摘 要 從光瞳濾波器超分辨特征參數(shù)的基本定義出發(fā)，給出了超分辨特征參數(shù)的解析模型，依據(jù)該模型對振幅型和位相型光瞳濾波器的超分辨性能進行了分析和比較，給出不同類型光瞳濾波器的適用范圍及特點。

關(guān)鍵詞 超分辨 光瞳濾波器 解析模型 信息光學

中圖分類號：TN713 文獻標識碼：A

0引言

Toraldo di Francia在光學領(lǐng)域引入超分辨天線后，人們意識到光學成像系統(tǒng)的分辨能力的限制是可以突破的。他指出，在相干光學系統(tǒng)的出射光瞳或入射光瞳中增加一個由無限窄的同心圓環(huán)或有限寬的同心圓環(huán)組成的光瞳濾波器，該光瞳濾波器每個圓環(huán)具有不同的振幅和位相透過率，這樣在理論上可以提高光學系統(tǒng)的分辨率。近年來，人們采用了多種方法來設(shè)計和研究光瞳濾波器。目前超分辨光瞳濾波器主要有振幅型光瞳濾波器、位相型光瞳濾波器、復(fù)振幅光瞳濾波器。本文根據(jù)光瞳濾波器超分辨特征參數(shù)的定義，設(shè)計了超分辨特征參數(shù)的解析模型，依據(jù)該模型對振幅型和位相型光瞳濾波器的超分辨性能進行了分析和比較。

1 理論分析

根據(jù)Born和McCutchen的理論，當光學系統(tǒng)被強度均勻的單色光照明時，光瞳函數(shù)為P（ ）時，焦點附近的復(fù)振幅 U 的歸一化分布可以表示為：

其中 為歸一化的半徑，J0（v ）為零階貝塞爾函數(shù)。經(jīng)典的衍射極限是在假設(shè)P（ ）=1的條件下得到。

假設(shè)系統(tǒng)的圓光瞳函數(shù)P（ ））是圓對稱的，而且有t= 2，在通過一系列的理論和近似下，焦平面附近的橫向振幅分布可以表示為：

對于一個純振幅型光瞳濾波器，In為實數(shù)，因此焦平面上的強度分布可以表示為如下形式：

由上式求導可以得出為了實現(xiàn)光學系統(tǒng)的超分辨，我們必須減小，即必須增大出射光瞳上的相對強度I1。

同理，焦點附近的軸向復(fù)振幅可以表示為：

對上面得到的橫向和軸向強度的中心分別歸一化可以得到：

對于不加光瞳濾波器時，我們可以得出其橫向和軸向的強度分別為：

如果定義加入光瞳濾波器后的強度點擴散函數(shù)的寬度與不加光瞳濾波器的強度點擴散函數(shù)的寬度的比為超分辨因子，可以得出橫向和軸向超分辨因子分別為：

同樣如果定義斯特爾比為加入光瞳濾波器和不加光瞳濾波器的最大強度之比，可以得出：

目前，大部分振幅型光瞳濾波器都是根據(jù)此設(shè)計的。

如果光瞳濾波器的位相變化可用 （ ）表示，為歸一化的徑向坐標，則系統(tǒng)焦點附近的橫向和軸向振幅分布可以分別表示為：

如果系統(tǒng)的位相透過率 （ ）是連續(xù)變化的，那么為了計算其強度分布必須對上面的式子進行積分；如果 （ ）不是連續(xù)的，而是隨著區(qū)域的不同而不同的話，我們對橫向的和軸向的振幅分布進行重新的表示，便可得出位相型光瞳濾波器焦點附近的橫向和軸向的強度點擴散函數(shù)分別為：

一般用光斑尺寸G、斯特兒比S和旁瓣強度M來表述光學系統(tǒng)的超分辨特性，要想達到好的超分辨效果，光斑尺寸G和旁瓣能量M盡量小的同時，使系統(tǒng)的斯特爾比S盡可能的大。

2振幅型和位相型超分辨光瞳濾波器成像特性分析

2.1 振幅型光瞳濾波器

依據(jù)特征參數(shù)解析模型對振幅型光瞳濾波器（即 j=0，j=1，2，…，n）的超分辨成像特性進行分析。以二區(qū)漏光型環(huán)形光瞳為例，其光瞳函數(shù)P（ ）可表示為：

其中k為光瞳濾波器的振幅透射率，a為歸一化半徑。

令t=（1 a2）/k，利用冪級數(shù)近似，可以得到振幅型光瞳超分辨光學系統(tǒng)的G 和S分別為：

由式2.2-2.4可得：當區(qū)域半徑a給定時，隨著漏光區(qū)域透射率k的增大，GT增大，橫向超分辨性能下降，但GT<1。隨著k的增大，多數(shù)情況下GA減小，軸向超分辨性能改善，但GA>1。隨著k的增大，S增大，光能損失減小。當k給定時，隨著a的增大，GT減小，橫向超分辨性能改善；而多數(shù)情況下GA增大，軸向超分辨性能下降。因此，利用振幅型光瞳濾波器實現(xiàn)光學超分辨效果并不顯著，且光能損失大。

2.2 位相型光瞳濾波器

依據(jù)特征參數(shù)解析模型對位相型光瞳濾波器（即tj=0，j=1，2，…n）的超分辨成像特性進行分析。以二區(qū)二值型位相光瞳濾波器為例，其光瞳函數(shù)P（ ）可表示為：

其中 為光瞳濾波器的位相透過率，b為歸一化半徑。

計算表明：超分辨特征參數(shù)GT和GA的變化閾明顯大于振幅型光瞳濾波器的G值變化閾，S隨著超分辨特征參數(shù)GT和GA的減小而減小，超分辨效果越顯著，光能損失越大。對于給定的位相參數(shù)，多數(shù)情況下，GT<1，S<1但GA>1；且在GT減小的同時GA增大，S減小。即光學系統(tǒng)橫向分辨力提高的同時，軸向分辨力下降，光能損失增大。

3小結(jié)

從光瞳濾波器超分辨特征參數(shù)的基本定義出發(fā)，根據(jù)超分辨特征參數(shù)的解析模型，對振幅型光瞳濾波器的成像特性進行了理論分析，指出利用這類光瞳濾波器實現(xiàn)光學超分辨效果不顯著，且光能損失大。對于位相型光瞳濾波器，其橫向分辨能力提高的同時，軸向分辨能力下降，光能損失增大。這將為在理論上研究和設(shè)計超分辨光瞳濾波器提供一種方法和手段。

參考文獻

[1] Toraldo di F. G..Super-gain antennas and optical resolving power[J]. Nuovo Cimento，1952，9（3）：426-438.

[2] 南玉杰，朱化鳳，徐丹，等.兩區(qū)復(fù)振幅光瞳濾波器的優(yōu)化設(shè)計研究[J].光子學報，2011，40（S1）：41-45.

[3] 南玉杰，朱化鳳，王秀民，等.基于貝塞爾函數(shù)的位相型超分辨光瞳濾波器[J]. 中國石油大學勝利學院學報，2015，29（1）：41-44.

[4] Born M，Wolf E.Principle of Optics [M].London：Pergamon Press，1975.

[5] McCutchen C W.Generalized aperture and the three-dimensional diff- raction image[J].Opt.Soc.Am，1964，54（2）：240-244.