林　凡, 彭建設(shè), 楊　柳, 劉　雄

(1.西華大學(xué) 機械工程學(xué)院， 四川 成都　610039； 2.成都大學(xué) 機械工程學(xué)院， 四川 成都　610106)

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求解懸臂梁受迫振動的時域DQ法

林凡1, 彭建設(shè)2, 楊柳2, 劉雄1

(1.西華大學(xué) 機械工程學(xué)院， 四川 成都610039； 2.成都大學(xué) 機械工程學(xué)院， 四川 成都610106)

摘要：針對懸臂梁分別施加突加荷載F(x,t)=Q與交變荷載F(x,t)=Q·sinωt時的定解問題，提出對控制微分方程及定解條件直接進行離散求解的時域DQ法.該方法在空間域和時間域均采用離散的DQ法，得到全部離散點撓度的可解線性方程組，求解該線性方程組即可得到全域位移場.算例分析結(jié)果表明，時域DQ法比有限元法速度快且精度高.

關(guān)鍵詞：懸臂梁；定解問題；時域DQ法；受迫振動

0引言

傳統(tǒng)的對梁振動問題的數(shù)值計算一般都采用在空間域做有限元離散，且在時間域差分的方法.這種方法需把所經(jīng)歷的時間域分成遞推求解，每一步遞推都要對所給定的空間域解一次穩(wěn)定問題.為了解的穩(wěn)定性和精度，時間步長往往必須取得很短，網(wǎng)絡(luò)也必須劃得較細，這樣使得求解較為繁瑣，大大影響了計算效率.

DQ法(Differential Quadrature Method)是Bellman等[1]于1969年提出的一種求解偏微分方程的數(shù)值解法.該算法數(shù)學(xué)推理簡單，計算過程易于編程，計算成本低，計算精度高，在相關(guān)領(lǐng)域得到了較廣泛的應(yīng)用[2-3].

本研究針對2種不同策動力作用下懸臂梁的受迫振動響應(yīng)問題，直接從控制微分方程出發(fā)提出了求解策動力下動力學(xué)定解問題的時域DQ法.該方法對控制方程及其邊界條件在空間域和時間域都應(yīng)用DQ法，得到全域內(nèi)離散點撓度的線性方程組，通過求解方程組，便能得到全域內(nèi)的梁振動位移響應(yīng)場.

1時域DQ法求解控制方程

受迫振動懸臂梁的控制微分方程為，

(1)

式中，w為懸臂梁小撓度，x為軸向自變量，t為時間自變量，E為彈性模量，I為橫截面轉(zhuǎn)動慣量，m為單位長度質(zhì)量，F(xiàn)為梁橫向荷載.

(2)

式中，L為懸臂梁的長度，T為時間域長.

在梁的空間域內(nèi)取NX個節(jié)點，時間域內(nèi)取Nτ個節(jié)點，即全域內(nèi)有NX×Nτ個節(jié)點.由DQ法的基本原理[4]知，撓度w對空間X和時間τ的各高階偏導(dǎo)數(shù)在無量綱坐標(biāo)(Xi,τj)處的函數(shù)值可以用全域內(nèi)各節(jié)點值的加權(quán)和表示，即任意節(jié)點(Xi,τj)處的n(自然數(shù))階偏導(dǎo)數(shù)可表示為，

(3)

(4)

由式(3)、(4)代入式(2)得全域內(nèi)關(guān)于控制方程的時域DQ線性方程組，

(5)

式中，i=1,2,…，NX；j=1,2,…，Nτ.

易知，在全域內(nèi)有NX×Nτ個關(guān)于控制方程的時域DQ線性方程組，式(5)的矩陣形式為，

[C]·{w}={F}

(6)

式中，{w}為全域內(nèi)節(jié)點(Xi,τj)處梁撓度w(Xi,τj)組成的NX×Nτ行、1列矩陣，[C]為NX×Nτ行、NX×Nτ列的權(quán)系數(shù)矩陣，{F}為NX×Nτ行、1列的廣義荷載列陣.

為求解時域DQ線性方程組式(5)，還需確定其定解條件.對懸臂梁，利用在任意時間節(jié)點τj(j=1,2,,…，Nτ)處，梁的兩端點都有4個邊界條件方程，則全域內(nèi)共有4Nτ個邊界條件方程.

(7)

(8)

式中，i=1,2,…，NX.

用式(7)的4Nτ個邊界條件時域DQ法方程和式(8)的2NX個初始條件時域DQ法方程，分別代替式(5)中的i=1,2,NX-1,NX(j=1,2,…，Nτ)，j=1,2(i=1,2,…，NX)時表示的時域DQ法方程，將定解條件融入到可解線性方程組式(5)，即得到式(6)的系數(shù)矩陣[C]和荷載列{F}，從而求解式(6)可得到全域內(nèi)已知節(jié)點處的撓度列陣{w}.于是，全域內(nèi)的位移場可由Lagrange插值得到，

(9)

至此，全域內(nèi)的時程響應(yīng)已經(jīng)得到.

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)DQ法可以進一步求得已知各節(jié)點處的速度和加速度，即，

(10)

(11)

利用求出的{w}以及式(10)和式(11),采用高階Lagrange插值,可以得到全域內(nèi)的速度和加速度分別為，

(12)

(13)

同理，由薄板在全域內(nèi)的應(yīng)力場表達式[7]，

(14)

得到懸臂梁在全域內(nèi)的應(yīng)力場表達式為，

(15)

式中，μ為泊松比，z為懸臂梁撓度方向自變量，設(shè)為已知量.

根據(jù)式(9)，可求得已知節(jié)點(Xi,τj)處的應(yīng)力為，

(16)

再采用高階Lagrange插值,可得全域內(nèi)的應(yīng)力場表達式，

(17)

對式(9)、(12)中τ=1時的值，可作為下一時域段的初始條件，再按照前述方法,可求得下一時域段的動力響應(yīng)和應(yīng)力場.如此往復(fù),即可求得任意時刻懸臂梁振動的時程響應(yīng)和應(yīng)力場.

2算例分析與討論

2.1算例分析

例1左端固定右端自由懸臂梁，長50cm，截面高2cm，寬1cm，彈性模量E=15 000 000N/cm2，質(zhì)量密度ρ=0.008kg/cm3.初始位移和初始速度均為0，在梁上作用突加荷載F(x,t)=10N/cm，求自由端的位移響應(yīng).

例2同例1幾何物理參數(shù)相同的懸臂梁,在梁上作用交變荷載F(x,t)=10sin500tN/cm，求自由端的位移響應(yīng).

對上述2個算例，本研究分別采用時域DQ法和有限元法進行求解，其中，有限元(Ansys 14.0)單元類型為solid185.2種算法的時間域區(qū)間長度都取0.3 s，全域內(nèi)具體節(jié)點數(shù)的選取如表1所示.圖1和圖2為采用以上2種算法求解算例的數(shù)值解與精確解的位移響應(yīng)匯總圖.

表1　2種數(shù)值解法在全域內(nèi)的節(jié)點數(shù)

圖1算例1的時間——位移響應(yīng)

圖2算例2的時間——位移響應(yīng)

需說明的是，時域DQ法是一維數(shù)學(xué)模型，空間域取梁長方向；有限元(Ansys14.0)是三維數(shù)學(xué)模型，空間域為長×寬×高，所以2種方法在比較空間域節(jié)點數(shù)時只討論梁長方向.

2.2討論

對于算例1，從表1和圖1可知，在空間域(指梁長方向，下同)節(jié)點數(shù)都為31，時間域節(jié)點數(shù)都為120時，時域DQ法的精度明顯比Ansys1好很多；僅當(dāng)有限元的時間域節(jié)點數(shù)增加到4倍于Ansys1時，Ansys2的精度較Ansys1幾乎沒有改善；僅當(dāng)有限元的空間域節(jié)點數(shù)增加到3倍于Ansys1時，Ansys3的精度與時域DQ一樣有很好的精度.同樣，從表1和圖2，算例2也可得出與算例1相同的結(jié)論.

3結(jié)語

從本研究的分析與計算過程看，時域DQ法原理簡單，且易于編程實現(xiàn)計算.因此，在求解動力學(xué)問題方面，時域DQ法計算精度和計算效率都大大優(yōu)于有限元法.

參考文獻：

[1]Bellman R，Casti J.Differentialquadratureandlong-termintegration[J].J Math Anal Appl，1969,34(2)：235-238.

[2]Bert C W,Malik M.Differentialquadraturemethodincomputationalmechanics:areview[J].Appl Mech Rev,1995,49(1):1-27.

[3]Chen W,Zhong T.Differentialquadraturemethodanditsapplicationsinengineering[D].Shanghai:Shanghai Jiaotong University,1996.

[4]Peng Jianshe，Zhang Ying，Yang Jie.DQspace-timesemi-analyticmethodofdynamicsinitial-boundaryvalueproblemsunderalternateforce[J].Chin J Comput Phys，2000，17(2):54-58.

[5]張曉丹.應(yīng)用計算方法教程[M].北京：機械工業(yè)出版社，2008.

[6]徐次達，陳學(xué)潮，鄭瑞芳，等.新計算力學(xué)加權(quán)殘值法——原理、方法及應(yīng)用[M].上海：同濟大學(xué)出版社，1997.

[7]徐芝綸.彈性力學(xué)(下)[M].北京：高等教育出版社，2006.

Forced Vibration of Cantilever Beams by Time-domain Differential Quadrature

LINFan1,PENGJianshe2,YANGLiu2,LIUXiong1

(1.School of Mechanical Engineering, Xihua University, Chengdu 610039, China;2.School of Mechanical Engineering, Chengdu University, Chengdu 610106, China)

Abstract:Aiming at the definite solution problems for suddenly applied load and alternative load put on cantilever beams,a time-domain DQ(differential quadrature) method is presented in this paper which directly makes discrete solution to governing partial differential equation and definite condition.This method adopts discrete DQ both in space domain and time domain and obtains the system of linear equations of all the discrete point deflection.Solving this system of linear equations can obtain the whole domain displacement-field.The numerical examples show that the computational accuracy and efficiency of time-domain DQ method are better than that of finite element method.

Key words:cantilever beam;definite solution problems;time-domain DQ method;forced vibration

中圖分類號：O302；O175.2

文獻標(biāo)志碼：A

作者簡介：林凡(1989 — )， 男， 碩士研究生， 從事計算固體力學(xué)研究.

收稿日期：2016-01-25.

文章編號：1004-5422(2016)01-0034-04