岳　田, 宋曉秋

(1. 湖北汽車工業(yè)學院 理學院， 湖北 十堰 442002； 2. 中國礦業(yè)大學 理學院， 江蘇 徐州 221116)

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巴拿赫空間上斜演化半流的非一致指數(shù)不穩(wěn)定性的存在條件

岳田1, 宋曉秋2

(1. 湖北汽車工業(yè)學院 理學院， 湖北 十堰 442002； 2. 中國礦業(yè)大學 理學院， 江蘇 徐州 221116)

摘要：基于一致指數(shù)不穩(wěn)定的定義，引入了Banach空間中斜演化半流非一致指數(shù)不穩(wěn)定的概念，并用實例闡釋了二者的關(guān)系.借助于指數(shù)穩(wěn)定性的研究方法,討論了斜演化半流非一致指數(shù)不穩(wěn)定的特征，建立了其非一致指數(shù)不穩(wěn)定的2個充要條件.所得結(jié)論推廣了指數(shù)穩(wěn)定性及一致指數(shù)不穩(wěn)定性中的一些已有結(jié)果.

關(guān)鍵詞：斜演化半流； 非一致指數(shù)不穩(wěn)定性； 巴拿赫空間； 指數(shù)衰退

YUE Tian1, SONG Xiaoqiu2

(1.SchoolofScience,HubeiUniversityofAutomotiveTechnology,Shiyan442002,HubeiProvince,China; 2.CollegeofScience,ChinaUniversityofMiningandTechnology,Xuzhou221116,JiangsuProvince,China)

近年來，利用斜演化半流來研究無限維空間中演化方程的漸近性質(zhì)取得了長足發(fā)展.關(guān)于斜演化半流的概念首先由MEGAN等[1]引入，與演化算子、演化族、斜積流僅依賴于2個變量不同,其依賴于3個變量，進而利用斜演化半流來研究演化方程解的漸近行為似乎更為合理，尤其是在指數(shù)穩(wěn)定性方面.如文獻[2]給出Banach空間中斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的性質(zhì)刻畫，并得到了相應(yīng)性質(zhì)在一致集上的統(tǒng)一形式；文獻[3]利用Banach函數(shù)空間及Banach序列空間分別給出了線性斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)與離散特征；文獻[4]給出了線性斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)及離散型Barbashin定理；文獻[5]則采用類似于文獻[2]的方法，研究了斜演化半流非一致指數(shù)穩(wěn)定的若干性質(zhì)；文獻[6]定義了斜演化半流指數(shù)及多項式穩(wěn)定的若干形式，給出了相關(guān)概念間的關(guān)系，并得到了指數(shù)及多項式穩(wěn)定的積分特征.

與指數(shù)穩(wěn)定性相比，關(guān)于斜演化半流指數(shù)不穩(wěn)定性(膨脹性)的研究相對較少.如文獻[1]對斜演化半流的一致指數(shù)不穩(wěn)定性進行了研究，得到了DATKO相應(yīng)型結(jié)論[7]；文獻[8]給出了與斜演化半流的弱指數(shù)膨脹性相關(guān)的性質(zhì)，并利用Lyapunov函數(shù)刻畫了弱指數(shù)膨脹的相關(guān)特征；文獻[9]利用Banach函數(shù)空間及Banach序列空間分別給出了線性斜演化半流一致指數(shù)膨脹的充要條件.由于一致指數(shù)不穩(wěn)定條件太強，本文將在上述文獻的基礎(chǔ)上，給出Banach空間中斜演化半流非一致指數(shù)不穩(wěn)定性的概念，并探究其成立的一系列充要條件.

1預(yù)備知識

設(shè)(X,d)為一度量空間，V是一個Banach空間，將空間V上的范數(shù)及作用其上的有界線性算子全體B(V)上的范數(shù)記作‖·‖.記

I為恒等算子.

定義1[1-2]映射φ:T×X→X稱為X上的演化半流(evolutionsemiflow)，需滿足以下2個性質(zhì)：

(es1)φ(t,t,x)=x,?(t,x)∈+×X；

(es2)φ(t,s,φ(s,t0,x))=φ(t,t0,x),?(t,s),

(s,t0)∈T,?x∈X.

定義2[1-2]如果滿足如下性質(zhì)：

(ec1)Φ(t,t,x)=I,?(t,x)∈+×X；

(ec2)Φ(t,s,φ(s,t0,x))Φ(s,t0,x)=Φ(t,t0,x),?(t,s),(s,t0)∈T,?x∈X.

則稱映射Φ:T×X→B(V)為演化半流φ上的演化上循環(huán)(evolutioncocycle).

定義3[1-2]映射C:T×Y→Y，

C(t,s,x,v)=(φ(t,s,x),Φ(t,s,x)v),

(1)

稱為Y上的斜演化半流(skew-evolutionsemiflow)，其中Φ為演化半流φ上的演化上循環(huán).

關(guān)于斜演化半流的例子可參閱文獻[1-2]中的例子，此處省略.值得注意的是，C0半群、演化算子、演化族、斜積流均為斜演化半流的特殊情形.

定義4[2]如果對于?(t0,x,v)∈+×Y，映射在[t0,∞)上可測，則稱斜演化半流C=(φ,Φ)為強可測.

定義5[8]如果存在常數(shù)M≥1和ω>0使得

(2)

對?(t,s),(s,t0)∈T及?(x,v)∈Y成立，則稱斜演化半流C=(φ,Φ)為指數(shù)衰退的(exponentialdecay).

(3)

對?(t,s),(s,t0)∈T及?(x,v)∈Y成立，則稱斜演化半流C=(φ,Φ)為非一致指數(shù)不穩(wěn)定(nonuniformlyexponentiallyinstable).

注 1斜演化半流C=(φ,Φ)是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的，當且僅當存在非減函數(shù)N:+→[1,∞)和常數(shù)α>0使得

(4)

對?(t,t0,x,v)∈T×Y成立.

注2若定義6中N(t)=N≥1，則稱斜演化半流C=(φ,Φ)是一致指數(shù)不穩(wěn)定的(uniformlyexponentiallyinstable)[1]，顯然若C是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，則一定是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的，反之不一定成立.

ft(τ)=f(t+τ),?τ∈+.

則(X,d)為度量空間且映射

φ:T×X→X,φ(t,s,x)=xt-s

為X上的演化半流.令V=，考慮映射，其中ρ(t)=sint-tcost+2t，則其為一演化上循環(huán)，進而C=(φ,Φ)為斜演化半流.由于

ρ(t)-ρ(t0)=

sint-sint0-tcost+t0cost0+2t-2t0≥

t(1-cost)-t0(1-cost0)+t-t0-2≥

t-3t0-2，

進而可得

即

故C是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的.

假設(shè)C是一致指數(shù)不穩(wěn)定的，則存在常數(shù)N≥1和α>0使得對?(t,t0,x,v)∈T×Y，

現(xiàn)取t=2nπ+2π，t0=2nπ+π，則

從而矛盾，故C非是一致指數(shù)不穩(wěn)定的.

2主要結(jié)論

定理1斜演化半流C=(φ,Φ)是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的當且僅當存在兩非減函數(shù)f,g:+→[1,+∞)且g(t)=∞，使得

(5)

對?(t,s),(s,t0)∈T，?(x,v)∈Y成立.

證明必要性：取g(t)=eαt,?t≥0即可證.

充分性：設(shè)(t,s)∈T，δ>0且滿足g(δ)>1.則存在n∈和r∈[0,δ)，使得t-s=nδ+r.記

定理2設(shè)C=(φ,Φ)為一強可測的具有指數(shù)衰退的斜演化半流，則如下命題等價：

(i)C是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的；

(ii)存在非減函數(shù)ε:+→[1,∞)及常數(shù)v>0，使得對?(t,t0,x,v)∈T×Y，式(6)成立.

(6)

(iii)存在非減函數(shù)ε:+→[1,∞)使得對?(t,t0,x,v)∈T×Y，式(7)成立.

(7)

證明(i)?(ii)由定義6知，對?(t,s),(s,t0)∈T，?(x,v)∈Y，存在非減函數(shù)N:+→[1,∞)和常數(shù)α>0，使得

成立.

(ii)?(iii)顯然.

(iii)?(i)因為C具有指數(shù)衰退性，故存在常數(shù)M≥1和ω>0使得對?(t,s),(s,t0)∈T，?(x,v)∈Y，

(8)

成立.進一步，

(9)

結(jié)合式(8)、(9)，對?(t,t0,x,v)∈T×Y，

利用定理1，取f(t)=Meω t(1+ε(t))，g(t)=1+t，可得C=(φ,Φ)是非一致指數(shù)不穩(wěn)定的.

參考文獻(References)：

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Criteria for the existence of nonuniform exponential instability of skew-evolution semiflows in Banach spaces. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):181-183

Abstract:Based on the definition of uniform exponential instability, a skew-evolution semiflow with nonuniform exponential instability is presented in Banach spaces. An illustrating example is used to clarify the relationship between the two concepts. Exponential stability technique is applied to study the features of nonuniform exponential instability of skew-evolution semilflows. Two necessary and sufficient conditions concerning the nonuniform exponential instability of skew-evolution semiflows are given. The obtained conclusions are generalizations of the well-known results about the exponential stability and uniform exponential instability.

Key Words:skew-evolution semiflow; nonuniform exponential instability; Banach space; exponential decay

中圖分類號：O 175.13

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-181-03

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.010

作者簡介：岳田(1988-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-3371-5673,男，助教，碩士，主要從事微分系統(tǒng)的漸近行為研究,E-mail: ytcumt@163.com.

基金項目：湖北省自然科學基金資助項目(2014CFB629); 湖北汽車工業(yè)學院校預(yù)研基金項目(2014CFB629).

收稿日期：2015-08-06. 2015-08-06.