宋　群， 周長城， 潘禮軍

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255049)

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鋼板彈簧重疊部分應(yīng)力及許用厚度計(jì)算理論的研究

宋群， 周長城， 潘禮軍

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255049)

摘要：為滿足疊加鋼板彈簧解析拆分設(shè)計(jì)及CAD軟件開發(fā)的要求，根據(jù)疊加鋼板彈簧的力學(xué)模型，對鋼板彈簧重疊部分等效厚度進(jìn)行研究，并利用各片變形量、厚度與載荷之間關(guān)系，建立疊加鋼板彈簧重疊部分等效厚度解析計(jì)算式.根據(jù)重疊部分等效厚度解析計(jì)算式和單片等效鋼板彈簧應(yīng)力公式，建立疊加鋼板彈簧重疊部分應(yīng)力及最大應(yīng)力解析計(jì)算式.根據(jù)重疊部分的應(yīng)力解析計(jì)算式和許用應(yīng)力，建立許用厚度解析計(jì)算式.最后，通過實(shí)例對鋼板彈簧重疊部分應(yīng)力及許用厚度進(jìn)行解析計(jì)算和ANSYS仿真驗(yàn)證.結(jié)果表明所建立的疊加鋼板彈簧重疊部分應(yīng)力及許用厚度的解析計(jì)算理論是正確的.

關(guān)鍵詞：鋼板彈簧； 應(yīng)力； 許用厚度； 等效厚度； 解析計(jì)算

鋼板彈簧由于結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉、性能可靠、且能起到懸架導(dǎo)向轉(zhuǎn)置和摩擦減振作用，因而成為汽車懸架中應(yīng)用最廣泛的一種彈性元件.目前，對于懸架鋼板彈簧，大都是憑經(jīng)驗(yàn)法和圖解法進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后通過試驗(yàn)驗(yàn)證確定出彈簧的設(shè)計(jì)參數(shù).盡管國內(nèi)外很多學(xué)者曾對鋼板彈簧變形和應(yīng)力計(jì)算進(jìn)行了大量研究，提出共同曲率法、集中載荷法、共同曲率與集中載荷綜合法、有限單元法、CAE法等，但這些方法一直未給出滿足鋼板彈簧解析設(shè)計(jì)的應(yīng)力計(jì)算式，因而制約了鋼板彈簧CAD軟件的開發(fā).其中，共同曲率法[1]假設(shè)鋼板彈簧面在長度方向上是相互完全貼合接觸的，這一假設(shè)會(huì)導(dǎo)致彈簧葉片端點(diǎn)存在彎矩突變，最末幾片應(yīng)力誤差較大.而集中載荷法計(jì)算短片應(yīng)力具有較好的精度，但其余片應(yīng)力卻有較大的誤差.共同曲率與集中載荷綜合法[2-3]認(rèn)為疊加鋼板彈簧中間各片的載荷工況可分為“夾持約束部分”和 “非約束部分”，由于各片自由端處應(yīng)力仍然按共同曲率方法計(jì)算，因而不滿足相鄰兩片在端部重疊部分變形相等的約束條件.有限單元法[4-6]雖然在理論上是準(zhǔn)確嚴(yán)密的，但其應(yīng)力難以用簡單的解析式表達(dá)，計(jì)算量很大.CAE仿真軟件法[7]雖然可以得到可靠的仿真數(shù)值，但只能對給定結(jié)構(gòu)的鋼板彈簧在一定載荷下的應(yīng)力進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證，而不能提供鋼板彈簧的應(yīng)力解析計(jì)算式.

本文將首先根據(jù)疊加鋼板彈簧力學(xué)模型，對重疊部分的等效厚度進(jìn)行研究，在此基礎(chǔ)上對疊加鋼板彈簧重疊部分的應(yīng)力及最大應(yīng)力和許用厚度解析計(jì)算進(jìn)行研究，隨后，對所研究的理論進(jìn)行實(shí)例計(jì)算和仿真驗(yàn)證，從而建立可靠的應(yīng)力解析計(jì)算理論，解決制約鋼板彈簧解析設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題.

1疊加鋼板彈簧的力學(xué)模型及重疊部分等效厚度解析計(jì)算式

鋼板彈簧在實(shí)際行駛工況中的受力變形及接觸狀態(tài)非常復(fù)雜，其受力、變形及片間接觸狀態(tài)都是非線性的，難以進(jìn)行理論分析得到解析計(jì)算式.為了建立疊加鋼板彈簧解析計(jì)算式，必須對鋼板彈簧的力學(xué)模型進(jìn)行合理假設(shè).由于在額定載荷情況下車輛懸架鋼板彈簧是完全接觸的，因此，假設(shè)鋼板彈簧力學(xué)模型中的各片間完全接觸且忽略片間摩擦.

1.1疊加鋼板彈簧的力學(xué)模型

以一半疊加鋼板彈簧為研究對象，設(shè)疊加鋼板彈簧由n片不等長的簧片組成，各簧片寬度為b，簧片從第1片到第n片長度依次為L1，L2，…，Ln-1，Ln；對應(yīng)的厚度依次為h1，h2，…，hn-1，hn，疊加鋼板彈簧在自由端受到集中載荷F，如圖1所示.

圖1　多片疊加鋼板彈簧力學(xué)模型

1.2疊加鋼板彈簧重疊部分等效厚度解析計(jì)算式

為研究疊加鋼板彈簧重疊部分等效厚度解析計(jì)算，將圖1自由端處集中力F移至m處，即n片疊加鋼板彈簧重疊部分端部，則n片疊加鋼板彈簧力學(xué)模型等效為受集中力F和彎矩Mo=F(L1-Ln)的力學(xué)模型，如圖2所示.圖2中以疊加鋼板彈簧重疊部分端部即m處為坐標(biāo)原點(diǎn)，以原點(diǎn)左側(cè)為正方向建立坐標(biāo)系.n片疊加鋼板彈簧重疊部分簧片可等效為單片鋼板彈簧，其等效厚度為hez.

圖 2　等效單片鋼板彈簧的力學(xué)模型

根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)[8]可知，鋼板彈簧的變形微分方程為

(1)

式中:w為單片等效鋼板彈簧的撓度；E為鋼板彈簧的彈性模量；I為矩形截面慣性矩；M(x)為在x位置處的彎矩.

根據(jù)圖2，任意x位置處截面的彎矩M(x)為

M(x)=Fx+Mo=(x+L1-Ln)F

(2)

式中，M0為集中力F移動(dòng)到重疊部分端部m所產(chǎn)生的等效彎矩，Mo=(L1-Ln)F.

把式(2)代入變形微分方程(1)得

(3)

對式(3)進(jìn)行兩次積分，根據(jù)鋼板彈簧固定端A處的邊界約束條件，即變形量wA=0，轉(zhuǎn)角wA′=0，可得常數(shù)C1和C2分別為

因此，鋼板彈簧重疊部分的變形解析計(jì)算式，可簡潔地表示為

(4)

由圖1鋼板彈簧受力情況可知，當(dāng)鋼板彈簧自由端受到集中力F和彎矩Mo時(shí)，疊加鋼板彈簧各片所受力不相等，但是各片鋼板彈簧承受力之和等于總的載荷，即

F1+F2+…+Fn=F

(5)

由圖1鋼板彈簧變形情況可知，多片疊加鋼板彈簧重疊部分的彎曲變形量相等，且等于重疊部分單片等效鋼板彈簧的彎曲變形量.因此，由鋼板彈簧變形解析計(jì)算式(5)，可得

(6)

由式(5)和式(6)，可得多片疊加鋼板彈簧重疊部分的等效厚度hez為

(7)

2疊加鋼板彈簧重疊部分應(yīng)力及最大應(yīng)力和許用厚度解析計(jì)算式

2.1疊加鋼板彈簧重疊部分應(yīng)力及最大應(yīng)力解析計(jì)算式

根據(jù)圖2所示，單片等效鋼板彈簧任意截面處應(yīng)力為[11-12]

(8)

根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)[6]可知，單片等效矩形截面鋼板彈簧的抗彎截面系數(shù)W為

(9)

將式(2)、式(9)代入式(8)得單片等效鋼板彈簧任意截面處應(yīng)力為

(10)

由圖2知，當(dāng)x=Ln即在一半疊加鋼板彈簧固定端A處，單片等效鋼板彈簧應(yīng)力取得最大值，即

(11)

由疊加鋼板彈簧重疊部分變形解析計(jì)算式(6)可知，疊加鋼板彈簧重疊部分各片所承受的載荷為

設(shè)各片鋼板彈簧的當(dāng)量厚度系數(shù)分別為

則各片鋼板彈簧所承受的載荷分別可表示為

為了規(guī)避全球金融賬戶涉稅信息自動(dòng)交換過程中引發(fā)的納稅人信息維護(hù)的法律風(fēng)險(xiǎn)，全球金融賬戶涉稅信息自動(dòng)交換行動(dòng)參與國應(yīng)依托《協(xié)定公約》相關(guān)規(guī)范指引，借鑒歐盟和美國的經(jīng)驗(yàn)，積極制定實(shí)施本國相關(guān)的納稅人權(quán)利保護(hù)法律制度，或者完善現(xiàn)行的納稅人權(quán)利保護(hù)制度，引入納稅人信息保護(hù)權(quán)利，高度關(guān)切保護(hù)納稅人信息的隱私權(quán)和知情權(quán)。

(12)

將式(12)代入到式(10)，可得疊加鋼板彈簧重疊部分各片應(yīng)力解析計(jì)算式為

(13)

由圖2知，當(dāng)x=Ln即在一半疊加鋼板彈簧固定端A處，疊加鋼板彈簧重疊部分各片應(yīng)力取得最大值，即

(14)

由式(14)可知，疊加鋼板彈簧最大應(yīng)力出現(xiàn)在疊加鋼板彈簧最厚的片上.

2.2疊加鋼板彈簧許用厚度解析計(jì)算式

根據(jù)鋼板彈簧材料屬性，選取鋼板彈簧的許用應(yīng)力[σ].為保證多片疊加鋼板彈簧滿足強(qiáng)度要求，各片最大應(yīng)力應(yīng)小于許用應(yīng)力，即

[σ1max，σ2max，…，σnmax]max<[σ]

由式(14)可知，疊加鋼板彈簧的最大應(yīng)力，一定出現(xiàn)在疊加鋼板彈簧重疊部分最大厚度的固定端處.因此，疊加鋼板彈簧的許用厚度[hi]max應(yīng)滿足

即疊加鋼板彈簧的許用厚度為

(15)

利用式(15)便可對多片不等長疊加鋼板彈簧的許用厚度進(jìn)行計(jì)算，并且為鋼板彈簧拆分設(shè)計(jì)奠定了重要的理論基礎(chǔ).

3疊加鋼板彈簧重疊部分應(yīng)力解析計(jì)算實(shí)例及ANSYS仿真驗(yàn)證

3.1疊加鋼板彈簧重疊部分最大應(yīng)力的解析計(jì)算實(shí)例

例如，某鋼板彈簧總成由3片組成，其中，各片鋼板彈簧的厚度和一半長度分別為：h1=15mm，L1=750mm；h2=12mm，L2=650mm；h3=10mm，L3=550mm.寬度b=30mm，一半集中載荷F=800N.

根據(jù)式(7)，可計(jì)算三片疊加鋼板彈簧重疊部分的等效厚度為

根據(jù)疊加鋼板彈簧重疊部分最大應(yīng)力解式，疊加鋼板彈簧最大應(yīng)力發(fā)生在最厚一片鋼板彈簧上，即最大應(yīng)力出現(xiàn)在第1片鋼板彈簧上

3.2疊加鋼板彈簧重疊部分最大應(yīng)力的ANSYS仿真驗(yàn)證

利用ANSYS有限元仿真軟件，對實(shí)例中多片不等長疊加鋼板彈簧建立仿真模型，仿真過程中忽略片間摩擦，設(shè)置鋼板彈簧各片為No Separation的接觸類型；以1.0mm為單位對模型劃分網(wǎng)格；同時(shí)，設(shè)置鋼板彈簧中心螺栓處為固定約束，卷耳側(cè)為自由端，并在自由端施加一半載荷F=800N，對疊加鋼板彈簧進(jìn)行Von-Mises應(yīng)力仿真分析.仿真得到的疊加鋼板彈簧的應(yīng)力云圖如圖3所示.

圖 3　疊加鋼板彈簧應(yīng)力云圖

根據(jù)圖3可知，避開應(yīng)力集中區(qū)域時(shí)，疊加鋼板彈簧的仿真最大應(yīng)力值為291.59MPa，與上述疊加鋼板彈簧最大應(yīng)力解析計(jì)算值295.16MPa相吻合，相對誤差為1.2 %，結(jié)果表明所建立的疊加鋼板彈簧應(yīng)力解析計(jì)算式是正確的.

4結(jié)論

通過對多片疊加鋼板彈簧的應(yīng)力及最大應(yīng)力和許用厚度的理論分析、實(shí)例計(jì)算與仿真驗(yàn)證，可知：

(1)通過對多片不等長疊加鋼板彈簧重疊部分力學(xué)模型分析，利用疊加鋼板彈簧重疊部分各片的變形量與其單片等效鋼板彈簧的變形量相等原則，可建立疊加鋼板彈簧重疊部分的等效厚度解析計(jì)算式.

(2)根據(jù)各片鋼板彈簧變形量、厚度與載荷之間關(guān)系，可建立多片不等長疊加鋼板彈簧重疊部分各片應(yīng)力及最大應(yīng)力的解析計(jì)算式.

(3)根據(jù)疊加鋼板彈簧最大應(yīng)力小于許用應(yīng)力，可建立疊加鋼板彈簧許用厚度解析計(jì)算式，為疊加鋼板彈簧最大厚度的選取奠定了理論基礎(chǔ).

(4)由實(shí)例計(jì)算和仿真驗(yàn)證可知，不等長疊加鋼板彈簧的最大應(yīng)力解析計(jì)算值為295.16MPa，與ANSYS有限元軟件的仿真驗(yàn)證值291.59MPa相吻合，相對偏差僅為1.2%，說明所建立的疊加鋼板彈簧應(yīng)力及最大應(yīng)力和最大需用厚度解析計(jì)算方法是正確的、可靠的.

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(編輯：郝秀清)

Study on the stress and allowable thickness of overlapping part for the leaf spring

SONG Qun， ZHOU Chang-cheng， Pan Li-jun

(School of Transportation and Vehicle Engineering， Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:To meet the split design and CAD development for leaf spring, firstly, we found mathematical formula of stress for the overlapping part based on the study of equivalent thickness of the overlapping portion, and according to the relationship between the deformation, thickness and load. Secondly, we proposed mathematical formula of the allowable thickness according to the maximum stress less than allowable stress. Finally, we calculated the maximum stress and the allowable thickness in a practical example and proved them with numerical simulation by ANSYS. The analysis results showed the mathematical method of stress and the allowable thickness for the leaf spring was reliable.

Key words:leaf spring； stress； allowable thickness； equivalent thickness； analytic computation

中圖分類號(hào)：TH125

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2016)04-0011-04

作者簡介：宋群，女，songqunstar@163.com; 通信作者： 周長城，男，greatwall@sdut.edu.cn

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51575325); 山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2013EEM007); 山東省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2015GGX105006)

收稿日期：2015-03-26