王建國

摘要：本文從人類對數(shù)的認(rèn)識與發(fā)展，揭示了自然數(shù)的四個基本屬性：數(shù)量屬性；占位屬性；進(jìn)位屬性；種屬屬性. 進(jìn)而引出了一門新的數(shù)學(xué)——眾數(shù)學(xué)及眾運(yùn)算，旨在從自然數(shù)的本質(zhì)重新認(rèn)識數(shù)學(xué)、詮釋數(shù)學(xué).

關(guān)鍵詞：自然數(shù)；自然屬性；眾運(yùn)算；眾數(shù)學(xué)

人類對數(shù)的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的歷史過程：從一個人、一棵樹、一株草、一只雞、一條魚、一頭豬、一座山、一潭水、一把椅子、一張席子、一片森林…抽象出自然數(shù)“1”，標(biāo)志著人類的文字記錄、文明時代開始于對數(shù)的概念認(rèn)識。從兩只眼睛、兩雙手、兩只胳膊、兩條腿、兩只腳…抽象出自然數(shù)“2”，使人類第一次認(rèn)識到狩獵數(shù)量的增加與數(shù)的概念上數(shù)量增加是一致的對等的，從而使人類開始脫離于物質(zhì)計(jì)數(shù)器（如貝殼、樹枝、石子、竹片、結(jié)繩等），以純粹的數(shù)字來計(jì)量計(jì)數(shù)。男女雙方因喜悅組建家庭，女人分娩生產(chǎn)出小孩，導(dǎo)致家庭的人口數(shù)量增加到三個，隨著人口數(shù)量的進(jìn)一步再增加，形成了一個大家庭，同姓氏人口融合群居構(gòu)成一個大家族，再由血緣關(guān)系、地域關(guān)系進(jìn)而組成氏族、部落、公社或氏族聯(lián)盟、部落聯(lián)盟，最后形成獨(dú)立于其它種族的一個個民族、一個個國家。一朵花、二朵花不能成為花園，三朵花以上便組成一個大花園；一棵樹、二棵樹不能成為一座森林，三棵樹以上便可以組成一個大森林。所以獨(dú)花不能開放，獨(dú)木不能成林。人類便從物體的數(shù)量累加，抽象出自然數(shù)“3”。通過類比、延伸抽象出其它自然數(shù)：4、5、6、7、8…。那便是順理成章的事。因此，老子在《道德經(jīng)》中所言：“一生二，二生三，三生萬物”。通過對自然數(shù)的重新認(rèn)識，使我們知道自然數(shù)遵循物質(zhì)的四個自然屬性。

一、第一種屬性是數(shù)量屬性

這是自然數(shù)最本質(zhì)的自然屬性。自然數(shù)是一個抽象概念，獨(dú)立于自然物質(zhì)，有別于自然物質(zhì)。具體體現(xiàn)在兩點(diǎn)上：一是任何一個自然數(shù)都是由單位累積起來的；二是每一個自然數(shù)都有一個后繼者。因此，1889年數(shù)學(xué)家皮亞諾以自然數(shù)的數(shù)量屬性為基礎(chǔ)，建立起了有關(guān)自然數(shù)的五條公理，這里限于篇幅略去。

自然數(shù)的數(shù)量屬性，使物質(zhì)集合（野獸、石子、花果、種子等）與數(shù)量集合建立起了一一對應(yīng)的對等關(guān)系，標(biāo)志著人類認(rèn)識走向了數(shù)量化的認(rèn)識之路，即數(shù)學(xué)之路。

自然數(shù)是人類認(rèn)識事物、認(rèn)識世界的一大進(jìn)步。正因?yàn)橛辛俗匀粩?shù)的這個數(shù)量屬性（即與物體的數(shù)量對等性），使人類開始大面積地從宏觀上把握認(rèn)識事物、世界、宇宙。由于狩獵數(shù)量的增多、物品的剩余，人類開始思考如何按人進(jìn)行分配物品，引發(fā)了“分?jǐn)?shù)”的概念。古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員希帕索斯（Hippias）發(fā)現(xiàn)了邊長為1的正方形（單位正方形）的對角線與邊長的不可公度性，被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派集體封殺，據(jù)說把希帕亞斯拋入大海葬身魚腹，但他的偉大認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)，沒有被淹沒，卻載入了史冊。后來，人們在解方程的問題上，提出了“負(fù)數(shù)”的概念，完成了無理數(shù)到實(shí)數(shù)再到復(fù)數(shù)的數(shù)的擴(kuò)充，再由復(fù)數(shù)把數(shù)擴(kuò)充到多元數(shù)、向量、矩陣、張量…體現(xiàn)了人類由有限到無限的認(rèn)識過程。但是不符合唯物辯證法的認(rèn)識過程：有限→無限→有限。也就是說數(shù)擴(kuò)充后沒有從無限認(rèn)識回到有限認(rèn)識中來，僅僅是向無窮方向?qū)訉油七M(jìn)。與復(fù)數(shù)有聯(lián)系的多元數(shù)、向量、矩陣、張量等不是數(shù)，但是有運(yùn)算，也是層層向無窮延伸逐步推進(jìn)。

下面羅列歸結(jié)為：

從數(shù)的擴(kuò)充以及到實(shí)數(shù)公理系統(tǒng)的確立，人類對數(shù)的認(rèn)識缺少了——把數(shù)由無限認(rèn)識再回到有限認(rèn)識的一個環(huán)節(jié)，這是數(shù)學(xué)認(rèn)識與哲學(xué)認(rèn)識共同缺失的鏈節(jié)。我們要做的就是建立一種新的數(shù)論來彌補(bǔ)上這個缺失，即在后面提出并建立的一門新的數(shù)學(xué)——眾數(shù)學(xué)。這門新的數(shù)學(xué)可以完成數(shù)學(xué)由有限到無限的認(rèn)識，再由無限到有限的認(rèn)識。這與哲學(xué)上經(jīng)常講的“從實(shí)踐中來，再到實(shí)踐中去”，是一脈相承的。所以，數(shù)學(xué)老師以及數(shù)學(xué)書籍常常強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)，“來源于生活，用之于生活”，是有著深刻的道理的。

二、第二種屬性是占位屬性

原始社會是狩獵、捕魚、種植的農(nóng)耕時代。每天打下的野獸、捕到的魚、采摘的果實(shí)不僅有物品之分、數(shù)量之分，還要進(jìn)行分配。否則，剩余要進(jìn)行倉儲管理、占據(jù)一定空間。其實(shí)，自然數(shù)在形成之初就具備了這種天然基因——自然占有空間位置。如243個人、243只雞、243條魚，抽象出數(shù)量“243”，如何再分配給每一個人呢？筆者通過認(rèn)識思考發(fā)現(xiàn)：如果把每一個位置上的數(shù)字從整體上考慮，你就會發(fā)現(xiàn)把243各位數(shù)字相加得到一個新的數(shù)量結(jié)果，即2+4+3=9。

當(dāng)然，你把243這個數(shù)字輪換變成了234、324、342、423、432。其各位數(shù)字相加得到的結(jié)果仍然是“9”。不妨你試試。這是巧合嗎？這是偶然嗎？顯然，拋開這6個數(shù)字的形式，我們發(fā)現(xiàn)這6個數(shù)只是與2、3、4三個數(shù)有關(guān)。因?yàn)檫@三個數(shù)相加的結(jié)果就是：2+3+4=9。

在這里把243的各位數(shù)字相加得到的結(jié)果的運(yùn)算，稱之為“眾數(shù)和”運(yùn)算。

234的各位數(shù)字相減得到的結(jié)果是：-2-3-4=-9；把243這個數(shù)字輪換變成234、324、342、423、432，其各位數(shù)字相減得到的結(jié)果仍然是“-9”。

在這里把243的各位數(shù)字相減得到的結(jié)果的運(yùn)算，稱之為“眾數(shù)差”運(yùn)算。

234的各位數(shù)字相乘得到的結(jié)果是：2×3×4=24，再把24的各位數(shù)字相加得到的結(jié)果是：2+4=6；24的各位數(shù)字相減得到的結(jié)果是：-2-4=-6；24的各位數(shù)字相乘得到的結(jié)果是；2×4=8。把243這個數(shù)字輪換變成234、324、342、423、432，這五個數(shù)字的各位數(shù)字相加、相減、相乘得到的結(jié)果與234一樣。

在這里把243的各位數(shù)字相乘得到的結(jié)果的運(yùn)算，稱之為“眾數(shù)積”運(yùn)算。把各位數(shù)字相除得到的結(jié)果的運(yùn)算，稱之為“眾數(shù)商”運(yùn)算。在這里，把眾數(shù)和、眾數(shù)差、眾數(shù)積、眾數(shù)商的幾種運(yùn)算，統(tǒng)稱為“眾運(yùn)算”，其建立的數(shù)學(xué)統(tǒng)稱為“眾數(shù)學(xué)”。在這里暫且不討論眾數(shù)學(xué)的眾運(yùn)算規(guī)律與法則，有興趣的讀者可閱讀筆者即將出版的《眾數(shù)學(xué)》有關(guān)章節(jié)內(nèi)容。

三、第三種屬性是進(jìn)位屬性

同一個數(shù)可以用不同的進(jìn)位制來表示。如：十進(jìn)數(shù)35（10），可以用二進(jìn)制表示為100011（2），可以用三進(jìn)制表示為1022（3），可以用五進(jìn)制表示為120（5），可以用八進(jìn)制表示為43（8），可以用十六進(jìn)制表示為23（16）。

一般情況下，整數(shù)運(yùn)算的加減乘除是十進(jìn)制運(yùn)算，而對整數(shù)進(jìn)行眾數(shù)和運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)整數(shù)又是遵循嚴(yán)格的精準(zhǔn)“九進(jìn)制”運(yùn)算，不重復(fù)、不遺漏。如觀察整數(shù)1～45的眾數(shù)和是1、2、3、4、5、6、7、8、9，這里是指最小的眾數(shù)和，其中“9”相當(dāng)于十進(jìn)制中的“0”，只起占位和進(jìn)位意義。

不同的進(jìn)位制在不同的領(lǐng)域有著不同的用途。如二進(jìn)制廣泛應(yīng)用在計(jì)算機(jī)方面；三進(jìn)制主要用在軍隊(duì)編制方面；八進(jìn)制廣泛應(yīng)用在計(jì)算機(jī)方面；十進(jìn)制最為常用，主要應(yīng)用在人們的日常生活中；十二進(jìn)制主要應(yīng)用在計(jì)算月份、時辰、天干地支；二十進(jìn)制被瑪雅文明使用過；六十進(jìn)制主要應(yīng)用在計(jì)算時間上（秒、分）。

四、第四種屬性是種屬屬性

不同民族不同國家曾使用過不同的進(jìn)位制，但目前幾乎所有國家均采用十進(jìn)制。原始社會由于人們的認(rèn)識水平低，對事物的劃分比較膚淺。如按照性別把人分為男人與女人；按照事物的數(shù)量分為多與少；按照擁有物品把財(cái)產(chǎn)分為有與無財(cái)產(chǎn)；按照天氣的溫度分為冷與熱。按照人的品格把人分為好人與壞人。按照數(shù)的奇偶性把整數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)。按照數(shù)的大小性把整數(shù)分為正數(shù)與負(fù)數(shù)…

人類社會早期，人們認(rèn)識到同一事物內(nèi)部存在著相互對立的兩個方面。如有無、多少、大小、方圓、曲直、繁簡、聚散、長短、疏密、動靜、虛實(shí)、剛?cè)?、正?fù)、高低…在一定范圍內(nèi)也存在著相互對立的事物或勢力。如男與女、賓與主、敵與我、好人與壞人…無論多么復(fù)雜的物質(zhì)或現(xiàn)象，這種普適規(guī)律——對立統(tǒng)一關(guān)系都存在。這種認(rèn)識是樸素的、簡單的、直接的，是一分為二的，這種既對立又統(tǒng)一的觀點(diǎn)，在中國古代用陰陽二字來概括，稱之為陰陽學(xué)說；在西方稱之為對立統(tǒng)一規(guī)律。一分為二的陰陽概念抽象為集合概念，能分析揭示出自然界對立事物的根本變化原因及其根本規(guī)律。同樣，用陰陽關(guān)系來代替對立事物的關(guān)系以及矛盾雙方的相互關(guān)系，似乎很有概括性，一直沿用了中國上下幾千年，并影響左右著中國傳統(tǒng)文化以及世界文化。故《類經(jīng)陰陽類》說：“陰陽者，一分為二也”。哲學(xué)上的“陰陽觀”、“一分為二”的觀點(diǎn)，與數(shù)學(xué)上的二進(jìn)制算術(shù)系統(tǒng)相對應(yīng)相聯(lián)系，是哲學(xué)系統(tǒng)與數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相互聯(lián)系與統(tǒng)一。

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