094;2.北京控制工程研究所，北京100190)

基于視線測(cè)量和軌道預(yù)報(bào)高軌非合作目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)航方法*

張 楊1，王典軍1，朱志斌2，高恩宇1

(1.中國(guó)空間技術(shù)研究院通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京100094;2.北京控制工程研究所，北京100190)

對(duì)于非合作目標(biāo)，由于中遠(yuǎn)距離星上相對(duì)測(cè)量手段有限，大多情況僅能獲得視線角信息.僅視線測(cè)量相對(duì)導(dǎo)航方法在GEO軌道條件下濾波精度低、可觀測(cè)性差.提出一種基于星間視線方位測(cè)量和軌道預(yù)報(bào)信息結(jié)合的非合作目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)航方法.建立基于星間相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的狀態(tài)方程和基于星間視線測(cè)量和軌道預(yù)報(bào)信息的觀測(cè)方程，分別選取了擴(kuò)展卡爾曼濾波和無(wú)跡卡爾曼濾波兩種方法，仿真分析了軌道預(yù)報(bào)信息精度和濾波方法對(duì)導(dǎo)航精度的影響.

相對(duì)導(dǎo)航;視線測(cè)量;擴(kuò)展卡爾曼濾波;無(wú)跡卡爾曼濾波

0 引言

合作目標(biāo)交會(huì)對(duì)接采用的成熟相對(duì)導(dǎo)航方法均依賴(lài)完整位置測(cè)量信息，非合作目標(biāo)不具備GPS、應(yīng)答機(jī)和激光角反射器等條件，特別對(duì)于中遠(yuǎn)距離，很難獲得精確星間距離信息，但依靠光學(xué)相機(jī)和圖像處理方法，可以獲得準(zhǔn)確的視線方位信息.文獻(xiàn)［1］提出了近地軌道上僅依靠視線測(cè)量的非合作目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)航方法，但在中高軌道，由于測(cè)距信息缺失，利用僅視線測(cè)量的相對(duì)導(dǎo)航方法的可觀性較差.

由于非合作目標(biāo)地面定軌精度差，特別是軌道傾角矢量與標(biāo)稱(chēng)值偏差較大，遠(yuǎn)距離引導(dǎo)段需要提高相對(duì)傾角的矢量確定精度，進(jìn)而修正軌道面，保證在交班點(diǎn)處目標(biāo)能夠出現(xiàn)在追蹤星的捕獲相機(jī)視場(chǎng)內(nèi).本文提出一種基于星間視線角測(cè)量和軌道預(yù)報(bào)信息相結(jié)合的GEO軌道非合作目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)航方法，軌道預(yù)報(bào)信息中僅使用測(cè)距信息，推導(dǎo)基于軌道要素的兩衛(wèi)星相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)模型，選用非線性卡爾曼濾波方法，進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證導(dǎo)航方法的可行性，并討論不同精度測(cè)距信息和濾波方法對(duì)導(dǎo)航精度的影響.

1 GEO軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)模型

本文的研究對(duì)象為兩個(gè)衛(wèi)星(目標(biāo)星和追蹤星)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，參考坐標(biāo)系選用地心慣性坐標(biāo)系和衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系，地心慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)O在地球質(zhì)心，Z軸沿地球自轉(zhuǎn)軸指向北極，X軸在地球赤道面內(nèi)指向春分點(diǎn);衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系原點(diǎn)O'在衛(wèi)星質(zhì)心，Z'指向地球質(zhì)心方向，Y'垂直于軌道平面，沿負(fù)法線方向.圖1為兩坐標(biāo)系示意圖，其中Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)，i為軌道傾角，緯度幅角u=ω+f，ω為近地點(diǎn)幅角，f為真近點(diǎn)角.

圖1 慣性坐標(biāo)系和軌道坐標(biāo)系Fig.1 Inertial and orbit coordinates

1.1 基于相對(duì)軌道要素的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述

本文考慮到自然運(yùn)動(dòng)相對(duì)軌道根數(shù)的5個(gè)變量均為緩慢變化，適于分析濾波穩(wěn)定性，且空間幾何意義清晰.定義衛(wèi)星間的相對(duì)軌道要素為

式中，a為半長(zhǎng)軸，e為偏心率，λ為平緯度幅角.則衛(wèi)星間的相對(duì)位置與相對(duì)軌道要素間的映射關(guān)系可以表示為

1.2 衛(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)模型

當(dāng)考慮地球中心天體引力和二階帶諧攝動(dòng)(J2項(xiàng)攝動(dòng))時(shí)，自然運(yùn)動(dòng)條件下，衛(wèi)星含二階帶諧項(xiàng)的軌道動(dòng)力學(xué)模型為

等式右側(cè)陣為平均軌道要素隨時(shí)間的長(zhǎng)期變化率在近圓軌道條件下通過(guò)線性化得到的矩陣.

式中，J2表示攝動(dòng)項(xiàng)系數(shù)，J2=1.082 63×10－3.

1.3 敏感器觀測(cè)模型

定義觀測(cè)量Δr、α、β，如圖2所示.

圖2 追蹤星軌道坐標(biāo)系及其觀測(cè)變量Fig.2 Orbit coordinates of chase satellite and observed variables

Δr:目標(biāo)星和追蹤星之間的距離.

α:目標(biāo)星在追蹤星測(cè)量坐標(biāo)系中的方位角，即追蹤星與目標(biāo)星連線在軌道坐標(biāo)系XY平面的投影與X軸的夾角.沿Z軸負(fù)方向逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?

β:目標(biāo)星在追蹤星星測(cè)量坐標(biāo)系中的俯仰角，即追蹤星與目標(biāo)星連線在軌道坐標(biāo)系XY平面的投影與該連線的夾角.β與Δz的正負(fù)相反.

2 相對(duì)導(dǎo)航濾波算法

本文所研究的高軌衛(wèi)星間相對(duì)導(dǎo)航濾波模型屬于高斯非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，不能直接通過(guò)卡爾曼濾波進(jìn)行估計(jì)，通常采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)方法［2］.文獻(xiàn)［3］將 EKF算法用于導(dǎo)航濾波算法，得到了較好的結(jié)果，文獻(xiàn)［4］提出了一種基于插值濾波的改進(jìn)型 EKF算法，進(jìn)一步提高了導(dǎo)航精度.EKF算法需要對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)模型和觀測(cè)模型進(jìn)行線性化處理［5］，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行泰勒展開(kāi)時(shí)，若保留低階項(xiàng)，則容易產(chǎn)生較大的截?cái)嗾`差，若保留較高階數(shù)，則易使濾波器發(fā)散.基于無(wú)跡變換的無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)可以更好的估計(jì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)變量的均值和均方差，對(duì)于在高斯白噪聲干擾下的非線性系統(tǒng)有著更好的估計(jì)精度，且不需要求雅克比矩陣，但需要更大的計(jì)算量［6］.

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

根據(jù)式(1)，令

濾波估計(jì)中的系統(tǒng)方程可以表示為

式中，ξ=［ξΔaξΔexξΔeyξΔixξΔiyξΔλ］T為模型簡(jiǎn)化引起的系統(tǒng)誤差，這里假設(shè)其滿(mǎn)足零均值的高斯分布.對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行離散化處理式中，Xk為系統(tǒng)k時(shí)刻的狀態(tài)向量，Φk+1，k為從 k時(shí)刻到k+1時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，為對(duì)應(yīng)的正則化時(shí)間單位，aC為正則化長(zhǎng)度單位，即目標(biāo)星軌道半徑.

2.2 系統(tǒng)觀測(cè)方程

觀測(cè)方程可以表示為

式中，Δr=［Δx Δy Δz］T為軌道預(yù)報(bào)得到的目標(biāo)星在追蹤星軌道坐標(biāo)系下的相對(duì)位置，其與相對(duì)軌道要素間映射關(guān)系可以根據(jù)式確定.ζρ為相對(duì)距離的測(cè)量誤差，由于測(cè)距信息通過(guò)對(duì)軌道預(yù)報(bào)信息提前處理獲得，其常值誤差和周期性誤差可以在傅里葉變換后直接去掉，這里假設(shè)其滿(mǎn)足零均值的高斯分布.ζC為單位視線矢量測(cè)量誤差，假設(shè)其滿(mǎn)足零均值的高斯分布，當(dāng)誤差較小時(shí)其協(xié)方差矩陣可以表示為

線性化處理可得觀測(cè)方程的Jacobian矩陣

其中，

2.3 基于EKF算法的濾波器設(shè)計(jì)

根據(jù)Kalman濾波基本方程可得狀態(tài)更新方程和測(cè)量更新方程

式中:Kk+1代表濾波增益矩陣;濾波初值和濾波誤差

方差矩陣的初值分別為

以上為系統(tǒng)基于EKF算法的濾波器設(shè)計(jì)流程，關(guān)于EKF算法的詳細(xì)介紹請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)［7］.

2.4 基于UKF算法的濾波器設(shè)計(jì)

將擴(kuò)展Kalman濾波中統(tǒng)計(jì)特性傳播方式的線性化近似用UT變換方法代替，即可得到無(wú)跡Kalman濾波.考慮之前定義的非線性系統(tǒng)，UKF的具體流程為初始化、計(jì)算 Sigma點(diǎn) ξik－1(i=0，1，2，…，2n)、時(shí)間更新、觀測(cè)更新、濾波更新幾個(gè)過(guò)程.關(guān)于UKF算法的詳細(xì)介紹請(qǐng)參加文獻(xiàn)［8］.

3 仿真分析

設(shè)定追蹤星在目標(biāo)星后方約100 km處，軌道要素相差較小，表1給出了兩衛(wèi)星的初始平均軌道要素，其中ξ=ecosω，η=esinω.

表1 衛(wèi)星初始平均軌道要素Tab.1 Initial mean orbital elements of satellite

目前衛(wèi)星地面測(cè)控系統(tǒng)的定軌精度要求一般為(3σ):半長(zhǎng)軸Δa≤100 m、偏心率 Δe≤6×10－6、軌道傾角 Δi≤0.005°、平經(jīng)度Δλ≤0.005°.仿真時(shí)間為1.5×105s.目標(biāo)星在追蹤星軌道坐標(biāo)系下的視線角測(cè)量精度 ζC為0.02°(±σ)，地面定軌相對(duì)距離測(cè)量精度 ζρ為1 km(±σ)、10 km(±σ)、50 km(±σ).狀態(tài)變量誤差協(xié)方差陣初值為 P0= 1×10－8diag{1，1，1，1，1，1}、系統(tǒng)隨機(jī)噪聲協(xié)方差陣為Q=1×10－16diag{0.01，0.05，0.1，0.01，0.01，1}及觀測(cè)噪聲協(xié)方差陣為R=diag{ζ2ρ，10－7，10－7，10－7}.

在不同距離測(cè)量精度條件下，分別使用基于EKF的濾波器和基于UKF的濾波器進(jìn)行狀態(tài)變量的估計(jì).圖3～5表示了不同測(cè)量精度下2種濾波算法對(duì)相對(duì)軌道要素的估計(jì)誤差，這里用相對(duì)軌道要素誤差與追蹤星軌道半徑的乘積來(lái)表示，單位km.圖中虛線和實(shí)線表示基于EKF和UKF的相對(duì)軌道要素誤差的估計(jì)結(jié)果.根據(jù)需求，相對(duì)距離100 km處，導(dǎo)航精度需小于2 km.

3.1 測(cè)距精度對(duì)濾波估計(jì)的影響

以EKF濾波算法為例.采用蒙特-卡洛法分別對(duì)測(cè)距精度為1 km、10 km、50 km 3種條件進(jìn)行100次仿真，其中初始參數(shù)設(shè)定P、Q以測(cè)距精度為1 km收斂條件為準(zhǔn)，其他情況只改變測(cè)距精度及觀測(cè)方程系統(tǒng)噪聲方差陣R，曲線收斂后，對(duì)估計(jì)誤差求取期望和均方差，為了計(jì)算準(zhǔn)確，取時(shí)間為3×104s時(shí)刻，結(jié)果如表2所示.

從表中可以得出，各軌道要素均滿(mǎn)足導(dǎo)航精度要求.不同測(cè)距精度對(duì)相對(duì)估計(jì)誤差的期望影響有限，但是隨著測(cè)距精度的增加，部分相對(duì)估計(jì)誤差的均方差增加，數(shù)據(jù)量級(jí)明顯增大，說(shuō)明誤差帶帶寬增加，曲線不集中.如Δλ的誤差期望變小，但均方差增大.

3.2 濾波算法對(duì)濾波精度的影響

從濾波時(shí)間和濾波精度兩個(gè)方面來(lái)分析蒙特-卡洛法得出的仿真數(shù)據(jù).采用測(cè)距精度為10 km的仿真條件，仿真時(shí)間分別取5 000 s，10 000 s，15 000 s和20 000 s 4個(gè)時(shí)刻進(jìn)行采樣，計(jì)算 EKF和UKF兩種算法得出的相對(duì)軌道根數(shù)的期望和均方差分析濾波時(shí)間和濾波精度，結(jié)果如表3～4所示.

圖3 相對(duì)軌道要素估計(jì)誤差(測(cè)距精度1 km)Fig.3 Estimate error of relative orbital elements (range accuracy:1 km)

圖4 相對(duì)軌道要素估計(jì)誤差(測(cè)距精度10 km)Fig.4 Estimate error of relative orbital elements (range accuracy:10 km)

圖5 相對(duì)軌道要素估計(jì)誤差(測(cè)距精度50 km)Fig.5 Estimate error of relative orbital elements (range accuracy:50 km)

表2 不同測(cè)距精度下EKF濾波均方差與期望(t=30 000 s)Tab.2 Variance and expectation of EKF under different ranging accuracy(t=30 000 s) km

表3 EKF濾波均方差與期望(測(cè)距精度10 km)Tab.3 Variance and expectation of EKF(range accuracy:10 km) km

表4 UKF濾波均方差與期望(測(cè)距精度10 km)Tab.4 Variance and expectation of UKF(range accuracy:10 km) km

從表中可以看出，EKF算法期望在15 000 s穩(wěn)定，均方差到20 000 s穩(wěn)定;UKF算法期望在10 000 s已經(jīng)接近穩(wěn)定，均方差數(shù)值也遠(yuǎn)小于同一時(shí)刻EKF算法的均方差值，所以濾波收斂時(shí)間上UKF算法優(yōu)于EKF算法;在濾波精度上，在20 000 s，兩種算法期望量級(jí)差別在十米級(jí)，但EKF算法的均方差值全部大于UKF均方差值，數(shù)據(jù)相對(duì)分散，說(shuō)明EKF濾波精度略低于UKF濾波精度.

4 結(jié)論

本文提出并通過(guò)仿真驗(yàn)證了一種基于星間視線測(cè)量和地面測(cè)距信息的GEO軌道非合作目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)航方法.

仿真分析結(jié)果表明:(1)導(dǎo)航方法具有遞推和修正能力，滿(mǎn)足導(dǎo)航需求;(2)地面測(cè)軌精度越低，導(dǎo)航精度越差;(3)UKF算法的仿真結(jié)果優(yōu)于EKF算法的仿真結(jié)果，但UKF算法計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，較難實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)導(dǎo)航.在滿(mǎn)足導(dǎo)航精度的前提下，可選擇EKF算法作為星上自主相對(duì)導(dǎo)航算法.(4)導(dǎo)航方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)相對(duì)軌道傾角的高精度估計(jì)，估計(jì)結(jié)果可以作為追蹤航天器進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)以減小與非合作目標(biāo)軌道傾角的依據(jù)，對(duì)于解決交班點(diǎn)處目標(biāo)脫離捕獲相機(jī)視場(chǎng)的問(wèn)題提供很大幫助.

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Relative Navigation Algorithm for GEO Noncooperative Satellites Based on Line-of-Sight Measurement and Orbit Prediction

ZHANG Yang1，WANG Dianjun1，ZHU Zhibin2，GAO Enyu1
(1.Institute of Telecommunication Satellite，China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China; 2.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China)

For noncooperative objectives，with limited measuring method，only angle measurement information can be achieved for the mid-long distance satellites.The line-of-sight-measurement relative navigation algorithm has low precision and observability for GEO satellites.Based on the combination of lineof-sight inter-satellite-measurement and orbit forecast information of ground-measurement，a method of relative navigation algorithm for GEO noncooperative satellites is presented.The system state equation based on the inter-satellite relative motion model is established.The measurement equation is established based on LOS and orbit forecast information.EKF(extended Kalman filter)and UKF(unscented Kalman filter)methods are adopted.The effects of orbit forecast information measurement accuracy and filtering methods on the navigation accuracy are illuminated via the simulation and analysis.

relative navigation;line-of-sight-measurement;extended Kalman filter;unscented Kalman filter

V448

A

1674-1579(2016)03-0021-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.03.004

張 楊(1990—)，男，碩士研究生.研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制;王典軍(1968—)，男，研究員，研究方向?yàn)楹教炱骺刂?朱志斌(1981—)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)楹教炱骺刂?高恩宇(1983—)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)楹教炱骺傮w設(shè)計(jì).

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61203196，11502017).

2016-02-07