張　薇， 韓　勇， 金　銘， 喬曉林

(1.哈爾濱工業(yè)大學 電子與信息工程學院，150001 哈爾濱; 2.哈爾濱工業(yè)大學(威海) 信息工程研究所，264209 山東 威海)

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基于均勻圓陣的矢量重構(gòu)解相干算法

張薇1， 韓勇2， 金銘2， 喬曉林2

(1.哈爾濱工業(yè)大學 電子與信息工程學院，150001 哈爾濱; 2.哈爾濱工業(yè)大學(威海) 信息工程研究所，264209 山東 威海)

摘要:為解決基于均勻線陣矢量重構(gòu)法不能直接用于均勻圓陣這一問題，提出一種模式空間矢量重構(gòu)算法.提取模式變換后最大廣義特征值對應的特征矢量，并對修正的信號特征矢量采用前后矢量重構(gòu)方式構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣實現(xiàn)解相干.在變換前提取最大特征值對應的信號特征矢量，充分去除噪聲，且無需變換后廣義特征分解計算，算法復雜度顯著降低. 理論分析和仿真結(jié)果驗證了該算法的有效性.

關鍵詞:相干信源；波達角估計；模式空間；信號特征矢量；均勻圓陣

波達方向DOA(Direction of arrival)估計是陣列信號處理研究的重要內(nèi)容之一，在雷達、聲吶、通信等領域有著廣闊的應用前景．傳統(tǒng)的MUSIC、ESPRIT等子空間類算法在信源獨立或相關情況下具有良好的估計性能，但實際中廣泛存在的多徑傳播及同頻干擾使這些算法的估計性能急劇下降甚至失效．目前基于均勻線陣已有一些優(yōu)良的解相干算法，如空間平滑算法[1-2]、矩陣重構(gòu)類算法[3]等. 但在工程應用中，均勻圓陣可提供360°方位信息，且不同方位上測向性能近似相同，應用更為廣泛，因此基于均勻圓陣的解相干算法也成為關注的重點.在基于均勻圓陣模式變換類解相干算法中，文獻[4]將平滑算法用于圓陣，提出基于模式空間變換的前后向平滑算法，但為適應通道噪聲功率變化，需進行廣義特征值分解來求取信號子空間；文獻[5]將基于線陣的Toeplitz重構(gòu)算法擴展到均勻圓陣，使信源協(xié)方差矩陣為對角陣，具有良好的解相干效果，但也由于僅用協(xié)方差矩陣一列進行重構(gòu)，信息利用不充分，估計精度還有提升空間；文獻[6-7]在均勻線陣差分算法[8-9]的基礎上，提出基于均勻圓陣的差分Toeplitz重構(gòu)算法，但差分方式需將獨立、相關信號與相干信號分兩次進行估計，并且在去掉獨立信號時，相干信號的部分功率和信息也被減弱，影響了相干信號的DOA估計性能．

現(xiàn)有的基于圓陣模式空間變換的解相干算法都是以均勻線陣解相干算法為基礎，通過算法的改進以適應模式變換引起的噪聲變化.近年出現(xiàn)一種基于均勻線陣的矢量重構(gòu)類解相干算法[10-12]，通過對協(xié)方差矩陣特征分解預處理抑制噪聲，對相干信源有著更好的估計性能，但是該算法不能直接用于模式空間變換后的虛擬線陣．為此，本文在考慮模式變換對噪聲影響的基礎上將該算法用于均勻圓陣，將對噪聲的處理提至變換前，降低算法的復雜度.

1陣列信號模型及模式空間變換

1.1信號接收模型與信號特征矢量

如圖1所示，假設在xoy平面上有M個各向同性陣元，均勻排列于半徑為r的圓周上，取圓心為參考點，信源的俯仰角φ∈[0,π/2]定義為入射方向與z軸之間的夾角，方位角θ∈[0,2π)定義為入射方向在xoy平面上的投影與x軸在逆時針方向上的夾角．只討論所有信源都與陣列共面的情形，即φ=π/2．

圖1　均勻圓陣的陣列模型

x(t)=ACBs(t)+n(t)=

[A1b1,A2b2,…,APbP]s(t)+n(t).

式中：x(t)[x1(t),…,xM(t)]T為M×1維陣列接收數(shù)據(jù)；s(t)[s1(t),…,sP(t)]T為P×1維P個相互獨立的信號源；n(t)[n1(t),…,nM(t)]T為M×1維通道噪聲，假設各通道噪聲彼此獨立，且服從高斯分布，并與信源獨立；B=blkdiag{b1,b2,…,bP}為N×P維塊對角矩陣；bi為pi×1維矢量，表示第i組相干信源的相干系數(shù)；AC=[A1,A2,…,AP]為M×N維陣列流型矩陣. Ai為M×pi維第i組相干信源的流型矩陣，且

(1)

式中，波數(shù)β0=2π/λ，陣列第m個陣元與x軸的夾角為γm=2π(m-1)/M，m=1,…,M．

由式(1)得M×M維均勻圓陣接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(2)

式中，RCS=E{s(t)sH(t)}為P×P維信源的協(xié)方差矩陣，由信源假設可知rank(RCS)=P．對RC進行特征值分解：

(3)

1.2模式空間變換

由于均勻圓陣的陣列流型矩陣AC不具備范德蒙結(jié)構(gòu)，需構(gòu)造模式變換矩陣[4]將均勻圓陣輸出進行變換.令

式中：J=diag{J-K(β0)/j-K,…,JK(β0)/jK}，Jk(β0)表示k階第1類貝塞爾函數(shù)，K=?β0」為模式激勵的最大模式數(shù)；W=[w-K,…,wK]H，wk=[1, ej2πk/M, … , ej2πk(M-1)/M]H，k=-K,…,K．

對均勻圓陣輸出作模式變換得

y(t)=Tx(t)=ALBs(t)+Tn(t).

其中AL=TAC為模式變換后的虛擬陣列流型矩陣，且

(4)

(5)

由式(4)、(5)可知，經(jīng)模式空間變換后的L×N維陣列流型矩陣AL具有范德蒙結(jié)構(gòu).變換后虛擬陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為

其中，變換后的噪聲協(xié)方差矩陣為

(6)

2算法原理

2.1MGEVD算法

設λi和vi分別為矩陣束(RL,TTH)的廣義特征值和特征矢量，廣義特征值λ1～λL從大到小排列，前P個大廣義特征值對應的特征矢量矩陣為ULS=[v1,…,vP],可以證明(見附錄):

span{ULS}?span{AL}.

表明ULS張成的子空間不屬于虛擬線陣導向矢量張成的信號子空間.因此，基于均勻線陣矢量重構(gòu)算法若要用于虛擬線陣，還需進一步處理. 令

可以證明(見附錄):

(7)

式中，s=L-d+1，且d>N，s>N．進一步由矩陣X1進行反向特征矢量修正，得到s×2d維矩陣為

(8)

其中，Js為s階反對角線為1的置換矩陣.將Y與其共軛YH相乘，得

(9)

2.2EMEVD 算法

span{TUCS}=span{RLNULS}?span{AL}.

即虛擬線陣導向矢量張成的信號子空間也可由均勻圓陣特征矢量矩陣UCS左乘T得到，在此基礎上進一步改進，構(gòu)造

(10)

實際上，由附錄的理論證明可知，2種改進算法由span{RLNULS}和span{TUCS}分別構(gòu)造的信號子空間是等價的，但二者計算復雜度明顯不同.

表1　MGEVD 算法和EMEVD算法運算量對比

表1中，GEVD(RL,TTH)→v1表示對矩陣束(RL,TTH)求解最大廣義特征矢量v1，EVD(RC)→u1表示對RC求解最大特征矢量u1，二者的復雜度均采用快速子空間分解技術[13]，則前2種算法在MUSIC譜峰搜索前的總運算量為

EMEVD算法總運算量=3M2+LM.

一般取，假設M=L+4=19，則

可見運算量顯著降低.

2.3算法流程

EMEVD算法流程如下：

1)記錄D個快拍下陣列輸出信號矢量x(t)，t=1,2,…,D；

3仿真與分析

仿真實驗對比了EMEVD算法和MGEVD算法的空間譜，并將EMEVD算法與目前基于均勻圓陣模式空間變換的解相干算法MODE-FBSS[4]、MODE-TOEP[5]、MODE-DIFF-TOEP[6]進行比較．

實驗1EMEVD和MGEVD算法的空間譜圖．設2個方位角為(-15°，10°)的等功率全相干信號，信噪比為20dB，快拍數(shù)為200，采用19個陣元的均勻圓陣，陣元半徑為3.52λ/π，模式變換后虛擬線陣的陣元數(shù)為15，取2種算法的子陣階數(shù)為8，2種算法空間譜比較如圖2所示．

圖2　EMEVD和MGEVD的空間譜比較

由圖2可見，2種算法空間譜重合，驗證了MGEVD、EMEVD算法分別由span{RLNULS}和span{TUCS}構(gòu)造信號子空間等價的結(jié)論.

圖3　RMSE隨RSN變化的關系曲線

圖4　成功分辨率隨RSN變化的關系曲線

由圖3和圖4可見，4種算法的估計精度和成功分辨率曲線都隨RSN增加而提高.圖3表明在低信噪比下，EMEVD的估計精度和成功分辨率明顯高于其他3種算法，隨著RSN的增加，EMEVD與MODE-FBSS均方誤差性能接近，在高信噪比下，EMEVD的估計精度略優(yōu)于MODE-FBSS，但它們的估計精度均優(yōu)于MODE-TOEP和MODE-DIFF-TOEP．圖4表明EMEVD具有較高的成功分辨率且信噪比門限更低．

實驗34種算法的DOA估計均方誤差、成功分辨率與快拍數(shù)的關系．RSN固定為20 dB，每個快拍數(shù)進行2 000次Monte-Carlo實驗，其它仿真參數(shù)同實驗1．RSME和成功分辨隨快拍數(shù)變化的關系如圖5、圖6所示.

由圖5和圖6可見，4種算法的DOA估計精度和分辨率隨快拍數(shù)增加而提高．圖5表明EMEVD的估計精度在不同快拍數(shù)下均優(yōu)于其他3種算法；EMEVD和MODE-FBSS的估計精度隨快拍數(shù)增加改善較大，在大快拍數(shù)下二者精度都較高，而MODE-TOEP和MODE-DIFF-TOEP的估計精度隨著快拍數(shù)的增加變化較慢，精度略低．圖6表明EMEVD分辨率隨快拍數(shù)增加而提高，且明顯高于其他3種算法．

圖5　RSME隨快拍數(shù)變化的關系曲線

圖6　成功分辨率隨快拍數(shù)變化的關系曲線

4結(jié)論

在考慮模式變換引起噪聲功率變化的基礎上，通過分析廣義特征矢量與虛擬線陣信號空間的關系，對矢量重構(gòu)解相干算法加以改進，提出適用于均勻圓陣模式變換的MGEVD算法.針對該算法計算復雜度高的問題提出改進的EMEVD算法，將模式空間變換后的相關處理步驟提前到模式變換前, 其性能估計的實質(zhì)不變, 但計算量和復雜度大大降低.

理論分析與仿真實驗表明，EMEVD矢量重構(gòu)類算法估計精度較高,然而算法高估計精度的代價是比已有的MODE-FBSS、MODE-TOEP和MODE-DIFF-TOEP 等算法需多進行一次特征值分解, 因此如何進一步降低兩次特征值分解的計算量值得今后研究.

附錄

定理1[3]假設N(N≤M-1)個窄帶遠場信號入射到M個陣元組成的陣列上，接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

R=ARSAH+RN.

式中：A=[a1,…,an,…,aN]為陣列流型矩陣，RS為信號協(xié)方差矩陣，RN為噪聲協(xié)方差矩陣.假設N個信號可以分為P組組間獨立、組內(nèi)相干的信號，由信源假設條件可知rank(RS)=P，P≤N. 設up為矩陣束(R,RN)的第p個大廣義特征值對應的特征矢量，存在如下線性關系：

(11)

其中，αp(n)為線性組合因子，1≤p≤P．

式(11)說明無論信號源是否相干，RNup是信號源導向矢量的一個線性組合，且包含了信號的全部信息，基于此可以進行解相干處理．若令廣義特征矢量矩陣US=[u1,…,up,…,uP]，由定理1可得到如下推論：

span{RNUS}?span{A},

span{US}?span{A}.

(12)

span{RNUS}=span{US}?span{A}.

(13)

當P=N時，式(12)、(13)等號成立．

由推論2可知，均勻圓陣的矢量矩陣UCS和導向矢量矩陣AC所張成的信號子空間之間的關系為

span{UCS}?span{AC}.

(14)

且模式變換后虛擬均勻線陣的信號子空間為

span{AL}=span{TAC}.

(15)

結(jié)合式(14)、(15)可得

span{TUCS}?span{TAC}=span{AL}.

(16)

由推論1可知

(17)

式(16)、(17)表明，子空間span{AL}包含子空間span{TUCS}和span{RLNULS}.

可以證明

span{TUCS}=span{RLNULS}.

證明設up為均勻圓陣前P個大特征矢量中第p列特征矢量，令矢量vp=(TH)-up，則

(18)

TTHvp=TTH(TH)-up=Tup.

(19)

聯(lián)立式(18)和(19)，得

RLvp=λpTTHvp.

由此可知，λp和vp為矩陣束(RL,TTH)的前P個大特征矢量中第p個廣義特征值和對應的特征矢量，且

(20)

再依據(jù)式(6)、(20)，得

(21)

由式(21)可得

span{TUCS}=span{RLNULS}.

證畢．

參考文獻

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(編輯王小唯苗秀芝)

DOA estimation of coherent signals based on vector reconstruction with uniform circular arrays

ZHANG Wei1, HAN Yong2, JIN Ming2, QIAO Xiaolin2

(1.School of Electronics and Information Engineering, Harbin Institute of Technology, 150001 Harbin, China;2. School of Information Engineering, Harbin Institute of Technology at Weihai, 264209 Weihai, Shandong, China)

Abstract:To solve the problem that vector reconstruction method with uniform linear arrays cannot be used directly in uniform circular arrays, an efficient vector reconstruction algorithm based on space mode for DOA estimation is proposed. The eigenvector corresponding to the largest generalized eigenvalue of the covariance matrix is corrected to acquire signal eigenvectors after mode excitation. The receiving data matrix is constructed by the forward-backward vector reconstruction to estimate DOA of coherent signals. Optimization algorithm is presented to acquire the largest signal subspace eigenvector by performing eigen-decomposition before mode excitation, which eliminates the noise fully and avoids the generalized eigen-decomposition on the virtual linear arrays, and the computation complexity is reduced obviously. The theoretical analysis and numerical examples are provided to demonstrate effectiveness of the proposed approach.

Keywords:coherent signal sources; direction of arrival(DOA) estimation; mode space; signal eigenvector; uniform circular arrays(UCAs)

中圖分類號:TN911.7

文獻標志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)05-0062-05

通信作者:韓勇, han8662033@163.com

作者簡介:張薇(1981—)，女，博士研究生;喬曉林(1948—)，男，教授，博士生導師.

基金項目:哈爾濱工業(yè)大學科研創(chuàng)新基金(HIT.NSRIF2013130).

收稿日期:2015-01-25.

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.05.009

金銘(1968—)，男，教授，博士生導師;