王晶囡呂靜 李想

（哈爾濱理工大學應用數(shù)學系，哈爾濱 150080）

一類金融系統(tǒng)的分岔分析與混沌*

王晶囡?呂靜 李想

（哈爾濱理工大學應用數(shù)學系，哈爾濱 150080）

將金融系統(tǒng)中的價格指數(shù)前的固定常數(shù)系數(shù)改進為彈性系數(shù).利用Routh-Hurwitz定理和分岔定理，討論了該彈性系數(shù)對改進后的金融系統(tǒng)的平衡點穩(wěn)定性，Pitchfork分岔，Hopf分岔及混沌的影響.運用Matlab進行數(shù)值模擬，驗證了所得到的理論結果.并給出參數(shù)變化時利率振幅的變化圖和對應的相圖，直觀地展示了金融系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)、周期狀態(tài)及混沌狀態(tài)的規(guī)律.

金融系統(tǒng)， picthfork分岔， Hopf分岔， 混沌

引言

金融系統(tǒng)是有關資金流動、集中和分配的一個體系，包括股票、債券和其他證券的市場，還包括銀行和保險公司等金融中介機構.物價結構、供求關系與利率等因素的相互影響，使得很多金融問題變得復雜，如金融市場常會出現(xiàn)停滯、失控、甚至引發(fā)金融危機等現(xiàn)象.面對復雜的金融系統(tǒng)，深入地研究其內部結構，揭示金融系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律和控制系統(tǒng)的混沌狀態(tài)，這顯得尤為重要.很多學者已經研究了一些非線性金融學模型（如Goodwins［1］非線性加速模型，利率與收入動態(tài)IS-LM模型［2］，混沌金融系統(tǒng)數(shù)學模型［3-11］），其中研究較多的金融模型為一類混沌金融系統(tǒng)［3，4］，其數(shù)學表達式如下

其中x代表利率，y代表投資需求，z代表價格指數(shù)，a表示儲蓄量，b表示單位投資成本，c表示商品需求彈性.影響x變化的因素主要有兩個方面：一方面來自投資市場的供求矛盾，即投資和儲蓄之差；另一方面來自物價的結構調整.y的變化率與投資率成正比，與投資成本和利率成反比.z的變化一方面受商品市場供求矛盾的調節(jié)，另一方面又受通貨膨脹率的影響.

文獻［3，4］研究了混沌金融系統(tǒng)（1）的參數(shù)與Hopf分岔之間的關系以及分岔混沌拓撲結構與全局復雜性的關系.文獻［5］研究了該系統(tǒng)的控制問題.文獻［6］研究了當儲蓄量為a＝0.9，投資成本為b＝0.2，商品需求彈性為c＝1.2時的金融系統(tǒng)（1）的線性、加速、雙周期函數(shù)的反饋控制.文獻［7］研究了系統(tǒng)（1）的分支與拓撲馬蹄.Holyst和Urbanowicz［8］指出，通過時滯反饋控制方法可以將模型（1）出現(xiàn)的混沌狀態(tài)控制成為一個穩(wěn)定的周期解.因此，文獻［9］討論了該時滯反饋系統(tǒng)的Hopf分岔的條件.文獻［10］在此基礎上，考慮了時滯反饋項K［y（t）-y（t -τ）］，對于系統(tǒng)（1）中y的變化率的影響，并給出時滯系統(tǒng)經歷Hopf-picthfork分岔條件.

考慮到利率x變化與物價價格有可能會出現(xiàn)彈性正比關系，并發(fā)現(xiàn)調整彈性系數(shù)，也能使金融系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌狀態(tài)消失，達到穩(wěn)定狀態(tài)，或周期狀態(tài).所以本文對系統(tǒng)（1）中的第一方程中做了改進，即在利率x原始變化中，將價格指數(shù)z前的權值由1改為變系數(shù)ε，會得到如下模型：

以a＞0，b＞0和c＞0為前提，將價格指數(shù)前的彈性系數(shù)ε和商品的需求彈性系數(shù)c作為參數(shù)，來研究價格結構對整個金融系統(tǒng)（2）的影響.

如果想要研究系統(tǒng)的全局的動態(tài)行為，那么先從系統(tǒng)的局部狀態(tài)開始，即討論平衡點的存在個數(shù)與穩(wěn)定性問題.令系統(tǒng)（2）右端為零，經計算可得：當ε≥c/b-ac時，系統(tǒng)（2）有唯一平衡點E1；當ε＜c/b-ac時，系統(tǒng)（2）有三個平衡點，分別為

金融系統(tǒng)（2）在每個平衡點Ei＝（xi，yi，zi）（i＝1，2，3）的線性化后，得到相應的特征方程為

下面根據(jù)Routh-Hurwitz定理，探討一下不動點分岔的條件.

1 平衡點E1的pitchfork分岔與Hopf分岔

將平衡點E1＝（0，1/b，0）代入方程（4），可得

根據(jù)Routh-Hurwitz定理，結合用中心流形定理與分岔的判別定理，可以得到如下結論.

定理1 當ε＝c/b-ac且c＞1/b-a時，金融系統(tǒng)（2）在平衡點E1處經歷pitchfork分岔.即：當ε≥c/b-ac且c＞1/b-a時，系統(tǒng)（2）有唯一平衡點E1，且此時平衡點E1為局部漸近穩(wěn)定的；當ε＜c/b -ac且c＞1/b-a時，系統(tǒng)（2）增加兩個穩(wěn)定平衡點E2，E3，即系統(tǒng)（2）有三個平衡點E1，E2，E3（如式（3）所示），此時平衡點E1由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定.

定理2 當c＝1/b-a且ε＞c/b-ac時，系統(tǒng)（2）在平衡點E1處經歷Hopf分岔.

證明：當c＝1/b-a且ε＞c/b-ac時，特征方程（5）有一個負實根λ1＝-b和一對純虛根

對（5）式兩邊關于參數(shù)c求導，得

滿足Hopf分岔發(fā)生的橫截條件，所以系統(tǒng)（2）在平衡點E1處經歷Hopf分岔，出現(xiàn)周期解.定理得證.

為了驗證定理1和定理2的理論結果，現(xiàn)取參數(shù)a＝100/11，b＝0.1時，經計算可得1/b-a＝0.9091；當c＝1.1＞0.9091時，c/b-ac＝1，所以，當ε＝1.120＞1時，滿足定理1中ε≥c/b-ac且c＞1/b-a的條件，平衡點（0，1/b，0）＝（0，10，0）是局部穩(wěn)定的，當ε＝0.978＜1時，系統(tǒng)有兩個穩(wěn)定的平衡點，分別取初值（0.01，10.01，-0.01）和（-0.01，10.01，0.01）可以畫出（0.0447，9.98，-0.0406）和（-0.0447，9.98，0.0406）這兩個平衡點；如果a，b不變，取c＝0.9091＝1/b-a，ε＝1.120＞0.8265時，金融系統(tǒng)（2）在平衡點（0，1/b，0）＝（0，10，0）經歷Hopf分岔，出現(xiàn)周期軌，以上三種情況的相圖如圖1所示.

圖1 當a＝100/11，b＝0.1時平衡點Ei附近的相圖Fig.1 Phase plane near equilibrium point Eiwhen a＝100/11，b＝0.1

2 平衡點E2和E3的Hopf分岔

將平衡點E2和E3代入特征方程（4）中，可得

由Routh-Hurwitz定理和Hopf分岔定理可知：定理3 當時，系統(tǒng)（2）的平衡點E2和E3局部漸近穩(wěn)定.當時，金融系統(tǒng)（2）在平衡點E2和E3處同時經歷Hopf分岔.其中

圖2 當ε＝0.93682時平衡點E2和E3附近的周期解相圖Fig.2 Phase plane of periodic solution near equilibrium points E2and E3whenε＝0.93682

為了驗證定理3的理論結果，現(xiàn)選取參數(shù)為a＝100/11，b＝0.1，c＝1.1，ε＝0.93682（或ε＝0.64651）時，金融系統(tǒng)（2）在平衡點E2和E3處，經歷Hopf分岔，同時出現(xiàn)兩個周期軌，得到的相圖如圖2和圖3所示.

圖3 當ε＝0.64651時平衡點E2和E3附近的周期解相圖Fig.3 Phase plane of periodic solution near equilibrium points E2and E3whenε＝0.64651

3 彈性系數(shù)對混沌的影響

文獻［6］選取參數(shù)為a＝2，b＝0.2，c＝1.6062，ε＝1時，得到了此時系統(tǒng)（2）會出現(xiàn)混沌狀態(tài)，如圖4所示.經計算可得

不滿足本文定理1～定理3的條件.所以用數(shù)值模擬來研究系統(tǒng)在a＝2，b＝0.2，c＝1.60618358這組參數(shù)條件下的動力學性質，以彈性系數(shù)ε為參數(shù)，用Matlab數(shù)值模擬利率x振幅隨ε從0.001到5的變化規(guī)律，得到結果如圖5所示.可得當ε＝0.001時，系統(tǒng)（2）處于穩(wěn)定狀態(tài)如圖6所示.當參數(shù)為ε＝4時，系統(tǒng)（2）處于周期狀態(tài)如圖7所示.當參數(shù)為ε＝101時，系統(tǒng)（2）處于如圖8所示的從平衡狀態(tài)轉成周期狀態(tài)的情形.可見，物價的彈性調整對金融系統(tǒng)的整體的發(fā)展會呈現(xiàn)一定的規(guī)律性.

圖4 當ε＝1時混沌吸引子的相圖Fig.4 Phase plane of chaotic attractors withε＝1

圖5 ε從0.001到5時的利率振幅Fig.5 The amplitude of interest rate withεfrom 0.001 to 5

圖6 當ε＝0.001時平衡點（0，5，0）附近的相圖Fig.6 Phase plane near equilibrium point（0，5，0）whenε＝0.001

圖7 當ε＝4時平衡點（0，5，0）附近的相圖Fig.7 Phase plane near equilibrium point（0，5，0）whenε＝4

圖8 當ε＝101時平衡點（0，5，0）附近的相圖Fig.8 Phase plane near equilibrium point（0，5，0）whenε＝101

4 結論

從Matlab數(shù)值模擬中得到了穩(wěn)定的平衡點和周期解的相圖，進一步驗證了改進后的金融系統(tǒng)出現(xiàn)pitchfork分岔和Hopf分岔的理論結果.從理論和數(shù)值結果中，可以看出對價格指數(shù)進行彈性調整時，該金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性、周期性以及混沌狀態(tài)的變化很大.所以合理調整物價的價格，對控制金融市場的穩(wěn)定是一種有效的手段之一.

1 Lorenz H W，Nusse H E.Chaotic attractors，chaotic saddles，and fractal basin boundaries：Goodwin′s nonlinear accelerator model reconsidered.Chaos，Solitons＆Fractals，2002，13（5）：957～965

2 Cesare L D，Sportelli M.Adynamic IS-LM model with delayed taxation revenues.Chaos，Solitons＆Fractals，2005，25（1）：233～244

3 馬軍海，陳予恕.一類非線性金融系統(tǒng)分岔混沌拓撲結構與全局復雜性研究（Ⅰ）.應用數(shù)學和力學，2001，22（11）：1119～1128（Ma JH，Chen Y S.Study for the bifurcation topological structure and the global complicated character of a kind of nonlinear finance system（Ⅰ）.Applied Mathematics and Mechanics，2001，22（11）：1119～1128（in Chinese））

4 馬軍海，陳予恕.一類非線性金融系統(tǒng)分岔混沌拓撲結構與全局復雜性研究（Ⅱ）.應用數(shù)學和力學，2001，22（12）：1236～1242（Ma JH，Chen Y S.Study for the bifurcation topological structure and the global complicated character of a kind of nonlinear finance system（Ⅱ）.Applied Mathematics and Mechanics，2001，22（12）：1236～1242（in Chinese））

5 Zhao X，Li Z，Li S.Synchronization of a chaotic finance system.Applied Mathematics and Computation，2011，217：6031～6039

6 簡國明.金融系統(tǒng)數(shù)學模型的機理分析與控制.數(shù)學的實踐與認識，2011，41（5）：1～6（Jian G M.Mechanism analysis and control for a finance model.Mathematics in Practice and Theory，2011，41（5）：1～6（in Chinese））

7 Ma C，Wang X.Hopf Bifurcation and topological horseshoe of a novel finance chaotic system.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17（2）：721～730

8 Holyst J A，Urbanowicz K.Chaos control in economical model by time-delayed feedbackmethod.Physica A：StatisticalMechanicsand its Application，2000，287（3-4）：587～598

9 Gao Q，Ma J.Chaos and Hopf bifurcation of a finance sys-tem.Nonlinear Dynamics，2009，58（1）：209～216

10 Ding Y T，JiangW H，Wang H B.Hopf-pitchfork bifurcation and periodic phenomena in nonlinear financial system with delay.Chaos，Solitons＆Fractals，2012，45（8）：1048～1057

11 Xin B G，Zhang JY.Finite-time stabilizing a fractionalorder chaotic financial system withmarket confidence.Nonlinear Dynamics，2015，79（2）：1399～1409

BIFURCATION AND CHAOSOF A FINANCIAL SYSTEM*

Wang Jingnan?Lv Jing Li Xiang
（Department of Applied Mathematics，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

In this paper，the coefficient of the price index in the financial system ismodified from a fixed constant to an elastic coefficient.Based on the Routh-Hurwitz theorem and the bifurcation theorem，the effect of the elastic coefficient on the stability of equilibrium points，pitchfork bifurcation，Hopf bifurcation and the chaos of themodified finance system are discussed.Moreover，numerical simulations by Matlab are used to test the obtained theoretical results.In addition，bymeans of numerical simulations，a change figure of the interest rate amplitude and the corresponding phase planeswith parameter variations for the financial system are obtained and investigated.It visually exhibits the stability state，the periodic state and the chaos state of the financial system.

financial system， pitchfork bifurcation， Hopf bifurcation， chaos

10.6052/1672-6553-2015-086

2015-10-12收到第1稿，2015-11-6收到修改稿.

*黑龍江省教育廳項目（12541168）

?通訊作者E-mail：wangjingnan＠hrbust.edu.cn

Received 12 October 2015，revised 6 November 2015.

*The project supported by Heilongjiang Educational Committee（12541168）

?Corresponding author E-mail：wangjingnan＠hrbust.edu.cn