鄧軍林，楊 平，唐衛(wèi)國，汪 丹

（1.高性能船舶技術教育部重點實驗室（武漢理工大學），武漢 430063；2.武漢理工大學 交通學院，武漢 430063）

基于裂紋最大張口位移的加筋板彈塑性斷裂分析

鄧軍林1，2，楊 平1，2，唐衛(wèi)國2，汪 丹2

（1.高性能船舶技術教育部重點實驗室（武漢理工大學），武漢 430063；2.武漢理工大學 交通學院，武漢 430063）

為了快速方便地求取船舶加筋板塑性性能的兩個重要參數—裂紋尖端塑性區(qū)半徑（Ry）和裂紋尖端張開位移（CTOD），文章提出了一種基于裂紋最大張口位移（MCOD）來確定加筋板的裂紋尖端塑性區(qū)半徑和裂紋尖端張開位移的簡便方法。該法基于理想彈塑性材料，以提出的裂紋最大張口位移與裂紋尖端塑性區(qū)半徑及裂紋尖端張開位移的擬合函數關系為基礎，考慮了模型尺寸效應、材料特性參數及外載荷的影響。文中還對不同裂紋長度、不同屈服極限條件、不同板/筋剛度比時方法的適用性進行了分析，研究表明：該方法能夠消除裂紋長度、屈服極限和外載荷等因素的影響，適用于有限寬船舶加筋板的彈塑性分析。

船舶加筋板；CTOD；裂紋最大張口位移；裂紋尖端塑性區(qū)半徑；彈塑性

0 引 言

加筋板結構是船舶和海洋工程結構領域最基本的結構之一。近年來，隨著船舶結構大型化的發(fā)展及高強度鋼的廣泛使用，含裂紋的船舶加筋板結構發(fā)生斷裂破壞時大多已經處于彈塑性狀態(tài)。然而到目前為止，對加筋板斷裂性能方面的研究工作大多局限于線彈性范圍。如：Sabelkin[1-2]對含裂紋有限加筋板尺寸及邊界條件對應力強度因子的影響進行了研究；黃海燕等[3-5]對含中心穿透裂紋的有限加筋板的應力強度因子進行了分析；姜翠香[6]采用直接法對含中心穿透裂紋有限寬加筋板進行了彈塑性初步分析，但沒有對相應影響因素做進一步的研究。陳景杰[7-8]率先基于最大張口位移對裂紋板中體現(xiàn)塑性斷裂性能的兩個重要參數進行了研究分析，本文在其基礎上考慮筋條不同剛度比對含中心穿透裂紋加筋板彈塑性斷裂性能影響進行了研究。

在彈塑性斷裂力學中，目前大多以裂紋尖端張開位移（CTOD）和裂紋尖端塑性區(qū)半徑Ry作為描述裂紋塑性性能的主要參數。裂紋尖端塑性區(qū)對裂紋的萌生、擴展起著決定性的作用；裂紋尖端張開位移（CTOD）是判定裂紋在彈塑性范圍內擴展的重要準則，被定義為材料的彈塑性斷裂韌性?；谝延械拇_定CTOD和Ry的各種方法可知：有限元數值計算是研究它們的重要手段。

裂紋最大張口位移 （Δu）（為方便表達，文中用Δu表示MCOD）是描述裂紋形狀的主要變量，而且無論是在有限元計算還是實驗測量中都相對容易獲得，因此，本文引入了Δu的概念。首先通過有限元模擬計算建立了具有中心穿透裂紋的無限大加筋板模型在特定條件下Δu與含中心穿透裂紋加筋板的CTOD和Ry之間的函數關系，然后考慮模型尺寸、材料特性（屈服強度、應力狀態(tài)等）、裂紋長度和外載荷等因素影響效應，確定相應函數關系式的適用范圍。該法回避了對裂紋尖端局部區(qū)域的直接分析，使有限元計算模型得到簡化，并為含中心穿透裂紋加筋板CTOD和Ry的實際測量提供了新的途徑。

1 理論分析

1.1 裂紋尖端塑性區(qū)半徑與裂紋最大張口位移關系

在小范圍屈服條件下，對于理想彈塑性材料，陳景杰[7]在Irwin的估算公式[9]基礎上研究推導出了中心穿透裂紋的無限大板在單向拉伸載荷作用下的裂紋尖端塑性區(qū)半徑Ry為：

式中：σs為材料屈服極限，μ為泊松系數，a為裂紋長度，σ為外加均勻載荷。

該表達式表明Ry與外載荷、裂紋長度及屈服極限間的對應關系。當裂紋長度和屈服極限為確定的常數時，Ry與外載荷σ間一定存在某種函數對應關系：

根據已有的當等效裂紋長度為2a+Ry時的小范圍塑性屈服問題可采用線彈性理論進行分析的結論，結合文獻[7]所給出的最大張口位移與外力及裂紋長度的關系式，可等效表達為：

與無限大板類似，由（2）、（3）式可以得出在小范圍塑性屈服狀況下，含有中心穿透裂紋的無限大船舶加筋板在單向拉伸載荷作用下Δu與Ry間也一定存在某種相應的函數對應關系：

1.2 裂紋尖端張開位移與裂紋最大張口位移關系

對于理想彈塑性材料，在外力σ小于等于屈服極限σs的條件下，姜翠香[6]在Dugdale[10]模型基礎上對承受單向拉伸載荷作用的含有中心穿透裂紋的無限大加筋板進行了研究并給出了加筋板裂紋尖端張開位移CTOD的近似計算公式：

式中：f0為修正函數，G為剪切模量。

同理，在確定的平面狀態(tài)下，當裂紋長度和屈服極限一定時，同樣可以得出含有中心穿透裂紋的無限大船舶加筋板在單向拉伸載荷作用下裂紋尖端張開位移δ與裂紋最大張口位移Δu間存在某種對應的函數關系：

只要確定出公式（4）、（6）的具體表達式，通過有限元法求出加筋板裂紋最大張口位移，就可以快捷地對含有中心穿透裂紋的無限大船舶加筋板裂紋尖端的塑性區(qū)半徑Ry及裂紋尖端張開位移δ進行評估，從而為在外力作用下快速評估加筋板結構的彈塑性性能提供了捷徑。

2 計算模型精度的確定

2.1 裂紋尖端塑性區(qū)及裂紋尖端張口位移模型計算精度的確定

船舶加筋板有限元計算模型如圖1所示，2W為裂紋板寬度，2L為裂紋板長度，2a為裂紋長度，σ為外力；選取a=10 mm，L=15a和W=13a及分別選取加筋條不同剛度比β=EsAs/EBt0=0.1，0.2，0.3（Es為加筋條彈性模量，As為加筋條橫截面積）來模擬無窮大船舶加筋板。材料參數：E=2.1×105MPa，泊松比ν=0.3。在平面應力狀態(tài)下，σ取10～200 MPa范圍內每間隔10 MPa的應力值進行彈塑性分析。在進行有限元分析過程中，取材料屈服極限為235 MPa，采用理想彈塑性材料的應力應變曲線，結合隨動強化和Mises屈服準則計算裂紋尖端塑性區(qū)，其1/4含中心穿透裂紋加筋板有限元模型及其局部單元網格劃分如圖2所示。

圖1 含中心穿透裂紋的船舶加筋板拉伸試樣Fig.1 A ship stiffened plate with central through-cracks and the stress distribution models

圖2是基于Ansys有限元軟件采用8節(jié)點的四邊形等參單元所建立的加筋板中含中心穿透裂紋的加筋板材有限元模型。其裂紋尖端區(qū)域的最小單元尺寸為0.05 mm，它所對應的外加應力為50 MPa。由于網格尺寸直接影響塑性區(qū)半徑計算精度，所給定的最小單元尺寸是根據已有剖分準則確定的[4]。

圖3給出了不同外載荷下有限元法與Irwin公式法計算的裂紋尖端塑性區(qū)半徑大小。在小范圍屈服內（σ/σs≤0.3）兩種方法計算的塑性區(qū)半徑十分接近，表明在小范圍屈服內有限元法計算的塑性區(qū)尺寸是正確可靠的，證明了有限元計算模型的可靠性。

采用有限元法直接計算加筋板裂紋尖端張開位移同樣也需要對加筋板裂紋尖端局部區(qū)域劃分精細網格單元，本文在分別確定描述裂紋尖端塑性區(qū)性能的這兩個參數時采用相同的有限元計算模型。另外，通過有限元法計算CTOD時通常取裂紋尖端45°斜線與上下裂紋面相交的交點間的垂直距離[11]或以裂紋面上與裂紋尖端最近節(jié)點的法向張開位移作為裂紋尖端的張開位移[12]。本文中計算裂紋尖端張開位移的步驟為：首先根據有限元法計算加筋板裂紋面上各單元節(jié)點的張開位移，采用路徑法確定出加筋板裂紋表面各單元節(jié)點的位移變形圖，然后將加筋板裂紋表面各單元節(jié)點張開位移的轉折點對應的法向位移的兩倍確定為裂紋尖端張開位移[7]。

圖2 含中心穿透裂紋加筋板有限元1/4有限元模型Fig.2 Quarter of finite element models for stiffened platewith central through crack

圖3 Irwin公式法與有限元法計算的加筋板 裂紋尖端塑性區(qū)半徑的比較Fig.3 Comparison of plastic zone radiu of stiffened plate calculated by finite element and Irwin’s formula

2.2 最大張口位移計算精度的確定

為了保證求解加筋板裂紋最大張口位移（Δu）的有限元模型計算結果的可靠性，本研究對含中心穿透裂紋的加筋板采用有限元法求得的最大張口位移收斂性進行了驗證。計算裂紋最大張口位移（Δu）的有限元模型同圖2所示。

圖4 加筋板裂紋尖端最大張口位移收斂性驗證Fig.4 Convergence judgment of crack maximum opening displacement of stiffened plate

圖5 加筋板Ry/a和ΔuE/aσs之間的對應關系曲線Fig.5 Relationship of stiffened plate between Ry/a versus ΔuE/aσs

利用有限元法計算平面應力狀態(tài)下加筋板裂紋最大張口位移（Δu）隨裂紋尖端網格不斷細化的變化情況如圖4所示，其中i為計算模型的節(jié)點數量。圖4顯示出加筋板Δu隨模型單元節(jié)點數的增加而逐漸趨于穩(wěn)定，說明加筋板有限元模型計算的裂紋Δu是收斂的，可以保證加筋板裂紋最大張口位移計算結果的可靠性。根據圖4計算結果并考慮有限元法計算精度和效率，本文選取總單元節(jié)點數為14 450對應的有限元模型計算含中心裂紋的加筋板Δu數值。

3 確定加筋板裂紋尖端塑性區(qū)半徑與裂紋最大張口位移的函數關系

針對圖3給定的外載荷計算出無限寬含中心穿透裂紋加筋板對應的Δu值，將Ry和Δu值進行標準化處理得到對應的無量綱參數Ry/a和ΔuE/aσs值?；谧钚《朔ㄔ恚y/a和ΔuE/aσs間多項式擬合曲線，確定了無限寬加筋板模型Ry/a和ΔuE/aσs間對應的函數關系，如圖6所示。由于已建立的擬合函數關系式是無限寬的加筋板在理想彈塑性材料狀態(tài)下求得，為滿足工程實踐的需要，故需要討論含中心穿透裂紋加筋板的尺寸效應、材料參數以及載荷因素等對其的影響，并最終確定出滿足實際工程需要的含中心穿透裂紋加筋板Ry/a和ΔuE/aσs對應函數關系表達式的適用范圍。

3.1 模型尺寸和外加載荷的影響

考慮模型尺寸和外加應力對加筋板Ry/a和ΔuE/aσs間擬合函數關系的影響時，在圖5所示的模型中選取a=10 mm，L=150 mm，a/W=0.05～0.5；筋條剛度比β=EsAs/EBt0=0.1，0.2，0.3，外應力σ分別為40、60、80、100 MPa。在材料參數保持不變（E=2.1×105MPa，泊松比ν=0.3，σs=235 MPa）的情況下，采用理想彈塑性材料并選取MISES屈服準則，建立系列有限元模型并分別計算對應Δu和裂紋尖端塑性區(qū)半徑Ry，根據選定的無量綱化參數，標準化處理計算得到的數據值并將得到的無量綱化結果與圖5的關系表示如圖6所示。

圖6 不同W和σ下加筋板Ry/a和ΔuE/aσs之間的函數關系曲線Fig.6 Relationship of stiffened plate between Ry/a versus ΔuE/aσsin the case of different W and σ

圖7 不同a和σs下加筋板Ry/a和ΔuE/aσs之間的函數關系曲線Fig.7 Relationship of stiffened plate between Ry/a versus ΔuE/aσsin the case of different a and σs

圖6表明：不同外載荷作用下任意寬度的含中心穿透裂紋加筋板所獲得的標準化的計算結果具有相同函數關系，說明Ry/a和ΔuE/aσs之間的函數關系與加筋板寬度和外應力無關，用裂紋最大張口位移計算加筋板裂紋尖端塑性區(qū)半徑的方法消除了寬度和外應力的影響。

3.2 裂紋長度和屈服強度的影響

考慮裂紋長度和屈服強度對加筋板Ry/a和ΔuE/aσs間擬合函數關系的影響時，計算模型保持不變，選取L=150 mm，W=50 mm，a=10～20 mm，σs分別為235、255（25）400 MPa，σ=20～100 Mpa，筋條剛度比β=EsAs/EBt0=0.1，0.2，0.3。在彈性模量E和泊松比ν保持不變的情況下，建立系列有限元模型分別計算對應的Δu和裂紋尖端塑性區(qū)半徑值Ry，根據選定的無量綱化參數，標準化處理計算得到的數據值并將得到的無量綱化結果與圖5的關系表示如圖7所示。

圖7表明：在不同裂紋長度和屈服極限條件下所確定的有限寬度的船舶加筋板Ry/a和ΔuE/aσs值幾乎近似布落在已獲得的關系曲線上，說明用裂紋Δu計算加筋板裂紋尖端塑性區(qū)半徑排除了裂紋長度和屈服極限的影響。

3.3 平面狀態(tài)和材料彈性模量的影響

研究材料彈性模量對函數關系的影響時，計算模型保持不變，在圖1所示的模型中選取，a=10 mm，L=150 mm，W=6a，σ=40～70 MPa，筋條剛度比β=0.1，0.2，0.3。彈性模量E在48～210 GPa范圍內變化，其它材料參數保持不變的情況下，建立系列有限元模型分別計算對應的裂紋最大張口位移Δu和裂紋尖端塑性區(qū)半徑值Ry，根據選定的無量綱化參數，標準化處理計算得到的數據值并將得到的無量綱化結果與圖5的關系表示如圖8所示。

圖8 不同E計算結果與已有函數關系曲線的關系Fig.8 Relationship of stiffened plate between resuilts and obtained function curve in different E

圖9 平面應變狀態(tài)計算結果與已有函數關曲線的關系Fig.9 Relationship of stiffened plate between resuilts and obtained function curve in the plane strain

以上結果均是在平面應力狀態(tài)下計算得到的，考慮平面應變狀態(tài)對加筋板Ry/a和ΔuE/aσs間擬合函數關系的影響時計算模型和外加載荷保持不變，得到了平面應變狀態(tài)下Ry和Δu的標準化結果如圖9所示的數據點。

圖8和圖9表明：不同彈性模型和平面狀態(tài)下計算得到的加筋板Ry/a和ΔuE/ aσs的數值結果幾乎都分布在已有的函數關系曲線上，說明無量綱化處理加筋板裂紋尖端塑性區(qū)半徑Ry和裂紋最大張口位移Δu的數值結果消除了彈性模量和平面狀態(tài)的影響。

圖10 所有給定情況下加筋板Ry/a和ΔuE/aσs之間的函數關系Fig.10 Relationship of stiffened plate betweenRy/a versus ΔuE/aσsin all given case

綜上，為了更直接說明上述6個因素對函數關系的影響，將圖5～9中計算所得的數據整理到同一坐標圖中如圖10所示。這些數據根據加筋板不同剛度比布落在相應的同一條曲線上，說明基于最小二乘法擬合出的加筋板Ry/a和ΔuE/aσs間的函數關系式（7）消除了模型尺寸、裂紋長度、外應力、材料屈服極限、彈性模量及平面狀態(tài)的影響。

4 確定加筋板CTOD與裂紋最大張口位移的函數關系

針對圖3給定的外應力計算出無限寬含中心穿透裂紋加筋板對應的Δu值，將δ和Δu值進行標準化處理得到對應的無量綱參數δE/aσs和ΔuE/aσs值。基于最小二乘法原理，建立δE/ aσs和ΔuE/aσs間多項式擬合曲線，確定了無限寬加筋板模型兩者之間對應的函數關系，如圖11所示。由于已建立的擬合函數關系式是無限寬的加筋板在理想彈塑性材料狀態(tài)下求得，為滿足工程實踐的需要，故需要討論含中心穿透裂紋加筋板的尺寸效應、材料參數以及載荷因素等對其的影響，并最終確定出滿足實際工程需要的含中心穿透裂紋加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs對應函數關系表達式的適用范圍以滿足實際工程應用。

圖11 加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs之間的對應函數關系曲線Fig.11 Relationship of stiffened plate between δE/aσsversus ΔuE/aσs

4.1 模型尺寸和外加載荷的影響

考慮模型尺寸和外加載荷對加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs間擬合函數關系的影響時，選取a=10 mm，L=150 mm，a/W=0.05～0.5；筋條剛度比β=0.1（0.1）0.3，外應力σ分別為40（20）100 MPa。在材料參數保持不變的情況下，建立系列加筋板有限元模型分別計算對應裂紋最大張口位移Δu和裂紋尖端張開位移δ，根據選定的無量綱化參數，標準化處理計算得到的數據值并將得到的無量綱化結果與圖11的關系如圖12所示。

圖12 不同W和σ下加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs之間的函數關系曲線Fig.12 Relationship of stiffened plate between δE/aσsversus ΔuE/aσsin the case of different W and σ

圖13 不同a和σs下加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs之間的函數關系曲線Fig.13 Relationship of stiffened plate between δE/aσsversus ΔuE/aσsin case of different a and σs

圖12表明：不同外載荷作用下任意寬度的含中心穿透裂紋加筋板所獲得的標準化的計算結果具有相同函數關系，說明加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs間的函數關系與加筋板寬度W及外力無關，用裂紋最大張口位移Δu確定加筋板裂紋尖端張開位移δ的方法消除了加筋板寬度W及外力的影響。

4.2 裂紋長度和屈服強度的影響

考慮裂紋長度和屈服強度對加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs間擬合函數關系的影響時，計算模型保持不變，在圖1所示的模型中選取L=150 mm，W=50 mm，a=10～20 mm，筋條剛度比β=0.1，0.2，0.3，分別為235、255（25）400 MPa，σ=20～100 MPa。在材料參數保持不變的情況下，建立系列加筋板有限元模型分別計算對應的裂紋Δu和裂紋尖端張開位移δ，根據選定的無量綱化參數，標準化處理計算得到的數據值并將得到的無量綱化結果與圖11的關系表示如圖13所示。

圖13表明：在不同裂紋長度和屈服極限條件下所確定的加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs數值幾乎都落在已獲得的函數關系曲線上，說明基于裂紋Δu確定加筋板裂紋尖端張開位移δ的方法消除了裂紋長度和材料屈服極限的影響。

4.3 平面狀態(tài)和材料彈性模量的影響

研究材料彈性模型對加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs間擬合函數關系的影響時，計算模型保持不變，在圖1所示的模型中選取，a=10 mm，L=150 mm，W=6a，σ=40～70 MPa，筋條剛度比β=0.1，0.2，0.3。彈性模量E在48～210 GPa范圍內變化，其它材料參數保持不變的情況下，建立系列有限元模型分別計算對應的裂紋最大張口位移Δu和裂紋尖端張開位移δ，根據選定的無量綱化參數，標準化處理計算得到的數據值并將得到的無量綱化結果與圖11的關系表示如圖14所示。

圖14 不同E計算結果與已有函數關系曲線的關系Fig.14 Relationship of stiffened plate between resuilts and obtained function curve in different E

圖15 平面應變狀態(tài)計算結果與已有函數關系曲線的關系Fig.15 Relationship of stiffened plate between resuilts and obtained function curve in the plane strain

以上結果均是在平面應力狀態(tài)下計算得到的，下文給出了平面應變狀態(tài)下計算模型在外加應力為10～210 MPa作用下的計算結果，得到了平面應變狀態(tài)下加筋板δ和Δu的標準化結果如圖15所示的數據點。

圖14和圖15表明：不同彈性模型和平面狀態(tài)下計算得到的加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs數值結果幾乎都落在已有的函數關系曲線上，說明無量綱化處理加筋板裂紋尖端張開位移δ和裂紋Δu消除了彈性模量和平面狀態(tài)的影響。

綜上，為了更直接說明上述6個因素對加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs間擬合函數關系的影響，將圖11～15中計算所得的數據整理到同一坐標圖中如圖16所示。這些數據根據加筋板不同剛度比分布在相應的同一條曲線上，說明基于最小二乘法擬合出的加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs間的函數關系式（8）消除了模型尺寸、裂紋長度、外載荷、材料屈服極限、彈性模量及平面狀態(tài)的影響。

圖16 所有給定情況下加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs之間的函數關系Fig.16 Relationship of stiffened plate between δE/aσsversus ΔuE/aσsin all given case

5 結 論

本文通過理論分析和有限元數值模擬，對描述具有中心穿透裂紋的有限寬加筋板裂紋尖端彈塑性斷裂性能的兩個重要參數Ry和CTOD進行了分析并得到了如下結論：

（1）通過對受單向拉伸載荷作用的含有中心穿透裂紋的船舶加筋板模型的計算分析，提出了加筋板Δu與Ry的無量綱參數及其對應的考慮不同筋條剛度比的多項式函數關系；討論了裂紋長度、模型尺寸、外載荷、屈服極限及應力狀態(tài)等因素的影響，明確了能體現(xiàn)筋條不同剛度比影響的加筋板Ry/ a和ΔuE/aσs間擬合函數關系式的適用范圍，使其滿足工程應用。

（2）通過對受單向拉伸載荷作用的含有中心穿透裂紋的船舶加筋板模型的計算分析，建立了加筋板Δu與CTOD的無量綱參數及其對應的考慮不同筋條剛度比的多項式函數關系；討論了模型尺寸、裂紋長度、外加載荷、屈服極限及應力狀態(tài)等因素的影響，明確了能體現(xiàn)筋條不同剛度比影響的加筋板δE/aσs和ΔuE/aσs間擬合函數關系的適用范圍。

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Elasto-plastic fracture analysis of stiffened plates based on crack maximum opening displacement

DENG Jun-lin1,2,YANG Ping1,2,TANG Wei-guo2,WANG Dan2
(1.Key Laboratory of High Performance Ship Technology(Wuhan University of Technology)，Ministry of Education, Wuhan 430063,China;2.School of Transportation,Wuhan University of Technology,Wuhan 430063,China)

In order to rapidly and conveniently evaluate the two important plastic property parameters of ship stiffened plate,i.e.the plastic-zone radius around crack tip and crack tip opening displacement(CTOD), a simple method is proposed for ship stiffened plates with central-through crack subjected to uniform uniaxial tensile loading,based on the maximum crack opening displacement(MCOD).On the basis of the fitted functional relationship of the MCOD and the two plastic property parameters,the influences of the model size effect,material parameters and external load are discussed in the analyses for elastic-perfectly plastic material.The applicability of this method for different crack length,yield limit condition and stiffness ratio of plate/stiffener was analyzed.The result from this research shows that the presented method can eliminate the influence of the crack length,yield stress and applied loading etc,and so is suitable to the elasto-plastic analysis for ship stiffened plates with finite width.

ship stiffened plate;crack tip opening displacement(CTOD);maximum crack opening displacement(MCOD);plastic-zone radius around crack tip;elasto-plastic

U661.41

：Adoi：10.3969/j.issn.1007-7294.2016.05.008

1007-7294（2016）05-0574-09

2015-10-15

國家自然科學基金面上項目（51479153），中央高校研究生自由探索研究項目（2014-zy-019）

鄧軍林（1983-），男，博士研究生，E-mail：junlin.deng@163.com；楊 平（1955-），男，教授，博士生導師。