張卓，尹曉麗

（山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院，山西 太原 030031）

在概率論中,全概率公式與貝葉斯公式是十分重要的一組公式,它們是處理復(fù)雜隨機事件有關(guān)概率問題的得力工具。教學(xué)中既是重點也是難點，以下通過一則實例展開教學(xué)初探。

【實例】某地區(qū)肝癌發(fā)病率為0.04%。在該地區(qū)進行血檢，肝癌患者化驗呈陽性概率為99%，健康人化驗呈陽性概率為0.1%?，F(xiàn)從中隨機抽查一人，求化驗為陽性的概率。

【初窺】化驗呈陽性有兩種可能：患者化驗呈陽性或正常人化驗呈陽性。所以，呈現(xiàn)陽性這一結(jié)果確實是受多種因素影響的復(fù)雜隨機事件，將其設(shè)為B。導(dǎo)致B 發(fā)生的原因設(shè)為完備事件組。設(shè)A：在該地區(qū)隨機抽查一人為患者。A：在該地區(qū)隨機抽查一人為健康人。由全概率公式可知，B 事件的概率可拆分為兩個互斥的，受單因素影響的事件概率之和，即：

【再窺】事實上，普查的目的并不在此，而是想知道化驗為陽性的人是否真的患病。故提出新問題：“已知某人檢查結(jié)果呈陽性，求其確為癌癥患者的概率”，即已知結(jié)果事件B 發(fā)生了，求事件A 發(fā)生的概率，這樣的問題屬于貝葉斯理論研究的范疇。下面我們來看貝葉斯公式：

設(shè)A1，A2，…An…是一個完備事件組，且P（B）＞0，P（A1）＞0（i=1，2，…），

此處引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)：等號左側(cè)為條件概率，按公式展開，分母按照全概率公式展開，考慮各個情形下事件B 發(fā)生的概率，分子按照乘法公式展開，考慮單一因素影響下事件B 發(fā)生的概率，即可得貝葉斯公式。

貝葉斯公式貌似簡單，就是條件概率公式、乘法公式、全概率公式的重組，但它的出現(xiàn)引發(fā)了概率界的巨大變化，出現(xiàn)了貝葉斯學(xué)派、貝葉斯統(tǒng)計。這是因為在此之前的概率，均為正向概率，如分母上的全概率公式，是計算結(jié)果的概率，是從原因到結(jié)果的正向思維。而貝葉斯公式是在結(jié)果發(fā)生后，反推其原因的概率，是逆向思維，又稱為逆概公式，是質(zhì)的飛躍。

下面利用貝葉斯公式來解決以上提到的新問題“已知化驗結(jié)果呈陽性，問確實為癌癥患者的概率”。依照貝葉斯公式，代入數(shù)據(jù)可得，結(jié)果為P（A|B）＝0．2846。這表明醫(yī)務(wù)工作者僅憑一次化驗為陽性就判斷此人為癌癥患者的把握并不到3 成。于是建議此人復(fù)查。若化驗結(jié)果仍為陽性，則幾乎可以認定他是患者，而不是懷疑。如何解釋態(tài)度的轉(zhuǎn)變呢？ 下面我們將其量化，具體計算第二次試驗為陽性的條件下，此人為患者的概率。注意此時我們就不能再利用P（A）=0.04%來計算分母了。因為此人第一次化驗結(jié)果呈陽性。有了這一新信息的加入，判斷他患病的可能性就增大至0.2846，而非對自然人群患病率的判斷0.04%。再次使用貝葉斯公式，代入數(shù)值計算可得結(jié)果為0.997。

【三窺】這三個概率的關(guān)系：本例中患病的概率P（A）先于試驗，是在沒有已知任何復(fù)雜事件是否發(fā)生的情況下人們通過已有的經(jīng)驗給出的，稱為先驗概率。P（A|B）是在增加了結(jié)果（檢驗出陽性）發(fā)生的這個新信息后，對原因事件發(fā)生概率P（A）的重新判斷，后于試驗，稱為后驗概率。故，貝葉斯公式的作用可看作是由先驗概率獲得后驗概率，再由后驗概率修正先驗概率。比如第一次做化驗后，醫(yī)務(wù)人員就用后驗概率0.2846 修正了先驗概率0.0004，從而懷疑此人患病。復(fù)查后醫(yī)務(wù)人員對其患病這一事件態(tài)度的轉(zhuǎn)變正是源于用第二次試驗后的后驗概率0.997 修正了先驗概率0.2846，是對先驗概率的重新認識。只要細心觀察，貝葉斯公式無處不在，馬航搜救正是利用了貝葉斯理論，在獲得新信息后不斷修正并確定新的搜救范圍來尋找失聯(lián)客機。

【總結(jié)】全概率公式與貝葉斯公式都是原有知識的重組，是條件概率、乘法概率公式結(jié)合的產(chǎn)物，它們的應(yīng)用背景都是處理受多重因素影響的復(fù)雜隨機事件的概率問題。不同之處在于：由因索果用全概，執(zhí)果溯因用逆概。