李　巍，金　鑫，任順清（.哈爾濱理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱50030；.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱5000）

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半球諧振陀螺儀頻率裂解及固有剛性軸的測(cè)試方法

李巍1*，金鑫1，任順清2
（1.哈爾濱理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱150030；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱150001）

摘要：半球諧振陀螺儀以其壽命長(zhǎng)、可靠性高、體積小、重量輕、精度高而且可微型化的優(yōu)點(diǎn)將在衛(wèi)星、潛艇等導(dǎo)航領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。對(duì)半球諧振陀螺儀的而言，頻率裂解值與固有剛性軸的位置是其關(guān)鍵的技術(shù)指標(biāo)，因此設(shè)計(jì)測(cè)試方案對(duì)其進(jìn)行精確測(cè)試是十分必要的。根據(jù)陀螺儀工作原理，從理論角度進(jìn)行了推導(dǎo)，建立存在頻率裂解及與固有剛性軸不重合時(shí)諧振子的運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)研究主駐波及輔助波的表達(dá)式，進(jìn)而得到了振動(dòng)位移的精確表達(dá)式，最后設(shè)計(jì)了在固定位置安裝兩組激勵(lì)電極以及兩組位移傳感器對(duì)頻率裂解以及固有剛性軸位置進(jìn)行測(cè)試的測(cè)試方案，并給出了最佳的測(cè)試時(shí)間。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)航；半球諧振陀螺儀；頻率裂解；固有剛性軸；電極；位移傳感器

半球諧振陀螺是目前精度最高的哥氏振動(dòng)陀螺，與傳統(tǒng)陀螺相比，在結(jié)構(gòu)上不存在高速轉(zhuǎn)子和活動(dòng)支承，它的穩(wěn)定性好、噪聲低、分辨力高、壽命長(zhǎng)、可靠性高，具有抗核輻射等功能，在衛(wèi)星，星際航行中有著廣闊的應(yīng)用前景，因此受到慣性技術(shù)界的極大關(guān)注［1-6］。

上世紀(jì)80年代～90年代，我國(guó)開(kāi)始了半球諧振陀螺儀的理論研究。十·五期間，中電集團(tuán)二十六所成功研制出半球諧振陀螺儀樣機(jī)，十一·五期間研制的產(chǎn)品在性能上有了很大改進(jìn)，在此基礎(chǔ)上，國(guó)內(nèi)半球諧振陀螺儀的研究及應(yīng)用逐步興起，對(duì)半球諧振陀螺儀的信號(hào)檢測(cè)技術(shù)、誤差分析、控制技術(shù)等進(jìn)行了廣泛研究［7-12］。

如果陀螺儀振型的方位與固有剛性軸之一的方位重合，那么振型將是駐波，否則，振型將發(fā)生進(jìn)動(dòng)，從而影響陀螺儀的精度，如果頻率裂解值過(guò)大，也將對(duì)陀螺儀的精度產(chǎn)生影響［13-15］。目前，對(duì)于頻率裂解值以及固有剛性軸的測(cè)試問(wèn)題進(jìn)行研究的文獻(xiàn)較少，而且所設(shè)計(jì)的測(cè)試方案比較復(fù)雜［16］，因此，為了達(dá)到提高陀螺精度的目的，對(duì)頻率裂解值以及固有剛性軸的方位進(jìn)行精確且相對(duì)簡(jiǎn)單測(cè)試是十分必要的。

本文將針對(duì)頻率裂解值和剛性軸位置的測(cè)試進(jìn)行研究。

1　固有剛性軸與頻率裂解介紹

對(duì)固態(tài)波陀螺諧振子中駐波特性產(chǎn)生最實(shí)質(zhì)性影響的是諸如密度、楊氏模量、薄殼的壁厚等參數(shù)的不均勻性的傅里葉展開(kāi)式的第四次諧波。偏差四次諧波的存在導(dǎo)致諧振子中出現(xiàn)兩個(gè)相互間展成45°的兩個(gè)固有軸系，諧振子沿這兩個(gè)軸中的每個(gè)軸振動(dòng)的固有頻率都能達(dá)到極大和極小值如圖圖1所示。極大值和極小的頻率差稱作固有頻率的裂解：

ω2-ω1=Δ（1）

固有頻率較小的固有軸稱為“重的”；固有頻率較大的軸稱為“輕的”。在固有軸方面還有一個(gè)術(shù)語(yǔ)：大固有頻率的軸稱為大剛度軸，小固有頻率的軸稱為小剛度軸。使用“重量的”還是“剛性的”術(shù)語(yǔ)來(lái)稱呼取決于所描述的物理過(guò)程是怎樣的。

駐波將隨著時(shí)間而破壞，諧振子中的振動(dòng)過(guò)程可以表示為帶各種頻率的兩個(gè)諧波振動(dòng)和形式。

圖1　固有剛性軸

2　存在頻率裂解及不對(duì)準(zhǔn)固有剛性軸時(shí)諧振子的運(yùn)動(dòng)方程

通常采用的諧振子位置式激勵(lì)原理圖如圖2所示，其中，X為一對(duì)激勵(lì)電極，Y為位移傳感器，當(dāng)激勵(lì)電極X激勵(lì)出的波時(shí)，位移傳感器Y用來(lái)測(cè)量節(jié)點(diǎn)處駐波的振動(dòng)，兩者之間夾角為45°。

圖2　位置激勵(lì)的原理圖

首先，激勵(lì)電極X通電，激勵(lì)出振型，然后切斷激勵(lì)電極X的電壓，激勵(lì)波處于自由振動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)諧振子的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：?0為波相對(duì)固有剛性軸的方位。取諧振子固有頻率w0，使得ω1<ω0<ω2，令：

則式（2）變?yōu)椋?/p>

設(shè)式（3）的系數(shù)矩陣為P，根據(jù)式（3）則P的行列式：

當(dāng)det P=0時(shí)，式（3）表示的過(guò)程為駐波。根據(jù)式（4）只有當(dāng)φ0=0,π 4，振型的初始方位與某一固有剛性軸的方位重合時(shí)，波動(dòng)過(guò)程才為駐波；只有當(dāng)研究波動(dòng)過(guò)程的時(shí)間t滿足：Δt?1時(shí)，式（4）才“幾乎”滿足駐波條件，此時(shí)的波動(dòng)過(guò)程可以看做兩個(gè)按圓周角和瞬時(shí)相位相互正交的駐波耦合。此時(shí)令參數(shù)a為：

式中：I2(P)=a2+b2+m2+n2。

P可表示為

矩陣X，Y分別為兩個(gè)駐波的系數(shù)矩陣，且有detX=detY=0，以X為系數(shù)矩陣的主駐波，以Y為系數(shù)矩陣的輔駐波。

可知如果主駐波是式（2）表示的波動(dòng)過(guò)程的最佳逼近，根據(jù)式（6），則有

式中：O(α2)為接近0的高階小量。

根據(jù)式（6），I2(P)可表示成以下形式：

式中：α2I2(Y)為2階小量。

根據(jù)式（7）以及式（8），如果式（7）成立，那么有下面關(guān)系：

設(shè)存在矩陣S，使Y=S-1XS，為滿足式（5-45），S取以下形式：

根據(jù)式（10），式（8）可改寫成以下的形式

改寫式（11）

式（12）按a的線性逼近，：

根據(jù)式（13），可以確定稱輔駐波的系數(shù)矩陣Y的形式為

根據(jù)式（4）和式（5），得到

設(shè)主駐波的系數(shù)矩陣X為

根據(jù)式（13），式（14）以及式（4），得到主駐波的矩陣X的系數(shù)a，b，m，n：

主駐波形式的為：

考慮到Δ1t?1和Δ2t?1，而a值有與Δ1，Δ2值相同的階，故而舍去a與Δ1，Δ2的乘積項(xiàng)，只保留a的一次項(xiàng)，得到：

基本變換后可寫成表達(dá)式：

或

式中，ω*=ω1cos2(2φ0)+ω2[sin2(2φ0)]

根據(jù)式（18）進(jìn)一步得到輔駐波的表達(dá)式：

綜上，振動(dòng)位移表達(dá)式（2），可表示為：

從式（20）可以看出，對(duì)于單點(diǎn)位置激勵(lì)，諧振子的運(yùn)動(dòng)方程中包含了固有剛性軸位置及頻率裂解的相關(guān)量，將會(huì)對(duì)陀螺儀的精度產(chǎn)生影響，因此對(duì)其進(jìn)行測(cè)試是十分必要的。

3　頻率裂解及固有剛性軸的測(cè)試方法

根據(jù)前面的分析，設(shè)計(jì)了一種雙激勵(lì)電極雙位移傳感器的測(cè)試方案。所提出的頻率裂解值和固有剛性軸位置測(cè)試圖如圖3所示，其中A、B分別為一對(duì)激勵(lì)電極，C、D分別為位移傳感器，設(shè)激勵(lì)電極B處為0度，角度沿順時(shí)針?lè)较?，電極A與電極B以及位移傳感器C、D之間的夾角都為22.5°，j4為距離位移傳感器D最近的固有剛性軸的角度。當(dāng)激勵(lì)電極A激勵(lì)出的波時(shí)，位移傳感器C用來(lái)測(cè)量節(jié)點(diǎn)處駐波的振動(dòng)，另一個(gè)位移傳感器D用于測(cè)量激勵(lì)電極B激勵(lì)的駐波在節(jié)點(diǎn)處的振動(dòng)。

圖3　頻率裂解值和固有剛性軸位置測(cè)量圖

利用位移傳感器C來(lái)檢測(cè)節(jié)點(diǎn)處信號(hào)的位移，以固有剛性軸位置為基準(zhǔn)，以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，則節(jié)點(diǎn)處j0以及j相應(yīng)值為

將式（21）代入到式（20）中，C處的波動(dòng)過(guò)程可以表示以下形式

則位移傳感器C處檢測(cè)的信號(hào)幅值為

可將幅值A(chǔ)表示為如下形式

式中：A0為激勵(lì)波的常值幅值；t表示切斷激勵(lì)電極后至采樣時(shí)刻的時(shí)間（s）；

根據(jù)式（24），式（23）可改寫為：

同理，接通激勵(lì)電極B，激勵(lì)出振型后，切斷激勵(lì)電極B的電壓，此時(shí)位移傳感器D檢測(cè)到的信號(hào)為

根據(jù)式（25）以及式（26）可以看出檢測(cè)得到信號(hào)的幅值是與檢測(cè)時(shí)間有關(guān)的，因此得到最好的辨識(shí)效果，需要在信號(hào)幅值最大的時(shí)刻進(jìn)行檢測(cè)，圖3為信號(hào)幅值隨時(shí)間變化曲線圖。由圖4可見(jiàn)當(dāng)采樣時(shí)間t=64 s時(shí)，位移傳感器檢測(cè)到的信號(hào)幅值最大。

圖4　信號(hào)幅值隨時(shí)間變化趨勢(shì)圖

根據(jù)式（25）以及式（26）得到，頻率裂解值以及固有剛性軸位置的數(shù)學(xué)計(jì)算公式分別為：

式中，采樣時(shí)間t為64 s。

由式（27）、式（28）可以看出，當(dāng)采用設(shè)計(jì)的測(cè)試方案時(shí)，只需要采集兩個(gè)位置傳感器的輸出信號(hào)，就可以得到頻率裂解與固有剛性軸的精確數(shù)值。

因此，可以利用兩組激勵(lì)電極和位移傳感器，根據(jù)式（27）及式（28）對(duì)半球諧振陀螺儀的頻率裂解值以及固有剛性軸的位置進(jìn)行測(cè)試計(jì)算。相對(duì)于中所選用的16電極測(cè)試方案［15］，本文設(shè)計(jì)測(cè)試方案只使用了兩組激勵(lì)電極和兩個(gè)位移傳感器，更加簡(jiǎn)單有效。

4　結(jié)論

設(shè)計(jì)了半球諧振陀螺儀的頻率裂解值以及固有剛性軸位置的測(cè)試方案，并給出了試驗(yàn)的最佳采樣時(shí)刻。設(shè)計(jì)試驗(yàn)對(duì)半球諧振陀螺儀的技術(shù)指標(biāo)的測(cè)試是十分有意義的，可以對(duì)半球諧振陀螺儀的性能有更加直觀的了解，也為提高陀螺儀的精度進(jìn)行補(bǔ)償提高了相應(yīng)的理論依據(jù)。

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李巍（1982-），男，博士，畢業(yè)于哈爾濱工業(yè)大學(xué)，講師，哈爾濱理工大學(xué)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，參加多項(xiàng)省部級(jí)課題項(xiàng)目，研究方向?yàn)榫軝z測(cè)技術(shù)，曾以第一作者發(fā)表多篇學(xué)術(shù)論文被工程索引（EI）等國(guó)際檢索機(jī)構(gòu)收錄，leenwei901@163.com。

Measurement of Frequency Splitting and Inherent Rigidity Shaft of Hemispherical Resonator Gyro

LI Wei1，JIN Xin1，REN Shunqing2
（1.School of Automation，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150030，China；2.Space Control and Inertial Technology Research Center，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Abstract：Hemispherical resonator gyro（HRG）has a wide application prospect in fields of satellite，submarine etc，which has the features of high precision reliability，long life span，small volume，light-weight，high-precision and be?ing miniaturized. Frequency splitting and inherent rigidity shaft are very important specification for HRG，therefore，it is necessary to design the measurement to identify that. According to the operational principle of the gyroscope，the radial vibration equation of resonator is established while the frequency splitting and inherent rigidity shaft are taken into account，by studying the expression of the main wave and auxiliary wave，the exact expression of vibra?tion displacement is given，the measurement and identification method of frequency splitting and inherent rigidity shaft using two groups of electrodes and displacement sensors was designed，and the optimal sample time was given too at last.

Key words：navigation；hemispherical resonator gyro；frequency splitting；inherent rigidity shaft；actuator；displace?ment sensor

doi：EEACC：063010.3969/j.issn.1004-1699.2016.03.006

收稿日期：2015-09-09修改日期：2015-11-23

中圖分類號(hào)：V249.32

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-1699（2016）03-0338-05