付月敏

(河北師范大學 數(shù)學與信息科學學院,河北 石家莊　050024)

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Hamming圖H(D,q)與Hadamard乘法

付月敏

(河北師范大學 數(shù)學與信息科學學院,河北 石家莊050024)

摘要:本文給出了Hamming圖H(D,q)的標準模上的一組基，并討論了該基在 Hadamard乘法下的性質(zhì).

關鍵詞:Hamming圖； Hadamard乘法； 基

1預備知識

令Γ=(X,R)表示一個沒有重邊,沒有環(huán)的無向有限連通圖,其中X為頂點集,R為邊集.令?為Γ頂點之間的距離函數(shù).記D:=max{?(x,y)|x,y∈X},我們稱D為Γ的直徑.稱Γ是距離正則的,如果對于任意整數(shù)h,i,j(0≤h,i,j≤D),任意頂點x,y∈X,當?(x,y)=h時,數(shù)值

對于0≤i≤D,規(guī)定MatX(C)中矩陣Ai如下：

稱Ai為Γ的第i個距離矩陣,矩陣A1稱為Γ的鄰接矩陣,簡記為A.易知：

2完全圖及其標準模上的Hadamard乘法

任意兩個頂點都鄰接的簡單圖稱為完全圖,具有n個頂點的完全圖記為Kn.完全圖是直徑為2的距離正則圖[1].令A為Kn=(X,R)的鄰接矩陣,取定x∈X,A*=A*(x)為Kn的對偶鄰接矩陣,V=CX為其標準模.則由E0=|X|-1J可知

A0=I,A=J-I=|X|E0-I.

(1)

其中,

定義MatX(C)中矩陣Δ如下：

并且下式成立：

(2)

引理1符號如上所述,則有

1)AΔ=ΔA*;

2)A*Δ=ΔA.

證明： 由式(1),(2)可知

故1)式成立.同理2)式可證.

引理3設y∈X,且y≠x.則有

(3)

(4)

成立,其中Ⅱ為全1列向量.

證明： 由Δ的定義以及E0=n-1J和E0+E1=I事實結論可得.

引理4下面結論成立：

1)對于任意y∈X,且y≠x,有

(5)

2)對于不同的y,z∈X,且y,z≠x,且有

1)得證.同理2)可證.

引理5下面結論成立：

1)對于任意u∈V,

2)對于任意y∈X,且y≠x,有

3)對于不同的y,z∈X,且y,z≠x,有

由(4)和(5)有

2)得證.同理3)可證.

3Hamming圖及其標準模上的Hadamard乘法

定義1設Y是一個基數(shù)為q(q≥2)的有限集合,D為正整數(shù),Hamming圖H(D,q)的頂點集為X=YD.兩個頂點相鄰當且僅當這兩個序列僅有一個位置上的元素不同.

定義2 設圖Γ=(X,R)和圖?！?(X′,R′),規(guī)定?！力！錇轫旤c集合X×X′的圖.頂點(u,v)與頂點(u′,v′)鄰接當且僅當或者u=v且u′與v′在圖?！渲朽徑?或者u′=v′且u與v在圖Γ中鄰接.我們稱Γ×?！涫铅ＥcΓ′的卡氏積.

定義3文獻[6，p.404]對于任意B∈MatX′(C)和B′∈MatX′(C),規(guī)定B?B′為MatX×X′(C)中矩陣,且((u,u′),(v,v′)的值等于B的(u,v)值與B′的(u′,v′)值之積.我們稱B?B′為B與B′與的張量積.

由文獻[3,p.107]有

(B1?B1′)(B2?B2′)=(B1B2)(B1′B2′);

(6)

B?(γ1B1′+γ2B2′)=γ1B?B1′+γ2B?B2′;

(7)

(γ1B1′+γ2B2′)?B=γ1B1′?B+γ2B2′?B,

其中,γ1,γ2∈C.

引理6文獻[6.p.404]Hamming圖H(D,q)可以看做D個Kq的卡氏積,即Kq×Kq×…×Kq則H(D,q)的鄰接矩陣A為

(8)

其中,I1為q×q的單位矩陣.H(D,q)的對偶鄰接矩陣A*為

(9)

(10)

構成V的一組基.

定義4取定x∈X,規(guī)定MatX(C)中矩陣Δ為

(11)

由(6)可知Δ可逆,并且其逆元

(12)

引理8符號如上所述,則有

1)AΔ=ΔA*;

2)A*Δ=ΔA.

證明： 由(7),(8)和(11)可知

由引理1,式(9),(7)和(11)可知上式為

從而1)得證.同理2)可證.

對于任意y,z∈X,設

(13)

是其中兩個元素,由(3.12)，(3.13)和引理7可知

對于任意y,z∈X,有

(14)

下面給出本文的主要結論.

定理1符號如上所述,下面結論成立：

1)對于任意u∈V,

2)對于任意y∈Γ(x)有

3)對于不同的y,z∈Γ(x)有

再由引理5知1)成立.

從而3)式成立.

參考文獻：

[1]BrouwerA.E.,CohenA.M.andNeumaierA.Distance-RegularGraphs[M].Springer,Berlin,1989.

[2]馮克勤,章璞,李尚志.群與代數(shù)表示引論[M].合肥: 中國科學技術大學出版社,2006.

[3]EvesH.ElementaryMatrixTheory[M].AllynandBaconInc.,Boston,1966.

[4]BiggsN.AlgebraicGraphTheory[M].Secondedition,CambridgeUniversityPress,Cambridge,1993.

[5]TerwilligerP.Thesubconstituentalgebraofanassociationscheme,(PartI)[J].J.AlgebraCombin.,1992,1(4):363-388.

Hamming graphsH(D,q) and Hadamard multiplication

FU Yue-min

(CollegeofMathematicsandInformationScience,HebeiNormalUniversity,ShijiazhuangHebei050024，China)

Abstract:In this paper，we give a base |y∈X} for the standard module of Hamming graphs H(D,q),and discuss the properties of the base under the Hadamard multiplication.

Keywords:Hamming graphs;Hadamard multiplication; Base

中圖分類號：O157.5

文獻標識碼：A

文章編號：1001-9383(2016)01-0001-06

作者簡介:付月敏,女,河北人,碩士研究生,主要研究方向為代數(shù)與代數(shù)組合.

基金項目:河北省自然科學基金項目(A2013205021)

收稿日期：2016-02-17