張躍明，耿紀(jì)玲，紀(jì)姝婷，朱國楊

(北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京　100124)

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RV減速器中擺線輪齒形優(yōu)化修形與參數(shù)化設(shè)計(jì)*

張躍明，耿紀(jì)玲，紀(jì)姝婷，朱國楊

(北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124)

摘要：為了得到符合實(shí)際工作要求的擺線輪齒形，對擺線輪齒形的幾種修形方式進(jìn)行了研究，確定了最佳修形方式為負(fù)移距與正等距相組合的修形方式。對多種優(yōu)化方法進(jìn)行了分析，選取了兩點(diǎn)外插的混合罰函數(shù)法來求解，并借助VC++6.0編寫繪圖程序驗(yàn)證了此種修形方式的合理性。同時(shí)利用Pro/E 4.0對擺線輪進(jìn)行了參數(shù)化設(shè)計(jì)，推導(dǎo)出擺線輪齒廓曲線上的坐標(biāo)點(diǎn)按齒廓曲線曲率不同分布疏密程度不同的公式，同時(shí)借助VC++6.0編制程序計(jì)算出擺線輪齒廓曲線上分布的各點(diǎn)的坐標(biāo)值，為使用數(shù)控機(jī)床加工擺線輪提供了便利。

關(guān)鍵詞：擺線輪 ；優(yōu)化修形；繪圖程序驗(yàn)證；參數(shù)化設(shè)計(jì)

0引言

RV減速器主要由行星架、中心輪、擺線輪等構(gòu)件組成，它具有很高的的疲勞強(qiáng)度、剛度和壽命，而且回差精度穩(wěn)定。因此世界上許多國家高精度機(jī)器人傳動(dòng)常采用RV減速器。同時(shí)由于RV減速器中應(yīng)用的擺線針輪傳動(dòng)具有體積小、傳動(dòng)比范圍大、效率高、工作可靠、噪聲低等優(yōu)點(diǎn)，這種傳動(dòng)方式在很多行業(yè)中也得到廣泛的應(yīng)用。

由于實(shí)際應(yīng)用RV減速器時(shí)，都必須要對其中的擺線輪的標(biāo)準(zhǔn)齒形進(jìn)行修形，確定正確可行的修形方式是很重要的一部分。文獻(xiàn)[1-2]提出了一種符合共軛條件的修形方式，優(yōu)化了擺線輪的齒形。課題所確定的擺線輪齒廓優(yōu)化修形方法是綜合考慮多方面的因素之后所得的結(jié)果，彌補(bǔ)了以前所用修形方法的不足，同時(shí)在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)求解最佳修形量也采用了一種新的優(yōu)化方法，求出的修行量更加可靠，再結(jié)合VC++6.0工具繪圖來驗(yàn)證修形方式的合理性，這種驗(yàn)證手段能夠更為客觀地檢驗(yàn)所用的修形方式是否能夠滿足RV減速器多方面的要求。此外，本課題充分考慮了擺線輪齒廓曲線在用數(shù)控機(jī)床對其進(jìn)行加工過程中由于刀具進(jìn)給的步長因素產(chǎn)生的誤差，由于擺線輪齒廓曲線的曲率是變化的，根據(jù)曲率的變化來推導(dǎo)擺線輪齒廓曲線上點(diǎn)的分布規(guī)律，并借助VC++6.0編制程序計(jì)算擺線輪齒廓曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，這與平均分布點(diǎn)坐標(biāo)的方法相比，加工精度在理論上提高了許多。

1擺線輪齒形的修形方法的確定

為補(bǔ)償制造時(shí)的尺寸鏈誤差，便于裝拆，保證潤滑，擺線輪齒和針輪齒之間必須有合理的齒側(cè)間隙Δc和徑向間隙Δj，因此實(shí)際應(yīng)用RV減速器時(shí)都要對擺線輪的標(biāo)準(zhǔn)齒形進(jìn)行修形。常見有以下三種修形方式[3]：

(1)移距修形法；

(2)等距修形法；

(3)轉(zhuǎn)角修形法。轉(zhuǎn)角修形磨出的擺線輪與標(biāo)準(zhǔn)針輪的齒根和齒頂部分將存在無間隙接觸，故不能單獨(dú)使用。

合理的擺線輪齒形需滿足以下要求[4]:

(1)擺線輪工作部分的齒形與針齒應(yīng)盡可能地互為共軛齒形，從而使傳動(dòng)比恒定，運(yùn)動(dòng)精度高，傳動(dòng)平穩(wěn)，達(dá)到多齒同時(shí)嚙合的良好狀態(tài)，增大嚙合剛度來減少輪齒因彈性變形引起的回差。

(2)在擺線輪齒根與齒頂附近必須要產(chǎn)生合理的徑向間隙，并在齒側(cè)產(chǎn)生合理的齒側(cè)間隙，用來補(bǔ)償制造誤差，保證良好的潤滑狀態(tài)。

(3)磨削工藝應(yīng)簡單，盡可能地減小綜合回差，使初始間隙達(dá)到最小。

單獨(dú)采用移距或等距修形不能形成接近共軛齒廓的齒形，轉(zhuǎn)角修形雖然可以形成共軛齒廓，但是由于此方法調(diào)整繁瑣，磨削效率成倍降低，一般在實(shí)際生產(chǎn)中不被采用，因此采用移距與等距組合的修形方法。

正移距與正等距組合修形雖可得接近共軛齒廓的齒形，但是難以滿足間隙回差小的要求，此方法若保證了徑向間隙，便會(huì)增加新的側(cè)隙[5]。在單獨(dú)采用等距或移距修形時(shí)，由于移距修形產(chǎn)生的初始間隙大于等距修形產(chǎn)生的初始間隙，故等距修形的效果要優(yōu)于移距修形。同時(shí)在要求相同的徑隙條件下，為保證獲得最小的初始間隙，需采用負(fù)移距與正等距相組合的修形方法[6]。此方法不僅使擺線輪工作部分的齒形與針輪應(yīng)最大限度地互為共軛齒形，形成合理的徑向間隙和齒側(cè)間隙，且能滿足綜合回差小的要求。

2擺線輪齒形修形的優(yōu)化求解

2.1擺線輪齒形優(yōu)化修形的數(shù)學(xué)模型

在根據(jù)已知的主要參數(shù)rp、zp、zc優(yōu)化確定了針輪中心圓半徑rrp和擺線針輪傳動(dòng)的偏心距a后,得出了為補(bǔ)償制造誤差與保證潤滑條件所需要的合理的齒側(cè)間隙Δc和徑向間隙Δj，用Δc確定與擺線輪工作齒形部分所需的相吻合的轉(zhuǎn)角修形齒形的轉(zhuǎn)角修形量δc。

轉(zhuǎn)角修形擺線輪齒形坐標(biāo)公式[3]為：

(1)

移距修形與等距修形組合的擺線輪齒形坐標(biāo)公式[3]為：

(2)

參考確定擺線輪嚙合齒形工作范圍的方法[7]，初步確定與δ=δc的轉(zhuǎn)角修形齒形相吻合的擺線輪齒形工作部分應(yīng)在25°~100°之間，并在此區(qū)域?qū)ⅵ罩档确譃閙-1等份，建立的目標(biāo)函數(shù)為：

其約束條件為：Δrrp>0，Δrp<0，Δrp+Δrrp=Δj>0。

2.2Matlab優(yōu)化求解方法

Matlab優(yōu)化工具箱[8]對初值依賴敏感，常采用fmincon函數(shù)優(yōu)化得到的效果并不佳，如何求解出上述數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解是非常關(guān)鍵的一部分，文獻(xiàn)對多種優(yōu)化方法進(jìn)行了研究，確定了一種更好的求解方法為兩點(diǎn)外插的混合罰函數(shù)法。混合函數(shù)法是通過一系列的罰因子{ci}，求罰函數(shù)的極小點(diǎn)來逼近原約束問題的最優(yōu)點(diǎn)。外點(diǎn)罰函數(shù)法是從可行域外部向約束邊界逐步靠攏的，內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法是用可行域內(nèi)部的點(diǎn)列來逼近最優(yōu)解。兩點(diǎn)外插的混合罰函數(shù)法綜合了外點(diǎn)罰函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)和內(nèi)罰點(diǎn)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，初始點(diǎn)可以任意取，可以求出近似最優(yōu)點(diǎn)，而且比混合罰函數(shù)法的求解速度快。

2.3Visual C ++6.0繪圖驗(yàn)證

Visual C++6.0由Microsoft開發(fā)，是一個(gè)基于Windows操作系統(tǒng)的可視化集成開發(fā)環(huán)。運(yùn)用Visual C++6.0編寫繪出擺線輪齒形程序，并編寫擺線輪參數(shù)輸入初始界面如圖1，在設(shè)計(jì)的人機(jī)交互界面[9]靈活地更改擺線輪的參數(shù)值，得到不同擺線輪的圖形，同時(shí)可以輸入擺線輪的修形量來繪出修形后的擺線輪齒形，可以在同一個(gè)窗口中輸出擺線輪未經(jīng)修形的齒形和擺線輪經(jīng)過修形之后的齒形，方便比較擺線輪修形前后的變化，容易驗(yàn)證修形后的擺線輪齒形是否合理。

圖1　擺線輪參數(shù)輸入初始界面

3修形實(shí)例

一臺一齒差RV減速器，針齒中心圓半徑r=52.5mm,針齒半徑rrp=2.25mm,針輪齒數(shù)zp=40，擺線輪齒數(shù)zc=39，偏心距a=1mm為算例。

運(yùn)用上述數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化求解方法，編寫Matlab程序。首先要編寫出簡化目標(biāo)函數(shù)的程序文件，然后編寫優(yōu)化程序文件，取初始點(diǎn)x0=[-0.1 0.1]，罰因子r0=2，縮小系數(shù)c=0.5，自變量向量var=[drp drrp]。經(jīng)過計(jì)算機(jī)運(yùn)算，得出移距修形量為Δrp=-0.368mm，等距修形量為Δrrp=0.569mm。

在Visual C ++6.0中編出擺線輪繪圖程序畫出擺線輪圖形來表明修形的合理性。編出輸入上述實(shí)例參數(shù)后的程序界面如圖2所示。在這個(gè)程序界面中，還可以輸入其它型號的RV減速器的擺線輪參數(shù)，這樣大大簡化了擺線輪的繪圖過程。

圖2　擺線輪參數(shù)輸入后的程序界面

在擺線輪相關(guān)參數(shù)全部輸入上述程序界面之后，計(jì)算機(jī)就會(huì)在程序窗口中繪出擺線輪未經(jīng)修形的齒形，擺線輪經(jīng)過正等距和負(fù)移距組合修形之后的齒形以及擺線輪經(jīng)過轉(zhuǎn)角修行后的齒形如圖3。將圖3中齒形分為3段，AB為擺線輪輪齒根段，BC為擺線輪輪齒工作段，經(jīng)過正等距與負(fù)移距組合修形后的擺線輪齒形與經(jīng)過轉(zhuǎn)角修形之后的擺線輪齒形在輪齒工作區(qū)BC段基本吻合，形成了合理的側(cè)隙，擺線輪輪齒與針輪輪齒在工作段逼近共軛齒廓，同時(shí)在擺線輪齒根與齒頂出產(chǎn)生了合理的徑向間隙。本例擺線輪經(jīng)過修形之后得到了合理的擺線輪齒形。

圖3　修形所得的擺線輪新齒形

4擺線輪參數(shù)化設(shè)計(jì)

4.1Pro/E 4.0參數(shù)化設(shè)計(jì)的基本原理

由于已經(jīng)知道擺線輪的等距與移距組合修形后的齒形方程式，便可以方便地利用Pro/E 4.0對擺線輪進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)。Pro/E 4.0操作簡單方便，能快速地根據(jù)所給的參數(shù)及齒形方程繪出需要的圖形，并轉(zhuǎn)化為三維實(shí)體模型[10]。

4.2擺線輪參數(shù)化設(shè)計(jì)的主要步驟

(1)設(shè)置擺線輪參數(shù)。進(jìn)入Pro/E 4.0零件建模界面后，執(zhí)行“工具/參數(shù)”命令，輸入擺線輪的設(shè)計(jì)參數(shù)：針齒中心圓半徑rp、針齒半徑rrp、偏心距a、針輪齒數(shù)zp、擺線輪齒數(shù)zc、等距修形量Δrrp、移距修形量Δrp。

(2)創(chuàng)建擺線輪齒形基準(zhǔn)曲線。執(zhí)行“插入/基準(zhǔn)曲線”命令，選擇“從方程”方式創(chuàng)建基準(zhǔn)曲線，接著選取默認(rèn)的坐標(biāo)系和笛卡爾坐標(biāo)系，然后在“方程編輯器”記事本中輸入一些參數(shù)之間的約束關(guān)系式和擺線輪齒形方程在Pro/E 4.0中相應(yīng)的表達(dá)式，如圖4所示。最后保存并退出記事本，便可完成擺線輪單齒的齒形曲線的繪制。

圖4　擺線輪修形后齒形方程式

圖5　擺線輪實(shí)體模型

(3)創(chuàng)建擺線輪單個(gè)齒。執(zhí)行“拉伸”命令，選擇通過邊創(chuàng)建圖元，然后從曲線的兩端到圓心連成封閉圖形，點(diǎn)擊確定后即可繪圖單個(gè)齒的實(shí)體模型。

(4)創(chuàng)建完整的擺線輪模型。執(zhí)行“陣列”命令，繪出擺線輪的所有齒的實(shí)體模型，然后執(zhí)行“去除材料的拉伸”命令繪制出擺線輪上的孔。繪制好的擺線輪模型如圖5所示。

4.3擺線輪齒廓曲線上坐標(biāo)點(diǎn)分布計(jì)算

由于擺線輪的齒廓曲線的曲率是變化的，若使用數(shù)控機(jī)床對其進(jìn)行加工，數(shù)控機(jī)床的刀具行程會(huì)因步長的限制無法按照實(shí)際給定的坐標(biāo)位置行走，造成加工精度下降甚至無法滿足我們高精度的要求，為了彌補(bǔ)這種不足，在考慮曲率的情況下，推導(dǎo)出擺線輪齒廓曲線上坐標(biāo)點(diǎn)的分布規(guī)律與曲率的關(guān)系式如下：

(3)

式中：n—擺線輪某段齒廓曲線上分布的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)；φ—轉(zhuǎn)臂相對于某一針齒中心矢徑的轉(zhuǎn)角(°)；

擺線輪齒廓曲線的曲率：

擺線輪齒廓曲線的曲率與其上點(diǎn)分布疏密程度關(guān)系系數(shù)：

(4)

式中：N—擺線輪單個(gè)齒齒廓曲線上總點(diǎn)數(shù)；

并借助VC++6.0編制了程序方便地計(jì)算出齒廓曲線上分布的各點(diǎn)坐標(biāo)值便于數(shù)控系統(tǒng)加工擺線輪，同時(shí)繪制了上述實(shí)例4中的擺線輪單個(gè)齒齒廓曲線圖及其上的坐標(biāo)點(diǎn)分布情況如下圖6所示。

利用此程序可以很方便地計(jì)算擺線輪齒廓曲線上分布點(diǎn)的坐標(biāo)并可以清楚地觀察出點(diǎn)的分布情況，這為數(shù)控機(jī)床加工擺線輪提供了理論依據(jù)。

圖6　擺線輪單齒齒廓曲線

5結(jié)論

(1)在多種修形方式中優(yōu)選了負(fù)移距與正等距組合的修形方式，并用VC++6.0編程驗(yàn)證了這種修形方式可以獲得合理的擺線輪齒形，提高了繪制各種型號的擺線輪齒形的效率。

(2)分析了優(yōu)化擺線輪齒形的數(shù)學(xué)模型，選用了一種更好的新的求解方法：兩點(diǎn)外插的混合罰函數(shù)法，能夠更快速更高效地求解出理想的修形值。

(3)運(yùn)用Pro/E 4.0對擺線輪進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)，與傳統(tǒng)建模方法相比，提高了建模效率，大大地縮短了設(shè)計(jì)周期，提高了精度，同時(shí)也為對其進(jìn)行仿真和有限元分析提供了模型基礎(chǔ)，推導(dǎo)出擺線輪齒廓曲線上點(diǎn)坐標(biāo)分布與曲率的關(guān)系公式，并編寫了計(jì)算坐標(biāo)點(diǎn)的程序，既提高了數(shù)控機(jī)床加工擺線輪的精度，同時(shí)簡化了計(jì)算坐標(biāo)的過程。

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(編輯李秀敏)

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Modification and Optimization of Parameter Design of Cycloidal Gear of RV Gear

ZHANG Yue-ming，GENG Ji-ling，JI Shu-ting，ZHU Guo-yang

(College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology,Beijing University of Technology,Beijing 100124,China)

Abstract：In order to meet the requirements of the tooth profile of cycloidal gear, several modificate methods were analyzed, and the selection is equidistant from the combination of a negative shift of the modificae methods of cycloidal gear.A variety of optimizate methods are studied, the method of mixed penalty function points extrapolation. To solve, and using the VC++6.0 to write a drawing program to verify the rationality of the modificae methods. At the same time, using the Pro/E 4 pairs of cycloid gear parametric design, deduced the cycloid tooth profile curve on the coordinate point according to the tooth profile curve of curvature in different distribution density of different formula, and calculated the distribution of the cycloid tooth profile curve of each point on the left and right with the aid of the VC++6.0 program, to provide a theoretical basis for the processing of cycloidal gear.

Key words：optimization of cycloid gear; modification; drawing program verification; parametric design

中圖分類號：TH122;TG65

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

作者簡介：張躍明(1956—)，男，北京人，北京工業(yè)大學(xué)副教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)镽V減速器設(shè)計(jì)與檢測；通訊作者：耿紀(jì)玲(1988—)，女，河南信陽市人，北京工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)镽V減速器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，(E-mail)jlgeng@outlook.com。

*基金項(xiàng)目：北京市科技計(jì)劃項(xiàng)目(D15110400140000)

收稿日期：2015-04-24；修回日期：2015-05-18

文章編號：1001-2265(2016)03-0025-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.03.007