顧治華，朱雪芬，吳曉平，2*，陳道錢（.浙江農(nóng)林大學(xué)信息工程學(xué)院，浙江臨安3300；2.浙江省林業(yè)智能監(jiān)測與信息技術(shù)研究重點實驗室，浙江臨安3300）

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一種傳感網(wǎng)時間同步和定位的聯(lián)合線性估計方法*

顧治華1，朱雪芬1，吳曉平1，2*，陳道錢1
（1.浙江農(nóng)林大學(xué)信息工程學(xué)院，浙江臨安311300；2.浙江省林業(yè)智能監(jiān)測與信息技術(shù)研究重點實驗室，浙江臨安311300）

摘要：采用時間測量以估計節(jié)點位置的方法實現(xiàn)簡單，在傳感網(wǎng)中得到了廣泛的使用。然而節(jié)點計時時鐘存在漂移和偏離，導(dǎo)致時間測量不準確。為此文本以節(jié)點時鐘漂移和偏離模型為基礎(chǔ)，提出了一種時間同步和節(jié)點定位的聯(lián)合線性估計方法，包括最小平方（LS）及權(quán)重最小平方（WLS）方法。仿真測試了所設(shè)計算法的運行時間，分析了噪聲對聯(lián)合估計方法的估計誤差影響。結(jié)果表明，LS及WLS線性估計方法運算速度較半正定（SDP）算法快，在低噪聲條件下LS及WLS線性估計方法具有較高的穩(wěn)定性和定位精度。

關(guān)鍵詞：傳感網(wǎng)；定位；時間同步；到達時間

項目來源：國家自然科學(xué)基金項目（61190114，61303236）；浙江省自然科學(xué)基金項目（LY16F020036）；浙江農(nóng)林大學(xué)人才啟動項目（2013FR086）；浙江省科技計劃項目重大科技專項項目（2012C13011-1）

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)（簡稱傳感網(wǎng)）是通過將大量具有傳感器單元、數(shù)據(jù)處理單元及通信模塊的微小智能節(jié)點密集地散布在感知區(qū)域，節(jié)點間以自組織方式構(gòu)成的無線通信網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點傳感信息的采集在大多數(shù)情況下都與節(jié)點所處的地理位置相聯(lián)系才有意義，因此國內(nèi)外的眾多專家學(xué)者已經(jīng)開展了很多無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位方面的研究［1-2］。根據(jù)節(jié)點在定位過程中是否需要直接測距，可將定位方法分為非測距和測距的定位方法。非測距定位方法以節(jié)點間連通性、網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)估計節(jié)點間距離，并以此來定位未知節(jié)點。但由于非測距方法的節(jié)點間距離估計誤差較大，定位精度也較低，在定位精度要求較高的場合下難以適用。測距定位方法依賴于節(jié)點間精準的測量距離，常用的測量距離方法包括到達時間（TOA）［3-4］、到達時間差（TDOA）［5］、無線信號接收強度（RSS）［6-7］及能量強度［8］等。由于TOA測距方法實現(xiàn)原理較簡單，成本低，在眾多的定位系統(tǒng)中都得到了廣泛的應(yīng)用。

已有大量關(guān)于傳感網(wǎng)的定位算法，如極大似然（ML）估計［8］、線性代數(shù)估計法［9］及凸優(yōu)化［10-12］等實現(xiàn)方法。ML估計方法在弱噪聲范圍內(nèi)，具有較好的定位精度。但其數(shù)值計算方法依賴于初始解的選擇，若初始解選擇不合適，有可能陷入局部最優(yōu)，為此提出了凸優(yōu)化及線性代數(shù)法等其它方法。凸優(yōu)化方法包括半正定（SDP）［10- 11］和二階錐規(guī)劃（SOCP）［12］將優(yōu)化模型松弛為凸優(yōu)化問題，是當(dāng)前傳感網(wǎng)定位方法中比較流行的一種方法。凸優(yōu)化方法的求解不依賴于初始化過程，但由于凸優(yōu)化函數(shù)中具有較多的變量和等式約束，計算復(fù)雜度較高。為降低計算復(fù)雜度，線性代數(shù)法將計算結(jié)果直接表示為代數(shù)解，避免了初始解的選擇問題，計算過程也較快，但對強噪聲環(huán)境下的抗干擾能力較弱。

采用TOA建立節(jié)點間距離約束關(guān)系以估計節(jié)點位置坐標的方法與時間測量有關(guān)。然而由于初始化或環(huán)境因素變化有可能導(dǎo)致節(jié)點計時時鐘失步，導(dǎo)致測量時間的不準確，為此提出了時間同步和定位的聯(lián)合計算方法。如文獻［13］采用多個天線接收器，提出了節(jié)點時鐘偏離和目標位置的聯(lián)合估計方法，實現(xiàn)了時間同步和定位的聯(lián)合計算?？紤]節(jié)點的時鐘漂移的偏離模型，一種期望最大化（EM）方法［14］被設(shè)計用來聯(lián)合估計時鐘同步參數(shù)及未知節(jié)點位置坐標。假設(shè)所有信標節(jié)點的時鐘是同步的，而未知節(jié)點存在時鐘漂移和偏離，文獻［15］提出了基于SDP方法的未知節(jié)點的目標位置以及時間同步的聯(lián)合代數(shù)計算方法。

本文首先根據(jù)節(jié)點間來回信號傳遞的計時時鐘模型，推導(dǎo)了觀測時間與實際時間的關(guān)系，并以此建立了時間同步和定位的聯(lián)合估計方程。以節(jié)點時鐘漂移和偏離模型為基礎(chǔ)，提出了一種時間同步和節(jié)點定位的聯(lián)合線性估計方法，實現(xiàn)節(jié)點時鐘漂移率、偏離量和位置坐標的同時估計。本文第1部分首先介紹了定位及時間同步問題描述；第2部分建立了時間同步和定位的聯(lián)合估計方程；第3部分詳細推導(dǎo)了聯(lián)合線性估計方法的實現(xiàn)過程；第4部分為仿真與分析；最后部分為結(jié)論。

1　問題描述

假設(shè)在二維坐標平面上分布著M個未知位置坐標的節(jié)點（簡稱為未知節(jié)點），其位置坐標分別為xi=[xiyi]T，（i=1,2,?,M）。同時在該區(qū)域內(nèi)存在N個已知位置坐標的信標節(jié)點，其位置坐標分別為xj=[xjyj]T，(j=M+1,M+2,?,M+N)。為估計未知節(jié)點位置坐標，未知節(jié)點i與信標節(jié)點j間測量信號到達時間（TOA）以建立距離約束關(guān)系。然而由于節(jié)點所處環(huán)境參數(shù)、初始化等原因使得節(jié)點計時時鐘失步，引起節(jié)點觀測時間與實際時間不一致。若直接使用觀測時間估計未知節(jié)點位置坐標，將會使節(jié)點位置坐標估計發(fā)生嚴重錯誤。

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點時鐘失步的主要原因來自三個方面：①溫度、壓力、電源電壓等環(huán)境因素的變化導(dǎo)致的節(jié)點時鐘漂移；②為節(jié)省能耗，節(jié)點不斷切換工作狀態(tài)，頻繁初始化導(dǎo)致時鐘初始值存在差異；③特殊事件處理對時鐘的影響，如時鐘中斷引起的時鐘誤差。綜合上述三個因素，本文采用漂移和偏離的時鐘計時模型，建立觀測時間與實際時間的相互關(guān)系。假設(shè)ωi為時鐘漂移率，表示了節(jié)點i上觀測時間與實際時間的時間變化率，θi為時鐘偏離量，表示了觀測時間與實際時間在同一時刻的時間差。將節(jié)點i的觀測時間Ti與實際時間t表示為以下關(guān)系式

2　時間同步和定位的聯(lián)合估計方程

圖1繪出了未知節(jié)點i與信標節(jié)點j間的TOA測量時間與實際時間的關(guān)系。未知節(jié)點i在Ti,j時刻（Ti,j為節(jié)點i時鐘的觀測時間）發(fā)送信號給信標節(jié)點j，節(jié)點j在Ri,j時刻（Ri,j為節(jié)點j時鐘的觀測時間）收到節(jié)點i的信號，根據(jù)式（1）有以下關(guān)系式

式中，ti,j為節(jié)點間信號到達時間，ti,j=di,j/c，di,j為節(jié)點間距離，c為信號傳播速度，如電磁波傳播速度c=3×108m/s。εi,j表示了未知節(jié)點i與信標節(jié)點j間的時間測量噪聲，可以假設(shè)εi,j服從均值為零，方差為δ2i,j的高斯分布。

當(dāng)信標節(jié)點j收到未知節(jié)點i的信號之后，節(jié)點j又在T?i,j時刻（T?i,j為節(jié)點j時鐘的觀測時間）發(fā)送信號給節(jié)點i，節(jié)點i在R?i,j時刻（R?i,j為節(jié)點i時鐘的觀測時間），同式（2）的類似推導(dǎo)過程，有

式中，ti,j的定義同式（2），ε?i,j亦為噪聲部分，假設(shè)ε?i,j服從均值為零，方差為δ?2i,j的高斯分布。

圖1　TOA的測量時間與實際時間關(guān)系

為了聯(lián)合估計時間同步參數(shù)和節(jié)點位置坐標，本模型假設(shè)未知節(jié)點的時鐘參數(shù)是經(jīng)過校準的，即時鐘參數(shù)ωi、θi（i=1,2,?,M）及信標節(jié)點的位置坐標xj(j=M+1,M+2,?,M+N)為已知值，而信標節(jié)點時鐘同步參數(shù)包括漂移率ωj、偏移量θj(j=M+1,M+2,?,M+N)為未知參數(shù)，即通過ωi、θi(i=1,2,?,M)與xj(j=M+1,M+2,?,M+N)聯(lián)合估計未知參數(shù)xi(i=1,2,?,M)及ωj、θj(j= M+1,M+2,?,M+N)。

3　聯(lián)合線性估計方法

3.1估計方法推導(dǎo)過程

將式（2）及（3）相加，可消去公共項，有

由于ωj非常接近于1，可假設(shè)ωj=，δj為接近于零的變量，j=M+1,M+2,?,M+N。故式（4）可以改寫為

式（5）中，i,j=Ri,j-T?i,j+，λi,j=Ri,j-T?i,j。由于ti,j=且di,j=，對式（5）兩邊平方，忽略二次高階項，經(jīng)整理有表達式

式（6）中，i=1,2,?,M，j=M+1,M+2,?,M+N。令，依照i、j從小到大的順序，將所有節(jié)點間的連接表達式（6）寫成矩陣形式

由式（6）判斷，式（7）中矩陣A的行向量值為[01×3(i-1)8xj8yj-4 01×3(M-i)+j-12c2λi,jτi,j01×(N-j)]， b及噪聲α的行元素值為， [c2di,j(εi,j+ε?i,j)]。假設(shè)M個未知節(jié)點與N個信標節(jié)點間共存在L個時間測量連接，則有A∈RL×(3M+N)，b∈RL×1，α∈RL×1。

根據(jù)線性最小二乘法原理，未知參數(shù)η的無偏估計值為

式中維度為L×L的矩陣Σα=E(αTα)，其值為

式中，di,j為未知參數(shù)，可預(yù)先設(shè)置Σα為單位矩陣，以式（8）近似估計未知節(jié)點位置坐標，此算法的所有測量連接的權(quán)重值都相等，稱為最小平方（LS）算法。然后以LS算法的近似估計值計算di,j，再以式（9）重新計算Σα及η，將此過程稱之為權(quán)重最小平方（WLS）算法。根據(jù)參數(shù)η的定義，可從估計值η提取出未知節(jié)點位置坐標及信標節(jié)點的時間漂移率，

式（10）計算出了未知節(jié)點位置坐標估計值xi及信標節(jié)點的時鐘漂移率ωj。為完整地表述時間同步參數(shù)，下面推導(dǎo)偏移量θj參數(shù)估計過程。將式（2）減去式（3），有以下表達式

由ωj=，忽略誤差項，由式（11）得到

式中，νi,j=Ri,j+T?i,j-，μi,j=Ri,j+T?i,j， j=M+1,M+2,?,M+N，再次依照i、j從小到大的順序，將所有節(jié)點間的連接表達式（12）寫成矩陣形式

3.2算法實現(xiàn)流程

①根據(jù)矩陣A、向量b的定義，表示出A、b的值，A∈RL×(3M+N)，b∈RL×1。

②預(yù)先設(shè)置Σα為單位矩陣，以式（8）近似估計未知節(jié)點位置坐標，得到LS算法的估計結(jié)果。

③以LS算法的估計值近似計算出di,j及Σα，再根據(jù)WLS算法，由式（8）再次估計向量η。

④從η中提取出未知節(jié)點位置坐標的估計值xi及信標的時間漂移率ωj。

⑤根據(jù)矩陣G、向量h的定義，表示出G、h的值，G∈RL×(2M+N)，h∈RL×1。

⑥由式（14）估計信標節(jié)點的時間偏移量θ。

4　仿真分析

假設(shè)所有未知節(jié)點是時間同步而信標節(jié)點存在時間漂移，本文提出了一種時間同步和定位的聯(lián)合線性估計方法。為驗證所設(shè)計算法的性能，將所提出的算法與文獻［15］所提出的SDP算法進行了運行時間、估計精度兩方面的比較。文中所提出的聯(lián)合線性估計方法及SDP算法均采用MATLAB軟件進行了仿真，且凸優(yōu)化SDP算法采用CVX工具箱下的SeDuMi求解器計算。

4.1算法的平均運行時間

在20 m×20 m的二維區(qū)域平面上，預(yù)先將五個信標節(jié)點位置分別設(shè)置在（0，0），（0，20），（20，0），（20，20），（10，10）點，并隨機生成M個未知節(jié)點。假設(shè)未知節(jié)點與每個信標節(jié)點間的時間測量噪聲εi,j、ε?i,j都服從均值為0，方差為δ2的高斯分布。假設(shè)所有未知節(jié)點與信標節(jié)點間都存在測量連接，分別設(shè)置未知節(jié)點數(shù)量M=6,7,8,9,10，表1列出了1 000次蒙特卡羅（MC）下LS、WLS和SDP算法的單次平均運行時間。隨著未知節(jié)點數(shù)量M的上升，節(jié)點間存在的測量連接數(shù)量增加，三種算法的平均運行時間都隨之增加。由于WLS需要再次計算權(quán)重值，故WLS算法的運行時間幾乎比LS算法增加一倍。相比于凸優(yōu)化的SDP算法，LS及WLS算法的運行時間縮減了很多。如當(dāng)M=10時，SDP算法的平均運行時間為620.3 ms，而LS及WLS算法的平均運行時間僅為3.3 ms、6.4 ms。

表1　不同算法的單次平均運行時間比較　單位：ms

4.2定位誤差比較

眾所周知，由于進行了凸優(yōu)化松弛，SDP算法的定位結(jié)果非最優(yōu)。而本文所提出的線性估計方法假設(shè)zi中各參數(shù)相互獨立，亦降低了定位精度。為驗證本文所提出的LS、WLS算法的估計誤差，將算法的定位精度同文獻［15］的SDP算法及克拉美羅下界（CRLB）［15］進行了比較。相同于4.1中信標節(jié)點的坐標位置設(shè)置，隨機生成的十個未知節(jié)點分別設(shè)置在如圖2所示的位置分布。

圖2　未知節(jié)點與信標節(jié)點的位置分布

假設(shè)所有未知節(jié)點是時鐘同步的，即ωi=1，θi=0，i=1,2,?,10，將信標節(jié)點的時鐘漂移率及偏移量標記為(ωj,θj)，j=11,12,?,15，具體值如圖2標注所示。假設(shè)信號傳播速度c=3×108m/s，未知節(jié)點與信標節(jié)點的時間測量噪聲εi,j、ε?i,j以納秒為單位，且都服從均值為0，方差為δ2的高斯分布。為評價該LS、WLS、SDP三種算法下的定位精度，采用均方根誤差（RMSE）分析。對每種算法下的RMSE定位誤差仿真運行1 000次，采用1 000次運行的平均值進行對比分析。

取十個未知節(jié)點的平均RMSE分析其定位精度性能，圖3繪出了LS、WLS、SDP算法的平均RMSE定位誤差比較。由圖3可見，當(dāng)噪聲大小δ 從0.2增加到2時，三種算法的RMSE定位誤差都隨之增大。在低噪聲條件（δ≤1.2）時，SDP算法的定位誤差在3種算法中最大。但是當(dāng)噪聲δ大于1.2之后，SDP算法的定位誤差小于LS算法，但仍大于WLS算法。同時也可以看出定位誤差RMSE值與噪聲δ之間有近似的線性關(guān)系，定位誤差隨著噪聲的增加而增大。當(dāng)噪聲δ為0.2時，WLS算法的RMSE值為0.05 m；而當(dāng)噪聲δ等于2時，WLS算法的RMSE值增加到了0.52 m。

圖3　定位誤差隨噪聲大小變化關(guān)系

4.3時間同步參數(shù)估計誤差

信標節(jié)點的時間同步參數(shù)包括時鐘漂移率、偏離量與未知節(jié)點的位置坐標同時被估計。取五個信標節(jié)點的平均時鐘漂移率、偏離量分析其估計誤差，其結(jié)果繪在圖4中。

圖4　時間同步參數(shù)的估計誤差分析

觀察圖4（a）及圖4（b）的時鐘漂移率及偏離量隨噪聲δ的變化曲線，不難發(fā)現(xiàn)，算法的變化規(guī)律類似圖3所反映的結(jié)果。當(dāng)δ≤1.2時，SDP算法的估計誤差較LS及WLS算法的估計誤差大；而δ>1.2時，LS算法的估計誤差較SDP算法大。相對于LS及WLS線性估計方法，凸優(yōu)化的SDP算法隨噪聲的變化較為平緩。如當(dāng)δ為0.2時，SDP算法的時鐘漂移率RMSE為0.02，而LS及WLS算法的時鐘漂移率RMSE僅為0.01；而當(dāng)噪聲δ等于2時，SDP算法的時鐘漂移率RMSE增加到了0.16，LS及WLS算法的時鐘漂移率RMSE分別增加到了0.20及0.13。

同樣地，時鐘偏離量估計誤差也有類似上述規(guī)律。當(dāng)噪聲δ≤1.2時，LS及WLS的估計誤差比SDP算法的估計誤差??；當(dāng)δ>1.2時，LS算法的估計誤差較SDP算法大，但WLS算法的估計誤差仍是最小的。算法的估計誤差與噪聲大小近似有線性關(guān)系，當(dāng)噪聲δ為0.2時，WLS算法的時鐘偏離量RMSE值為0.24 ns；而當(dāng)噪聲δ增大到2時，WLS算法的時鐘偏離量RMSE值也增加到了3.2 ns。

5　結(jié)論

本文介紹了一種無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的時間同步和定位聯(lián)合線性估計方法。該方法針對時鐘漂移和偏離的TOA測距定位模型，將時間同步參數(shù)和節(jié)點位置坐標同時估計出來，即實現(xiàn)了時間同步，又實現(xiàn)了節(jié)點位置坐標估計。與凸優(yōu)化SDP方法相比較，所設(shè)計的LS、WLS線性估計方法計算復(fù)雜度低，運算速度快；在低噪聲條件下，其估計誤差較小。但本文所提出的LS、WLS線性方法的估計誤差并未達到CRLB下界值，其結(jié)果還有待于進一步通過優(yōu)化方法求精。

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顧治華（1991-），女，甘肅蘭州人，碩士研究生，研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)資源優(yōu)化與定位計算，guzhihuayiran@163.com；

吳曉平（1977-），男，浙江金華人，副教授，博士，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)與分布式計算。在國內(nèi)外重要會議及期刊上發(fā)表論文二十多篇，其中SCI收錄6篇，wuxipu@gmail.com。

A Joint Linear Estimation Approach for Time Synchronization
and Localization in Wireless Sensor Networks*

GU Zhihua1，ZHU Xuefeng1，WU Xiaoping1，2*，CHEN Daoqian1
（1.School of Information Engineering，Zhejiang A& F University，Lin’an Zhejiang 311300，China；2.Zhejiang Provincial Key Laboratory of Forestry Intelligent Monitoring and Information Technology，Lin’an Zhejiang 311300，China）

Abstract：It is simple to estimate the locations of sensor nodes by using the time measurements which are widely used in sensor networks. However there is a drift and deviation of the time clock，which leads to inaccurate time measurement. Based on the clock drift and deviation model，a joint linear estimation method for time synchroniza?tion and node localization is proposed，including the least squares（LS）and the weighted least squares（WLS）meth?od. The simulations tested the running time of the designed algorithm and analyzed the impacts of the noises on the estimation error with the joint estimation method. The results show that the LS and WLS linear estimation algo?rithms run faster than the SDP algorithm，and the LS and WLS linear estimation methods have high stability and ac?curacy in low noise conditions.

Key words：wireless sensor networks；localization；time synchronization；time of arrival（TOA）

doi：EEACC：6150；7110；521010.3969/j.issn.1004-1699.2016.03.016

收稿日期：2015-10-07修改日期：2015-12-10

中圖分類號：TP393.0

文獻標識碼：A

文章編號：1004-1699（2016）03-0397-06