冀 敏 蔣 平（復(fù)旦大學(xué)物理系，上海 200433）

?

淺談兩種常用電勢零點(diǎn)選擇的兼容性

冀 敏 蔣 平
（復(fù)旦大學(xué)物理系，上海 200433）

摘 要高?；A(chǔ)物理教學(xué)必然涉及電勢的零點(diǎn)選擇．通常除選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)外，實(shí)用上還選地球的電勢為零．當(dāng)不考慮地球自身所帶的電荷時(shí)可將其看作一碩大的中性導(dǎo)體球．如地球周圍空間并無電荷分布，空間不存在電場；因而必與無窮遠(yuǎn)處等勢．如取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，地球的電勢必也為零．當(dāng)?shù)厍蛏戏植加邢揠姾蓵r(shí)，由于其電容很大，電勢改變甚微，仍可在一定近似程度上看作零；即地球和無窮遠(yuǎn)二者均取作電勢零點(diǎn)近似兼容．3．3×10(－5)C的正電荷分布在地球表面時(shí)電勢不到0．05V．但是，由于地球本身帶有負(fù)電荷，使其周圍存在指向地面的電場，地球和無窮遠(yuǎn)處取作電勢零點(diǎn)便不再兼容．

關(guān)鍵詞零電勢；電容；兼容

高?；A(chǔ)物理教學(xué)總要提到電勢零點(diǎn)選擇的問題．一個(gè)物理量的零點(diǎn)需要選擇，往往說明這個(gè)物理量的數(shù)值只有相對意義，所謂零點(diǎn)也只是一個(gè)數(shù)值不變的參考點(diǎn)；只有兩個(gè)數(shù)值之差才具有明確的物理意義．在物理教學(xué)中需要選擇零點(diǎn)的物理量并不鮮見，重力勢能或物體和地球之間的引力勢能就是一典型的例子．事實(shí)上重力勢能的零點(diǎn)可以選在重物與地心相距r時(shí)，而r可在0～∞之間任意變化．不過，在中學(xué)階段常取r＝R，R為地球半徑；即重物位處地面時(shí)為重力勢能的零點(diǎn)；但在高?；A(chǔ)物理教學(xué)里往往更喜歡取r＝∞為引力勢能的零點(diǎn)．然而，重力勢能的零點(diǎn)雖然可任意選擇，不同位置的勢能零點(diǎn)間卻并不兼容．例如選物體處地面時(shí)作引力勢能的零點(diǎn)就不能再認(rèn)為其距地心無窮遠(yuǎn)處時(shí)引力勢能為零．電勢也是需要選擇零點(diǎn)的物理量，而且在以上兩方面恰可以與重力勢能相對照．一是靜電勢的零點(diǎn)不能任意選擇，這是因?yàn)?，一般而言空間任意一點(diǎn)的電勢會(huì)受到我們所考慮的體系中電荷及電場分布的影響而改變．因此，如隨意將某點(diǎn)選做電勢零點(diǎn)并不能保證其電勢不會(huì)變化，從而失去電勢參考點(diǎn)的作用．二是靜電勢的零點(diǎn)雖然不能任意選取，可常用的兩種電勢零點(diǎn)——無窮遠(yuǎn)處和地球卻在一定的近似條件下兼容；就是說如將距電荷體系無窮遠(yuǎn)處選作電勢零點(diǎn)可同時(shí)將地球的電勢也看作零．幾乎每一本高?；A(chǔ)物理教材都會(huì)做這樣的交代：如我們感興趣的電荷體系分布在有限空間則可取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)（這是因?yàn)橛邢薹秶鷥?nèi)局域化的電荷分布或電場分布的變化并不能波及無窮遠(yuǎn)處，因而無窮遠(yuǎn)處的電勢永不改變，符合電勢參考點(diǎn)的要求）．同時(shí)，由于實(shí)際的靜電屏蔽和安全保護(hù)等方面的要求常將某導(dǎo)體接地，因而又常取地球的電勢為零．然而，只有不多的教材討論這兩處電勢零點(diǎn)選擇的兼容性［1］，就是說對電荷分布在有限空間的情形，如選取無窮遠(yuǎn)的電勢為零是否可同時(shí)認(rèn)為地球的電勢為零且不發(fā)生變化；反之亦然．

本文即對這一問題作比較詳細(xì)的分析，討論選取地球作電勢零點(diǎn)的合理性及其與無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的兼容性．

在分析這一問題時(shí)，我們首先不考慮地球本身所帶的電荷，即將地球看成一巨碩的電中性導(dǎo)體球．在這一模型的前提下，無疑，如空間不存在其他電荷，從地球表面直到無窮遠(yuǎn)處均不存在電場，地球和無窮遠(yuǎn)處沒有電勢差．因此，如選取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，地球電勢必也為零．如果地球附近存在導(dǎo)體系，其中有局域化的電荷分布，即電荷分布在地球附近的有限空間里，則可能因靜電感應(yīng)而在地表形成感應(yīng)電荷；或者因?qū)w接地而與導(dǎo)體系之間直接產(chǎn)生電荷交換從而也會(huì)在地表產(chǎn)生電荷分布．不過，由于如此形成的地球表面的電荷往往總量有限，且要分布在全部地球表面，除去與我們感興趣的電荷體系相距最近的部分（可稱為地球近端）而外，其他部分，包括與電荷體系相距最遠(yuǎn)的地球遠(yuǎn)端的電荷面密度實(shí)際為零，如圖1所示．如此，由于導(dǎo)體表面的電場強(qiáng)度為σ／ε0，σ為電荷面密度，ε0為真空介電常數(shù)，遠(yuǎn)端地表電場強(qiáng)度近似為零，而且從這一遠(yuǎn)端直至無窮遠(yuǎn)處均無電場，從而地球遠(yuǎn)端和無窮遠(yuǎn)處實(shí)際上無電勢差．又因?yàn)樽鳛榫薮髮?dǎo)體球的地球本身應(yīng)為一等勢體，便得到地球電勢仍為零的結(jié)果．換言之，即使空間存在電荷分布，只要電荷分布在有限空間且電荷量有限，無窮遠(yuǎn)處的零電勢便與地球選為電勢零點(diǎn)二者近似兼容．這一定性分析可以用一定量的例子予以佐證．設(shè)想兩等量同號(hào)的點(diǎn)電荷，彼此間相距1m時(shí)的排斥力為9．8N，即1kg物體的重力，則每個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量約為3．3×10－5C．而數(shù)量為3．3×10－5C的正電荷如均勻分布在地球表面，其電勢（將無窮遠(yuǎn)處選為電勢零點(diǎn)）約為47mV．可見，與“零”相差無幾；即在一定的近似程度下可以認(rèn)為地球電勢也為零．就是說，在通常所涉及的情形下認(rèn)為無窮遠(yuǎn)與地球均為零電勢并不會(huì)產(chǎn)生太大的誤差；或者說這兩種零電勢的選擇在一定的近似條件下是兼容的．其實(shí)，問題的關(guān)鍵在于地球“大”．將地球看作一巨型導(dǎo)體球，其電容C＝4πε0R很大，而電勢為為其上的電荷．可見，因?yàn)镽足夠大，這一大電容導(dǎo)體上有限的電荷變化并不能明顯地改變其電勢．

圖 1

下面就兩個(gè)常見的例子討論在體系涉及地球的情形如取地球和無窮遠(yuǎn)的電勢同時(shí)為零如何分析體系中的電勢分布．

例1：使一半徑為R1帶正電Q的導(dǎo)體球靠近一棒狀絕緣導(dǎo)體，如圖2所示．由于靜電感應(yīng)，導(dǎo)體棒近端C處出現(xiàn)感應(yīng)負(fù)電荷，因而導(dǎo)體球上的電荷及其周圍的電場分布要發(fā)生變化，不再有球?qū)ΨQ．值得注意的是，由于棒距導(dǎo)體球的遠(yuǎn)端D出現(xiàn)正電荷，其附近電場不為零，因而將單位正電荷由D點(diǎn)沿棒的軸線向右移至無窮遠(yuǎn)的過程中電場力做正功不為零．換言之，此時(shí)棒的電勢大于零．如此時(shí)再將D端接地，如圖3所示，則該處感應(yīng)正電荷應(yīng)消失而分布至全部地球表面．實(shí)際上導(dǎo)體棒此時(shí)已成為地球的延伸部分，當(dāng)然電勢由大于零降為零，因?yàn)樵贒處的正感應(yīng)電荷不復(fù)存在，影響消失．同時(shí)，由于導(dǎo)體棒C端感應(yīng)負(fù)電荷的影響，導(dǎo)體球的電勢低于孤立導(dǎo)體球的電勢．

圖 2

圖 3

圖 5

例2：這是一道經(jīng)典的練習(xí)題．設(shè)上述帶電導(dǎo)體球外同心套一內(nèi)外半徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼構(gòu)成一球形電容器，由于導(dǎo)體球自身帶正電荷Q，靜電感應(yīng)使球殼內(nèi)表面帶負(fù)感應(yīng)電荷－Q，而外表面則帶正感應(yīng)電荷Q．若此時(shí)將外殼接地，其外表面感應(yīng)電荷消失而分布至地球表面，如圖4所示．但球殼內(nèi)表面的電荷與球殼內(nèi)的電場分布均不改變．顯然，此時(shí)球殼外的電場實(shí)際上消失，球殼電勢應(yīng)近似為零；零電勢既是無窮遠(yuǎn)處的電勢也是地球的電勢，兩個(gè)電勢零點(diǎn)兼容．注意此時(shí)導(dǎo)體球的電勢為為此球形電容器的電容．如果現(xiàn)在將球殼接地線拆去，改使導(dǎo)體球接地，如圖5所示．在兩個(gè)電勢零點(diǎn)兼容的前提下導(dǎo)體球的電勢將從V降至地球的零電勢．其上電荷也由Q降至Q′，經(jīng)計(jì)算可得Q′＝同時(shí)，外球殼電勢也從零下降為負(fù)．導(dǎo)體球的這一電勢下降是由于導(dǎo)體球上正電荷的減少．此時(shí)，導(dǎo)體球和球殼間的電勢差下降至恰與球殼負(fù)電勢的絕對值相等．

應(yīng)該指出，如體系的電荷分布延伸至無窮遠(yuǎn)處，以上討論不再適用，因?yàn)榇藭r(shí)不再能選擇無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)．

必須強(qiáng)調(diào)的是，以上的討論都是以地球?yàn)殡娭行宰髑疤岬模聦?shí)上地球表面存在負(fù)電荷，而等量正電荷存在于電離層內(nèi)；因此可用一巨大的充電球形電容器來模擬地球附近的電學(xué)狀態(tài)．地球表面的電場達(dá)100V／m以上的高值［2］，一般而言是不應(yīng)被略去的．從這一點(diǎn)來說，如真取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，地球的電勢將為負(fù)數(shù)十萬伏，完全不能看作零．不過計(jì)及地球本身的電荷，由于地球碩大，雖然仍可將地球作為電勢的參考點(diǎn)取為零電勢，只是不再能將無窮遠(yuǎn)也取為電勢零點(diǎn)使二者兼容．而且，地球表面的一切靜電現(xiàn)象原則上應(yīng)考慮地球本身電場的作用．如要消除地球電場的影響，靜電學(xué)的實(shí)驗(yàn)應(yīng)在大的屏蔽室內(nèi)進(jìn)行．屏蔽室四壁和房頂、地板均用金屬網(wǎng)可靠接地，且作為實(shí)驗(yàn)對象的電荷體系也應(yīng)置于屏蔽室當(dāng)中而遠(yuǎn)離四壁、房頂和地面．這樣，接地的屏蔽網(wǎng)既可當(dāng)作地球的延伸，又可當(dāng)作無窮遠(yuǎn)而不受體系電場的影響．

參考文獻(xiàn)

［1］ 陳秉乾，王稼軍．電磁學(xué)［M］．北京：北京大學(xué)出版社，2003：34－35．

［2］ 張三慧．電磁學(xué)［M］．2版．北京：清華大學(xué)出版社，1999：115－116．

SHALLOW TALK ABOUT THE COMPATIBILITY OF TWO COMMON SELECTIONS FOR THE ZERO POINT OF ELECTROSTATIC POTENTIAL

Ji Min Jiang Ping
（Department of Physics，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433）

AbstractBasic physics teaching in college necessarily involves the choice of zero point of electrostatic potential．Usually infinity is chosen as zero point of electrostatic potential，but practically the electrostatic potential of earth is also chosen as zero．When the inherent negative charge on the earth is not considered，the earth can be modeled as a huge neutral spherical conductor．If there is no charge surrounding the earth，there is no electric field in space．So the earth has equal electrostatic potential to infinity．When the charge distribution on the earth is considered，there is just little change on its electrostatic potential because of the huge capacitance of the earth．Qualitative and quantitative analysis show that two selections of zero point of electrostatic potential are approximately compatible．For example，the potential of the earth is less than 0．05Vwhen the positive charge on its surface is 3．3×10(－5)C．However，due to the inherent negative charge on the earth，the electric field pointing to the ground exists surrounding the earth．In this case，the two selections of zero point of electrostatic potential are no longer compatible．

Key wordszero potential；capacitance；compatibility

通訊作者：蔣平，男，教授，主要從事物理教學(xué)與研究，科研方向?yàn)槟蹜B(tài)物理．pjiang＠fudan．edu．cn

作者簡介：冀敏，女，副教授，主要從事物理教學(xué)與研究，科研方向?yàn)獒t(yī)學(xué)物理．jimin01＠fudan．edu．cn

收稿日期：2015－10－16