李晶 付琨 胡萬彪

摘 要：數(shù)學(xué)在物理中的運用是整個高中物理學(xué)科體系和教學(xué)體系最為明顯的特征，也是學(xué)生最難理解和掌握的地方，更是我們在教學(xué)中應(yīng)該特別關(guān)注的點。本文在David Hestene和Ibrahim Halloun建模教學(xué)理論的基礎(chǔ)上提出從物理情境出發(fā)構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型，并論述了在高中物理課程中開展“物理-數(shù)學(xué)”建模教育的詳細策略。

關(guān)鍵詞：建模；“物理-數(shù)學(xué)”模型；物理情境

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）4-0019-5

受當(dāng)前課程體系中物理和數(shù)學(xué)相互獨立的影響，學(xué)生往往缺乏用數(shù)學(xué)的眼光來學(xué)習(xí)和解決物理問題的意識，這給高中物理教學(xué)帶來了一定的困擾。

本文結(jié)合亞利桑那州立大學(xué)理論物理學(xué)家David Hestene及其研究生Ibrahim Halloun關(guān)于建模教學(xué)（Modeling Instruction）的研究，論述如何在高中物理課程中建立“物理-數(shù)學(xué)”模型，并提出了構(gòu)建 “物理-數(shù)學(xué)”模型的詳細策略，旨在通過建?；顒右龑?dǎo)學(xué)生樹立“物理-數(shù)學(xué)”模型意識，學(xué)會在高中物理中合理地運用數(shù)學(xué)知識。

1 David Hestene、Ibrahim Halloun建模教學(xué)理論簡介

David Hestene是建模教學(xué)的創(chuàng)立者，他于上世紀(jì)80年代初期開始研究模型在物理教學(xué)中的發(fā)展和應(yīng)用，并一直得到“美國國家科學(xué)基金會”的資助[1]。

David Hestene認為，物理建模就是“在具體物理情景中，根據(jù)實踐需要建立物理模型，進而對物理模型進行分析討論，驗證其是否正確，最后將其應(yīng)用于解決問題”[2]。1995年David Hestene在他的論文《Modeling software for learning and doing physics： Thinking Physics for Teaching》中論述了建模的3個步驟：模型建立、模型分析、模型驗證，初步建立了物理建模教學(xué)的過程（如圖1所示）。

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圖1 David Hestene的建模過程[3]

Ibrahim Halloun在David Hestene的研究基礎(chǔ)上，進一步將模型分為范圍、成分、結(jié)構(gòu)、組織等4個維度，同時將建模過程細化為模型選擇、模型建立、模型驗證、模型分析、模型拓展等5個階段，強調(diào)根據(jù)個人的經(jīng)驗選擇合適的模型，并將已建立的模型進行遷移運用。

2 David Hestene、Ibrahim Halloun建模教學(xué)理論的啟示

David Hestene和Ibrahim Halloun建模教學(xué)的具體價值在于引導(dǎo)學(xué)生分析問題、構(gòu)建知識，這給筆者帶來如下啟示：

（1）在高中物理課程中運用數(shù)學(xué)工具的關(guān)鍵在于對相關(guān)物理問題進行“物理-數(shù)學(xué)”分析，并構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”知識體系；

（2）“物理-數(shù)學(xué)”知識體系的構(gòu)建即“物理-數(shù)學(xué)”建模；

（3）“物理-數(shù)學(xué)”模型指的是物理課程中體現(xiàn)物理現(xiàn)象、物理情境、物理概念和規(guī)律的數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)圖表、數(shù)學(xué)過程和數(shù)學(xué)關(guān)系，它具有明確的范圍、成分、結(jié)構(gòu)和組織；

（4）“物理-數(shù)學(xué)”建模指的是從物理現(xiàn)象、物理情境中挖掘出物理元素（即物理量）或參數(shù)，通過分析物理元素或參數(shù)的特征找出它們之間的數(shù)理關(guān)系，并通過數(shù)學(xué)方法建立和呈現(xiàn)出來；

（5）“物理-數(shù)學(xué)”分析一方面指的是分析物理元素或參數(shù)之間的數(shù)理關(guān)系，另一方面指的是運用“物理-數(shù)學(xué)”模型分析具體的物理問題，也就是Ibrahim Halloun在David Hestene的基礎(chǔ)上提出的模型驗證、模型分析和模型拓展；

（6）構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型是學(xué)生對相關(guān)物理問題進行“物理-數(shù)學(xué)”分析的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度分析物理問題、解決物理問題的能力的具體方案。

3 構(gòu)建 “物理-數(shù)學(xué)”模型的策略

3.1 構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的策略結(jié)構(gòu)

結(jié)合高中物理課程特點以及David Hestene、 Ibrahim Halloun的建模教學(xué)所帶來的啟示，筆者認為在高中物理課程中構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型需要把握住以下幾個關(guān)鍵點：

（1）“物理-數(shù)學(xué)”模型源自于具體的物理情境；

（2）“物理-數(shù)學(xué)”模型需要建立在實踐的基礎(chǔ)上；

（3）淺顯易懂是高中物理課程中“物理-數(shù)學(xué)”模型的最基本要求；

（4）學(xué)生感知到物理現(xiàn)象、物理情境中的數(shù)學(xué)知識是成功構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的關(guān)鍵。

結(jié)合上述關(guān)鍵點，本文提出了在高中物理課程中構(gòu)建 “物理-數(shù)學(xué)”模型的策略結(jié)構(gòu)（如圖2）。

上圖中的策略結(jié)構(gòu)在David Hestene、 Ibrahim Halloun建模理論的基礎(chǔ)上著重強調(diào)物理情境的分析，并強調(diào)學(xué)生對物理情境分析過程中情境元素、元素特征背后的數(shù)學(xué)過程、數(shù)學(xué)關(guān)系的感知。

3.2 構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的詳細論述

構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型離不開物理情境、實例和新物理情境中的實踐，下文將從“基于問題情境的‘物理-數(shù)學(xué)模型的選擇和建立”“基于實例的‘物理-數(shù)學(xué)模型的驗證與分析”幾個方面進行詳細論述。

3.2.1 基于物理情境的“物理-數(shù)學(xué)”模型的選擇和建立

一個有效的“物理-數(shù)學(xué)”模型的構(gòu)建依賴于具體的物理情境，學(xué)生需要借助物理情境來感知物理中的數(shù)學(xué)知識與運用，其處理過程如表1所示。

針對上表，在實際教學(xué)中應(yīng)把握住以下幾個問題：

（1）對問題情境的分析是“物理-數(shù)學(xué)”分析法的一部分，在實際課堂中要注重呈現(xiàn)和強調(diào)問題情境的分析過程，強調(diào)學(xué)生對這一過程的感知程度；

（2）在實際教學(xué)中盡量用圖形、圖表來呈現(xiàn)“物理-數(shù)學(xué)”模型，避免復(fù)雜的文字描述；

（3）經(jīng)驗在“物理-數(shù)學(xué)”模型的建立中有著重要的作用，所以在實際教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生去積累分析問題情境的方法以及常用的、重要的數(shù)學(xué)知識。

3.2.2 基于實例的“物理-數(shù)學(xué)”模型的驗證與分析

通過情境分析后建立的“物理-數(shù)學(xué)”模型的有效性和使用范圍需要進一步的檢驗、分析和調(diào)整。

檢驗可以依托實例進行，這些實例包括相關(guān)的物理實驗、物理現(xiàn)象和物理習(xí)題。在檢驗中可以引導(dǎo)學(xué)生從批判的角度對模型在實例中的運用進行分析，分析模型的范圍、成分、結(jié)構(gòu)和組織是否合理，并進行適度的調(diào)整。

3.2.3 基于新物理情境的“物理-數(shù)學(xué)”模型的拓展與運用

構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的目的在于學(xué)生會運用數(shù)學(xué)解決相關(guān)物理問題，克服數(shù)學(xué)在物理中的運用困境。在實際教學(xué)中，學(xué)生對“物理-數(shù)學(xué)”模型的運用包括了直接運用、遷移運用和綜合運用，其中遷移運用和綜合運用是模型的拓展運用，在解決問題時至關(guān)重要。

在實際教學(xué)過程中，一個成熟的“物理-數(shù)學(xué)”模型需要反復(fù)的運用和拓展。首先，可以將已建立的模型再次放回原有的物理情境中從數(shù)學(xué)的角度上解決問題；其次，可以選取相關(guān)或相似的新物理情境與原來的物理情境進行類比遷移，遷移運用“物理-數(shù)學(xué)”模型；最后，在高中物理的學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生樹立“數(shù)理不分家”的意識，學(xué)會用已經(jīng)積累的“物理-數(shù)學(xué)”模型去分析和解決部分復(fù)雜的物理問題。

當(dāng)然，討論和交流在“物理-數(shù)學(xué)”模型的拓展運用中也是幫助學(xué)生理解和遷移運用的重要手段。所以，在教學(xué)中要避免“一言堂”，鼓勵學(xué)生有新方法、新思維，創(chuàng)造積極的課堂氣氛與討論氣氛。

4 構(gòu)建 “物理-數(shù)學(xué)”模型的案例分析

本文選取人教版必修1 第三章第四節(jié)——《力的合成》為例，展示物理課程中構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型的教學(xué)過程，即“力的合成-向量運算”模型的構(gòu)建過程。

4.1 模型的選擇和建立

【物理情境】：一個成年人或兩個小孩都可以提起相同質(zhì)量的一桶水。

【情境分析】：

（1）情境元素：

①物理過程：提→力的作用。

②物 理 量：力（大人提水施加一個力F，小孩提水施加兩個力F1、F2。其中，F(xiàn)為合力，F(xiàn)1和F2為分力）。

③數(shù)學(xué)概念：若F1=1 N，F(xiàn)2=1 N，則F=2 N嗎？

（2）元素特征：

①力的數(shù)學(xué)特征：

力→既有大小又有方向（物理上定義為矢量）→即數(shù)學(xué)上的向量

②力F1、F2與F（即合力與分力）的數(shù)學(xué)關(guān)系：

合力與分力→分力的方向在同一直線上或不在同一直線上→向量運算法則。

模型一：若F1、F2同向，則F1+F2=F，方向沿F1和F2的方向；

模型二：若F1、F2反向，則F1-F2=F，方向沿較大的力的方向；

模型三：若F1、F2的方向不在一條直線上，則F1+F2≠F。

通過上述分析，我們初步建立了“力的合成-向量運算”的模型，范圍是力的合成，其成分、結(jié)構(gòu)和組織如上。

4.2 模型的驗證和分析

我們會發(fā)現(xiàn)上述模型是初步的，并未解決F1、F2的方向不在一條直線上時他們與F的關(guān)系如何具體表示，需要進一步分析和改進該模型。

在模型驗證階段我們可以選用砝碼、橡皮筋、白紙等器材，通過實驗定量的驗證并改進上述模型。模型一、模型二的驗證如圖3所示。

同樣，模型三的分析和改進也可以借助上述實驗，如圖4所示。

經(jīng)過驗證和分析后，合力F與分力F1、F2的關(guān)系可以建立如下“力的合成-向量運算”的“物理-數(shù)學(xué)”模型（如圖5）。

上述模型利用圖形和適量文字突出了力的矢量性及其數(shù)學(xué)運算過程，淺顯易懂，利于學(xué)生的理解和記憶。

4.3 模型的拓展與運用

在構(gòu)建上述模型后可引導(dǎo)學(xué)生進一步思考：速度和位移也是矢量，是否滿足上述模型？學(xué)生自然可以從力、速度、位移的本質(zhì)是矢量這一角度遷移開來，從而將該模型拓展到所有矢量的運算上。

4.4 構(gòu)建“力的合成-向量運算”模型與傳統(tǒng)教學(xué)過程的比較

《力的合成》這一節(jié)的傳統(tǒng)教學(xué)過程是：小孩提水引出合力與分力概念—提出兩個分力F1、F2相加是否等于F的問題—實驗探究得出兩個力合成時用平行四邊形。

但在實際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)：（下轉(zhuǎn)第25頁）（上接第22頁）“向量運算”需要在高二上學(xué)期才會在數(shù)學(xué)中講解，突然在物理中出現(xiàn)“平行四邊形法則”顯得比較突兀，學(xué)生也很難理解，在運用上也存在諸多困難。

而筆者所列舉的構(gòu)建“力的合成-向量運算”模型是通過物理情境分析找到力這一物理量與數(shù)學(xué)中向量的關(guān)系，并建立物理運算與數(shù)學(xué)運算的橋梁，并進行了有效拓展。這個過程中，強調(diào)學(xué)生參與物理情境的分析，并感知分析過程，解決了上述問題。

5 總結(jié)與展望

在高中物理課程中開展“物理-數(shù)學(xué)”建模教育是David Hestene、 Ibrahim Halloun建模理論的實際運用和延伸。它能夠培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力，能夠訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維，能夠從一定程度上解決當(dāng)前課程體系中數(shù)學(xué)進度普遍滯后于物理進度的困境。

當(dāng)然，在高中物理課程中開展“物理-數(shù)學(xué)”建模教育、構(gòu)建“物理-數(shù)學(xué)”模型在實際教學(xué)中仍需要開發(fā)更多的教學(xué)素材，開展更多的實際教學(xué)，形成更為完備的體系。

參考文獻：

[1]張靜，郭玉英.物理建模教學(xué)的理論與實踐簡介[J].大學(xué)物理，2013，32（2）：25—30.

[2]房金萍. 建構(gòu)物理模型在高中物理教學(xué)中的實踐研究[D].長春：東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2011.

[3]David Hestenes.Modeling games in the Newtonian World[J].American Journal of Physics1992，60（ 8 ）：732—748.

（欄目編輯 劉 榮）