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變換參考系解二體問(wèn)題
——以2014年北約自主招生一道物理題為例

王 勇

【題目】真空中質(zhì)量分別為m1和m2的兩個(gè)小球，只受萬(wàn)有引力作用，某個(gè)時(shí)刻兩個(gè)小球相距l(xiāng)0，小球1的速度為v0，方向指向小球2，小球2的速度為v0，速度方向垂直兩球球心的連線(xiàn)，問(wèn)若m1=m2=m0，當(dāng)速度v0滿(mǎn)足什么條件時(shí)，兩小球的間距可以為無(wú)窮遠(yuǎn)？

解法1:慣性參考系法(質(zhì)心參考系)

解題思路：尋找慣性參考系，分析兩小球相對(duì)于慣性參考系的受力，確定兩小球在慣性參考系的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，直接運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律或能量守恒求兩小球相對(duì)慣性參考系的位移.

兩小球組成的系統(tǒng)不受外力，質(zhì)心做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，以質(zhì)心為慣性參考系.

方法1:小球1距質(zhì)心

質(zhì)心的速度

小球1相對(duì)于質(zhì)心速度為

方向如圖1所示.

圖1

小球1受力

在質(zhì)心參考系中可認(rèn)為小球1受到固定在質(zhì)心處等效質(zhì)點(diǎn)3的萬(wàn)有引力作用，等效質(zhì)點(diǎn)3的質(zhì)量

在受到與距離平方成反比的有心力作用下小球1將做圓錐曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng).同理可知小球2的運(yùn)動(dòng).

由于小球1到質(zhì)心的距離與兩小球之間的間距成比例，當(dāng)兩小球相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，即小球1距質(zhì)心(等效質(zhì)點(diǎn)3)無(wú)窮遠(yuǎn),根據(jù)能量守恒，減小的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為增加的勢(shì)能,有

代入v1x,v1y,m3,r1與r的比例關(guān)系可得

當(dāng)v1=v2=v0，m1=m2=m0，r=l0則

在質(zhì)心參考系中根據(jù)能量守恒，有

代入v1x,v1y,v2x,v2y,m3,r1與r的比例關(guān)系同樣有

解法2:非慣性參考系法

解題思路：以另一小球?yàn)榉菓T性參考系引入慣性力，分析小球相對(duì)非慣性系中受力，確定小球相對(duì)于非慣性系的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化后運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律或能量守恒求小球相對(duì)于非慣性系的位移.

方法1:以小球2為非慣性參考系，小球1受力

其中

則

小球1受到與距離平方成反比的有心力作用，將以小球2為中心做圓錐曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，中心質(zhì)點(diǎn)的等效質(zhì)量為m1+m2.

根據(jù)能量守恒，減小的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為增加的勢(shì)能,有

其中小球1相對(duì)于小球2的相對(duì)速度為

代入v12同樣有

方法2：以小球2為非慣性參考系，以小球1為研究對(duì)象根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有

F+m1a2=m1a12

其中

則

在只有萬(wàn)有引力的作用下小球1相對(duì)于固定不動(dòng)小球2做圓錐曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng),小球1的等效質(zhì)量為

根據(jù)能量守恒，減小的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為增加的勢(shì)能,有

代入m′，v12同樣有

(收稿日期：2015-10-16)

*作者簡(jiǎn)介：王勇(1978-)，男，中教高級(jí)，主要從事物理競(jìng)賽教學(xué)與研究.

(常州高級(jí)中學(xué)江蘇 常州213000)