辛大欣　劉少貞

(西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院　西安　710021)

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基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器人平滑圓弧軌跡規(guī)劃*

辛大欣劉少貞

(西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院西安710021)

摘要針對(duì)一般圓弧插補(bǔ)算法收斂性和穩(wěn)定性差,逼近效果不理想的問題,提出基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的圓弧軌跡規(guī)劃方式。論文從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度出發(fā),分析求解工業(yè)四軸機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆問題,建立其D-H數(shù)學(xué)模型和空間三維模型。通過圓弧軌跡經(jīng)過的空間三點(diǎn),求出空間圓弧的參數(shù)方程;在Matlab軟件中,仿真RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃的圓弧軌跡曲線,結(jié)果表明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所規(guī)劃軌跡平滑穩(wěn)定,收斂速度快,逼近誤差小,從而證明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)機(jī)器人軌跡規(guī)劃的可行性與必要性。

關(guān)鍵詞機(jī)器人; 軌跡規(guī)劃; 圓弧; RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

Trajectory Planning of Robotic Smooth Arc Based on RBF Neural Network

XIN DaxinLIU Shaozhen

(School of Electronics Information Engineering, Xi’an Technological University, Xi’an710021)

AbstractTo solve problem that the convergence and stability of the arc interpolation algorithm is not ideal, this paper proposes a circular trajectory planning method based on RBF neural network. From the point of view of kinematics, the normal inverse kinematics problem of four axis robot is analyzed, and the mathematical model of D-H and 3D model is established. Through the space 3 points of circular arc track, the parameter equation of space circular arc is obtained. In the Matlab software, emulating the trajectory of the circular interpolation algorithm based in RBF neural network planning, the results show that the trajectory planning of RBF neural network is smooth and stable, the convergence speed is fast and the approximation error is small. So the feasibility and necessity of RBF neural network for robot trajectory planning are proved.

Key Wordsrobot, trajectory planning, arc, RBF neural network

Class NumberTP18

1引言

機(jī)器人是一種機(jī)電一體化數(shù)字設(shè)備,是當(dāng)今工業(yè)自動(dòng)化的重要構(gòu)成部分。軌跡規(guī)劃是在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)上對(duì)機(jī)器人進(jìn)行的底層規(guī)劃,是機(jī)器人軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ),也是機(jī)器人執(zhí)行作業(yè)任務(wù)的基礎(chǔ)[1]。平穩(wěn)、快速的軌跡規(guī)劃算法對(duì)提高機(jī)器人系統(tǒng)的整個(gè)性能非常重要。

在兩個(gè)取料機(jī)器臂相互協(xié)調(diào)運(yùn)作的過程中,機(jī)器人末端過空間三點(diǎn)作圓弧運(yùn)動(dòng)。為了使機(jī)器人在一定的時(shí)間內(nèi)快速、平穩(wěn)地從初始目標(biāo)到達(dá)規(guī)定的目標(biāo)狀態(tài),需要根據(jù)機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿求解出機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)位置,從而產(chǎn)生機(jī)器臂的控制系統(tǒng)所需的輸入,使機(jī)器臂能夠執(zhí)行運(yùn)動(dòng)。常用插值方法來擬合運(yùn)動(dòng)軌跡,但是為了保證優(yōu)化精度,必會(huì)增加中間路徑點(diǎn)個(gè)數(shù),這樣函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性會(huì)變差,逼近效果不理想[2]。而徑向基函數(shù)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的函數(shù)逼近能力,通過對(duì)非線性插值節(jié)點(diǎn)的學(xué)習(xí),可以逼近任意給定的非線性函數(shù)。

2運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)是機(jī)器人學(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容,主要研究機(jī)器人工作空間內(nèi)其末端執(zhí)行器的位姿和各關(guān)節(jié)變量之間的相互關(guān)系,包括正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題[3]。本次研究的四軸機(jī)器人是四自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人,可以通過分析工業(yè)四軸機(jī)器人的系統(tǒng)結(jié)構(gòu),在其每個(gè)關(guān)節(jié)上建立一個(gè)坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)系之間的關(guān)系來描述末端執(zhí)行器的位姿[4]。

D-H法是一種建立相對(duì)位姿的矩陣方法,用齊次變換描述每一個(gè)連桿相對(duì)固定參考系的空間幾何關(guān)系,然后用一個(gè)4*4階其次變換矩陣描述相鄰兩個(gè)連桿的空間關(guān)系,從而推導(dǎo)出末端執(zhí)行器坐標(biāo)系相對(duì)于基座標(biāo)系(規(guī)定參考系)的等價(jià)其次變換矩陣,建立機(jī)器臂的運(yùn)動(dòng)方程。

機(jī)器人簡(jiǎn)易結(jié)構(gòu)圖如圖1所示,根據(jù)D-H建模法,建立四軸機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系如圖2所示,D-H連桿參數(shù)如表1所示。

圖1　機(jī)器人簡(jiǎn)易結(jié)構(gòu)圖

圖2　工業(yè)四軸機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系

連桿αaθd1000d12π/20θ2303000d3400θ440

末端執(zhí)行器的位姿可以用4*4階矩陣表示:

(1)

其中nx,ny,nz為機(jī)器人法向矢量;ox,oy,oz為方向矢量;px,py,pz為位置坐標(biāo)。

1) 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問題:已知機(jī)器人連桿長(zhǎng)度和各個(gè)關(guān)節(jié)角度,求解末端執(zhí)行器相對(duì)基坐標(biāo)。對(duì)于如圖2所示機(jī)器人運(yùn)動(dòng)關(guān)系,可由連桿i對(duì)i-1相對(duì)位置的四個(gè)齊次變換矩陣表示,將D-H連桿參數(shù)代入機(jī)器人各關(guān)節(jié)的變換矩陣,確定Ai(i=1,2,3,4)變換矩陣的值,連乘四個(gè)變換矩陣,得到機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解。

Ai=Rot(zi-1,θi)Trants(0,0,di)trants(ai,0,0)Rot(xi,αi)

(2)

運(yùn)用D-H表示法建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

T=A1A2A3A4

(3)

從而可得機(jī)器人的空間位姿值:

ax=sinθ2

ay=-cosθ2

az=0

px=(1+d3)sinθ2

py=-(1+d3)cosθ2

pz=d1

A-1T=A2A3A4

(4)

將A1的逆矩陣和A2,A3,A4代入式(4),得:

(5)

式(5)中等號(hào)左右兩邊矩陣對(duì)應(yīng)元素相等,在已知n,o,a,p情況下,便可以求出關(guān)節(jié)變量d1,θ2,d3,θ4,求得結(jié)果如下:

d1=pz

3建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖3　工業(yè)四軸機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型

利用Matlab/robotics toolbox建立機(jī)器人模型,可以有效地對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué),軌跡規(guī)劃進(jìn)行仿真[5]。通過仿真可以直觀地分析機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)情況,得到所需數(shù)據(jù)。以驗(yàn)證設(shè)計(jì)的參數(shù)是否合理,達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)。用robotics toolbox工具編寫程序,建立機(jī)器人三維模型如下:

Ll= link([0 0 0 1 1],'standard');

L2= link([pi/2 0 0 0 0],'standard');

L3= link([0 0 0 1 1],'standard');

L4= link([0 0 0 1 0],'standard');

r=robot({Ll L2 L3 L4 },'4R');

r.name='4R';

drivebot(r);

圖4　機(jī)器人滑塊控制圖

通過移動(dòng)圖4中代表關(guān)節(jié)變量的四個(gè)滑塊來驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng),它的參數(shù)確定了執(zhí)行器末端的位姿。為驗(yàn)證所建立的機(jī)器人三維模型的正確性,在機(jī)器人位姿的約束條件下,隨機(jī)選取幾組關(guān)節(jié)變量的值,分別代入機(jī)器人滑塊控制圖與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得出機(jī)器人末端設(shè)定值與實(shí)際位置信息。

四組關(guān)節(jié)變量值為

q1=[0.1280.553-1.230-0.278]

q2=[-0.1530.7251.627-0.346]

q3=[0.245-0.4681.0140.348]

q4=[0.3450.9230.992-0.572]

末端設(shè)定位置與實(shí)際位置信息比較如表2所示,Matlab具有強(qiáng)大的計(jì)算與仿真功能,通過其計(jì)算的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程結(jié)果是比較準(zhǔn)確的[6],分析表中數(shù)據(jù),其實(shí)際值與設(shè)定值誤差小,說明所建立的模型比較可靠。

表2　運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解值與滑塊設(shè)定值比較

4圓弧運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃實(shí)現(xiàn)過程

1) 圓弧插補(bǔ)算法

圖5　圓弧插補(bǔ)

軌跡規(guī)劃既可以在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行,也可以在笛卡爾空間進(jìn)行[7]。對(duì)于關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃來說,要規(guī)劃關(guān)節(jié)變量的時(shí)間函數(shù),以便描述機(jī)器人的預(yù)定任務(wù)。在笛卡爾空間規(guī)劃中,要規(guī)劃?rùn)C(jī)器人手部末端位置的時(shí)間函數(shù),而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置可根據(jù)機(jī)器人的反向運(yùn)動(dòng)學(xué)導(dǎo)出[8]。關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的方法簡(jiǎn)單,不會(huì)產(chǎn)生奇異位置,但對(duì)于軌跡有嚴(yán)格要求的,需要在笛卡爾空間規(guī)劃。

已知p1,p2,p3分別為圓弧軌跡的起始路徑點(diǎn)、中間路徑點(diǎn)以及終止路徑點(diǎn)。這三點(diǎn)組成一個(gè)平面圓弧,也就是圓弧平面與基座標(biāo)系的平面xoy重合[9]。已知不在一條直線上的此三點(diǎn)及這三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的末端執(zhí)行器的姿態(tài)。

由p1、p2、p3確定圓弧半徑R,總圓心角φ=φ1+φ2,即

(6)

在TS時(shí)間內(nèi)關(guān)節(jié)角位移量為Δθ=TSV/R,由如圖5的幾何關(guān)系,求出插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)。

總的插補(bǔ)步數(shù):

N=φ/Δθ+1

(7)

對(duì)pi+1點(diǎn)坐標(biāo),有:

(8)

從而可求得各坐標(biāo)軸的位移量:

(9)

此插補(bǔ)算法利用了圓的參數(shù)方程,整個(gè)計(jì)算過程中,具有以下特點(diǎn):

(1)由式(6)、式(8)知各插補(bǔ)點(diǎn)一定在圓弧上;

(2)以圓心角為參數(shù),步進(jìn)角θ為增量,解決了插補(bǔ)圓弧跨象限時(shí)插補(bǔ)點(diǎn)的符號(hào)判斷問題,可適應(yīng)于不同象限圓弧的插補(bǔ);

(3)sinθi和cosθi只作為中間過度量,不需要計(jì)算,從而避免了復(fù)雜的三角函數(shù)運(yùn)算,提高了運(yùn)算速度。

(4)θ為定值,其值的正負(fù)表示插補(bǔ)的方向。通常規(guī)定逆時(shí)針插補(bǔ)時(shí)為正,順時(shí)針插補(bǔ)時(shí)為負(fù)。

工業(yè)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃仿真可以詳盡、直觀描述機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)過程。為了驗(yàn)證算法的有效性,從已知的圓弧參數(shù)方程與給定的三點(diǎn),設(shè)定步長(zhǎng),獲得圓弧插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo),在Matlab中擬合仿真,得到圓弧軌跡曲線[10],但是在為了追求擬合的軌跡曲線快速,平滑,且是理想的半圓弧,必須增加插補(bǔ)點(diǎn),但是隨著插補(bǔ)點(diǎn)的增多,計(jì)算量增大,曲線的逼近效果會(huì)不理想,擬合的曲線不平滑,因此需要對(duì)插補(bǔ)點(diǎn)的擬合方法進(jìn)行優(yōu)化[11],使其快速,逼近效果理想,這就需要用到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來擬合插補(bǔ)點(diǎn)了。

2) 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軌跡規(guī)劃

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)等價(jià)于在多維空間中尋找訓(xùn)練數(shù)據(jù)的最佳擬合平面,隱層的每一個(gè)神經(jīng)元的傳遞函數(shù)都構(gòu)成擬合平面的一個(gè)基函數(shù)。與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,RBF網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模大,且學(xué)習(xí)速度,函數(shù)逼近、模式識(shí)別和分類能力更優(yōu)[12]。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種三層前向網(wǎng)絡(luò),輸入層到隱含層的基函數(shù)輸出是非線性映射,隱含層到輸出則是線性的。RBF網(wǎng)絡(luò)權(quán)值算法是單層進(jìn)行。工作原理采用聚類功能。訓(xùn)練得到輸入數(shù)據(jù)聚類中心。通過σ值,調(diào)節(jié)基函數(shù)的寬度。對(duì)輸入一組數(shù)據(jù),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只有一個(gè)神經(jīng)元被激活,忽略其它神經(jīng)元的激活程度[13]。徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)的設(shè)計(jì),有很多函數(shù)。

本次選用newrb()函數(shù)采用迭代方法有效設(shè)計(jì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),函數(shù)迭代一次,神經(jīng)元加一個(gè),直到平方和誤差下降到目標(biāo)誤差以下,或者神經(jīng)元個(gè)數(shù)達(dá)到最大。

Net=newrb(P,T,GOAL,SPREAD,MN,DF),其中GOAL是目標(biāo)誤差,MN是最大神經(jīng)元個(gè)數(shù),DF是迭代過程顯示頻率。

在Matlab仿真軟件中,將圓弧插補(bǔ)算法獲得的插值點(diǎn)坐標(biāo)作為數(shù)據(jù)樣本,給定訓(xùn)練誤差,通過大量實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)RBF中的擴(kuò)展參數(shù)以及神經(jīng)元個(gè)數(shù),用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的誤差性能曲線,并運(yùn)用仿真函數(shù)進(jìn)行曲線擬合,得到需要的圓弧軌跡及機(jī)器人四個(gè)關(guān)節(jié)變量函數(shù)曲線[14]。

5實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證該算法的有效性,在Matlab環(huán)境下實(shí)驗(yàn)仿真。試驗(yàn)中設(shè)定過圓弧軌跡的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為p1(25,0,10),p2(50,25,10),p3(75,0,10),通過圓弧參數(shù)方程,獲取插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo),用在Matlab中建立的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)其擬合,圓弧軌跡曲線如圖6所示,圖中的星號(hào)是給定的三點(diǎn)坐標(biāo),坐標(biāo)變化曲線圖7所示[15]。在擬合四個(gè)關(guān)節(jié)變量曲線時(shí),設(shè)定時(shí)間為15s,步長(zhǎng)為0.01s,,獲取150組值做樣本,設(shè)定RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差精度0.001,通過調(diào)節(jié)各參數(shù),進(jìn)行樣本訓(xùn)練,誤差訓(xùn)練性能曲線如圖8所示,仿真得出的四個(gè)關(guān)節(jié)變量曲線如圖9所示。

圖6　圓弧軌跡曲線

圖7　坐標(biāo)變化曲線

圖8　誤差性能曲線

圖9　關(guān)節(jié)變化曲線

從仿真圖中看出,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合出的圓弧曲線過給定的三點(diǎn),且確為半圓弧,軌跡光滑平順;設(shè)定的誤差,第五步就可達(dá)到要求精度,收斂速度快;各關(guān)節(jié)曲線光滑,沒有轉(zhuǎn)折點(diǎn),變化平穩(wěn),不會(huì)出現(xiàn)劇烈顫抖。

6結(jié)語

圓弧軌跡規(guī)劃是機(jī)器人控制系統(tǒng)中最基礎(chǔ)的軌跡規(guī)劃。為了克服笛卡爾空間圓弧插補(bǔ)算法收斂性和穩(wěn)定性差,逼近效果不理想的問題,本文通過對(duì)工業(yè)四軸機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問題分析求解,建立其數(shù)學(xué)模型及三維模型;利用機(jī)器人末端圓弧經(jīng)過的三點(diǎn),用笛卡爾空間圓弧插補(bǔ)算法以及RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)機(jī)器人末端圓弧軌跡進(jìn)行規(guī)劃并仿真。從軌跡仿真曲線的對(duì)比結(jié)果看出,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)克服了插補(bǔ)算法穩(wěn)定性差,擬合效果不理想的缺點(diǎn),提高了收斂速度,所規(guī)劃的圓弧軌跡平順光滑,結(jié)果達(dá)到預(yù)期效果。

參 考 文 獻(xiàn)

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中圖分類號(hào)TP18

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.03.006

作者簡(jiǎn)介:辛大欣,男,碩士,副教授,研究方向:人工智能、計(jì)算機(jī)控制。劉少貞,女,碩士研究生,研究方向:計(jì)算機(jī)控制。

收稿日期:2015年9月10日,修回日期:2015年10月31日