陳啟升，李愛(ài)香，曹 奇，別世清，尤錫龍

（山東恒宇重工機(jī)械有限公司，山東 高密 261500）

壓力機(jī)成本-公差模型及質(zhì)量損失模型研究

陳啟升，李愛(ài)香，曹 奇，別世清，尤錫龍

（山東恒宇重工機(jī)械有限公司，山東 高密 261500）

本文以壓力機(jī)的公差與配合為研究對(duì)象，運(yùn)用數(shù)學(xué)函數(shù)方法，在滿足裝配目標(biāo)的情況下，主要研究了指數(shù)模型、改進(jìn)的指數(shù)模型、負(fù)平方模型、倒數(shù)冪指數(shù)模型、多項(xiàng)式模型和復(fù)合模型的各種形式，以及三種質(zhì)量損失函數(shù)。對(duì)壓力機(jī)尺寸鏈中各組成環(huán)的公差進(jìn)行合理分配，以達(dá)到降低成本之目的。

壓力機(jī)；公差；函數(shù)模型；配合；成本

加工成本是壓力機(jī)總成本的重要組成部分，它是體現(xiàn)企業(yè)經(jīng)濟(jì)的主要標(biāo)志，而影響機(jī)械加工成本的諸多因素中零部件的公差影響最大，且公差是產(chǎn)品設(shè)計(jì)和制造的重要技術(shù)條件。以成本最低為目標(biāo)，展開(kāi)了成本－公差的建模技術(shù)研究[1－3]。

1 成本-公差模型

壓力機(jī)公差分配是公差設(shè)計(jì)的重要組成部分，其主要研究是指在滿足裝配目標(biāo)的情況下，對(duì)尺寸鏈中各組成環(huán)的公差進(jìn)行合理的分配，并且盡量符合經(jīng)濟(jì)性原則。國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究人員對(duì)公差分配問(wèn)題關(guān)注一直非常多，且相關(guān)研究成果也非常多，但是使用基于優(yōu)化技術(shù)的公差分配方法求解公差分配問(wèn)題，并給出最優(yōu)解的卻不多。本文將用最優(yōu)化理論解決公差分配問(wèn)題，下面將先介紹幾種常見(jiàn)的加工成本函數(shù)模型。

1.1 指數(shù)加工成本函數(shù)模型

指數(shù)模型（Exponential Model）：

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a、b、c為已知參數(shù)，且a>0、b>0、c>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（1），設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：ai、bi、ci為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：ai、bi、ci為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

1.2 改進(jìn)的指數(shù)加工成本函數(shù)模型

改進(jìn)的指數(shù)模型（Modified Exponential Model）：

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a、b、d及m為已知參數(shù)，且a>0、b>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（4），設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：ai、bi、di、及mi為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：ai、bi、di、及mi為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

1.3 負(fù)平方加工成本函數(shù)模型

負(fù)平方模型（Reciprocal Squarel Model）：

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a、b為已知參數(shù)，且 a>0、b>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有 n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（7），設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：ai、bi為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：ai、bi為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

1.4 倒數(shù)冪指數(shù)加工成本函數(shù)模型

倒數(shù)冪指數(shù)模型（Reciprocal powers Model）：

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a、b為已知參數(shù)，且 a>0、b>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有 n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（10），設(shè)第 i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：ai、bi為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：ai、bi為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

1.5 多項(xiàng)式加工成本函數(shù)模型

多項(xiàng)式模型（Polynomial Model），例如三次多項(xiàng)式模型為：

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數(shù)，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有 n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（13），設(shè)第 i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

多項(xiàng)式模型有多種，如四次多項(xiàng)式模型、五次多項(xiàng)式模型等等，這里主要以三次多項(xiàng)式模型為例子進(jìn)行分析。

1.6 復(fù)合加工成本函數(shù)模型

復(fù)合模型（Hybrid Model），常用到的復(fù)合模型有指數(shù)和冪指數(shù)混合模型、線性和指數(shù)混合模型、指數(shù)和分式混合模型、指數(shù)和倒指數(shù)混合模型、倒指數(shù)積和指數(shù)混合模型等。

1.6.1 指數(shù)和冪指數(shù)混合模型

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2、a3和a4為已知參數(shù)，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0、a4>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有 n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（16），設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i、a3i和a4i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i、a3i和a4i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

1.6.2 線性和指數(shù)混合模型

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數(shù)，且 a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第 i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（19），設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

1.6.3 指數(shù)和分式混合模型

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數(shù)，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第 i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（22），設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

1.6.4 指數(shù)和倒指數(shù)混合模型

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數(shù)，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（25），設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

1.6.5 倒指數(shù)積和指數(shù)混合模型

式中：t為設(shè)計(jì)公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數(shù)，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個(gè)線性尺寸鏈中有n個(gè)組成環(huán)，設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個(gè)組成環(huán)的尺寸公差加工成本都符合式（28），設(shè)第i個(gè)組成環(huán)的加工成本函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

則在這個(gè)線性尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本總和函數(shù)表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數(shù)，其中i=1，2，…，n。

這些模型的共同點(diǎn)是：在某一個(gè)特定的加工環(huán)境中，統(tǒng)計(jì)大量的公差與加工成本數(shù)據(jù)，再用最小二乘法等方法求出模型中的相關(guān)參數(shù)，得到的擬合曲線一般情況下是單調(diào)遞減的，且是非線性關(guān)系，統(tǒng)計(jì)模型越復(fù)雜，得到的相關(guān)數(shù)據(jù)精度就越高，但擬合難度就越大。

2 質(zhì)量損失模型

公差是體現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量的重要標(biāo)志，公差的大小對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)成本都有著非常大的影響，是平衡產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)成本之間的關(guān)鍵因素[4，5]。傳統(tǒng)的質(zhì)量觀只把重點(diǎn)放在了如何設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)制造上，而忽略了公差概念的缺陷，實(shí)質(zhì)上是一種被動(dòng)式、服從式的質(zhì)量觀，對(duì)于這種質(zhì)量觀的公差只用了兩個(gè)極值進(jìn)行描述，稱為傳統(tǒng)公差或二值公差，如圖1所示。按照這種觀念，壓力機(jī)的質(zhì)量只需考慮公差是否在這兩個(gè)極值內(nèi)，如果在就認(rèn)為是合格的，而忽略了零部件公差偏離目標(biāo)值的大小。

圖1 二值公差

一般情況下，公差值的大小離目標(biāo)值越近就說(shuō)明質(zhì)量越好，而不是傳統(tǒng)質(zhì)量觀認(rèn)為的只要在公差極值范圍內(nèi)就是合格的，當(dāng)實(shí)際的公差值偏離目標(biāo)值越多，產(chǎn)品質(zhì)量損失就越大，因此，壓力機(jī)公差值的大小不僅要看是否在規(guī)定的范圍內(nèi)，而且也要看實(shí)際值偏離目標(biāo)值的大小程度，要把產(chǎn)品的質(zhì)量看成是連續(xù)的變量。顯而易見(jiàn)，傳統(tǒng)的公差概念是不能做到這一點(diǎn)的，所以，日本學(xué)者田口玄一博士提出了質(zhì)量損失的概念，這種觀念強(qiáng)調(diào)產(chǎn)品對(duì)客戶造成的損失也是質(zhì)量損失，這種觀念是一種主動(dòng)式、現(xiàn)代式質(zhì)量觀。對(duì)于這種質(zhì)量觀的公差我們需要對(duì)產(chǎn)品的生產(chǎn)實(shí)際公差值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，然后再進(jìn)行描述，因此又叫做統(tǒng)計(jì)公差，如圖2所示。所以，在這種觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上評(píng)價(jià)一個(gè)產(chǎn)品質(zhì)量的優(yōu)劣，不僅要看公差是否在規(guī)定的極限范圍內(nèi)，同時(shí)也要看公差值偏離目標(biāo)值的大小程度，對(duì)于用戶來(lái)說(shuō)偏離的越大質(zhì)量越是不好，比較注重產(chǎn)品的質(zhì)量損失，即公差值偏離目標(biāo)值的大小程度，但是質(zhì)量損失越小也會(huì)導(dǎo)致加工成本越高。

圖2 統(tǒng)計(jì)公差

質(zhì)量特性偏離質(zhì)量設(shè)計(jì)目標(biāo)值的大小是引起質(zhì)量損失和質(zhì)量問(wèn)題的主要原因，因此田口玄一博士建立了質(zhì)量損失函數(shù)，用質(zhì)量損失函數(shù)來(lái)表達(dá)質(zhì)量損失與質(zhì)量特性波動(dòng)之間的關(guān)系。質(zhì)量損失QL（Quality Loss）是質(zhì)量特性值x的函數(shù)。不同的產(chǎn)品質(zhì)量特性對(duì)應(yīng)著不同的產(chǎn)品質(zhì)量損失曲線，當(dāng)產(chǎn)品公差值偏離目標(biāo)值越小，產(chǎn)品質(zhì)量越好，偏離目標(biāo)值越大，產(chǎn)品質(zhì)量越差，當(dāng)產(chǎn)品公差值正好等于目標(biāo)值時(shí)，也就是說(shuō)產(chǎn)品質(zhì)量損失為零。但是，產(chǎn)品的公差值只要在規(guī)定的范圍內(nèi)，我們就認(rèn)為產(chǎn)品是合格的，也是可靠的，只不過(guò)是生產(chǎn)過(guò)程中盡量向目標(biāo)值靠近，把質(zhì)量損失降到最低，公差值只要在規(guī)定的范圍內(nèi)就不會(huì)再考慮偏離目標(biāo)值的程度。

為了讓產(chǎn)品的質(zhì)量損失能進(jìn)行量化比較，需要對(duì)質(zhì)量損失進(jìn)行定義，因而田口玄一博士建立了質(zhì)量損失函數(shù)概念。他把產(chǎn)品的質(zhì)量特征值設(shè)為x，目標(biāo)值設(shè)為m，當(dāng)x等于m時(shí)，產(chǎn)品的質(zhì)量損失最小，即質(zhì)量損失為零，當(dāng)x與d不相等時(shí)，x與m相差的絕對(duì)值越大，質(zhì)量特征離目標(biāo)值越遠(yuǎn)，即產(chǎn)品的質(zhì)量損失越大。用L（x）來(lái)表示質(zhì)量特征x所對(duì)應(yīng)的質(zhì)量損失，設(shè)L（x）在x等于m處存在高階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)泰勒展開(kāi)公式得出以下公式：

根據(jù)上述假定和公式，當(dāng)x=m時(shí)，L（x）=0，則求出L（m）=0；同時(shí)，由于L（x）在x=m處有最小值，可知L′（m）=0。忽略掉二階以上的高階項(xiàng)，那么質(zhì)量損失函數(shù)近似表示為：

田口先生認(rèn)為質(zhì)量損失是由于質(zhì)量特性值x偏離設(shè)計(jì)目標(biāo)值所引起的，有所偏離，就會(huì)有所損失，根據(jù)質(zhì)量特征x的目標(biāo)值m的取值不同，質(zhì)量損失函數(shù)可以分為以下三種不同的情況。

2.1 望目特性的質(zhì)量損失函數(shù)

望目特征的質(zhì)量損失函數(shù)是指質(zhì)量特征x與目標(biāo)值m之間的偏差大小與經(jīng)濟(jì)損失多少之間的關(guān)系函數(shù)，設(shè)質(zhì)量特征x的目標(biāo)值為m，質(zhì)量特性值x在目標(biāo)值m左右波動(dòng)，波動(dòng)越小質(zhì)量越好，則x就被稱為望目特性，尺寸公差多屬于此類型的質(zhì)量特征，如圖3所示。比如某軸件加工尺寸為?5±0.02（mm），目標(biāo)值為m=5（mm），實(shí)際加工尺寸x就屬于望目特性。質(zhì)量損失函數(shù)的表達(dá)式為：

由公式（33）可以看出，質(zhì)量特性值x的波動(dòng)所造成的質(zhì)量損失與質(zhì)量特性值x偏離目標(biāo)值m的偏差平方成正比，也就是說(shuō)，產(chǎn)品不合格會(huì)造成損失，即使產(chǎn)品合格同樣會(huì)造成一定的損失，質(zhì)量特性值x偏離目標(biāo)值m越遠(yuǎn)，造成的損失越大。這就是日本學(xué)者田口玄一博士提出來(lái)的關(guān)于質(zhì)量的新觀點(diǎn)，把這種二次方程用作質(zhì)量損失函數(shù)，從中我們可以看到很多相關(guān)信息。從圖3所示的曲線可知，質(zhì)量損失函數(shù)是連續(xù)的二次函數(shù)曲線，質(zhì)量特性值x在規(guī)定的公差范圍內(nèi)并不一定表示該產(chǎn)品質(zhì)量?jī)?yōu)良，最優(yōu)的產(chǎn)品質(zhì)量是該產(chǎn)品的質(zhì)量特性值x穩(wěn)定在該產(chǎn)品的目標(biāo)值m上，該曲線就更形象地展示了關(guān)于質(zhì)量的新觀點(diǎn)。傳統(tǒng)的質(zhì)量觀點(diǎn)是一種不連續(xù)的階躍函數(shù)，只要質(zhì)量特性值 xL在規(guī)定的公差范圍內(nèi)就沒(méi)有損失，只有當(dāng)質(zhì)量特性值x超出規(guī)定的公差范圍極限才算有質(zhì)量損失。

圖3 望目特性

下面介紹兩種K值的確定方法：

（1）由功能界限Δ0和產(chǎn)品喪失功能后的損失A0求K，功能界限Δ0是指產(chǎn)品的功能是否能正常發(fā)揮的臨界值，A0是指產(chǎn)品喪失功能之后的損失。當(dāng)｜xm｜≤Δ0時(shí)，產(chǎn)品的功能能正常發(fā)揮，當(dāng)｜x-m｜＞Δ0時(shí)，產(chǎn)品喪失功能。把產(chǎn)品喪失功能之后的損失A0代入式（33）可得：

（2）由容差Δ和產(chǎn)品不合格后的損失A求K，容差Δ是判定產(chǎn)品是否合格的臨界值。當(dāng)｜x-m｜≤Δ時(shí)，產(chǎn)品為合格品，當(dāng)｜x-m｜＞Δ時(shí)，產(chǎn)品為不合格品。當(dāng)產(chǎn)品不合格時(shí)，對(duì)該產(chǎn)品可以采取報(bào)廢或是返修等措施，但是這樣造成的損失記為A元。代入式（33）可得：

2.2 望小特性的質(zhì)量損失函數(shù)

望小特性是指質(zhì)量特性值x不取負(fù)值，質(zhì)量特性值x越小越好，波動(dòng)越小越好，則x被就稱為望小特性。如圖4所示，比如實(shí)際測(cè)量的誤差值、形位公差、表面粗糙度等就屬于望小特性。質(zhì)量損失函數(shù)的表達(dá)式為：

圖4 望小特性

2.3 望大特性的質(zhì)量損失函數(shù)

圖5 望大特性

望大特性是指質(zhì)量特性值x不取負(fù)值，質(zhì)量特性值x越大越好，波動(dòng)越小越好，則x就被稱為望大特性。如圖5所示，比如企業(yè)的利潤(rùn)、壓力機(jī)的使用壽命等就屬于望大特性。質(zhì)量損失函數(shù)的表達(dá)式為：

3 小結(jié)

本文研究了壓力機(jī)成本-公差模型的各種模型與質(zhì)量損失模型的各種模型。成本-公差模型主要研究了指數(shù)模型、改進(jìn)的指數(shù)模型、負(fù)平方模型、倒數(shù)冪指數(shù)模型、多項(xiàng)式模型和復(fù)合模型的各種形式。質(zhì)量損失模型是基于田口先生的質(zhì)量觀，主要研究了望目特性的質(zhì)量損失函數(shù)、望小特性的質(zhì)量損失函數(shù)和望大特性的質(zhì)量損失函數(shù)。

[1]劉玉生，吳昭同，楊將新.基于成本模型的計(jì)算機(jī)輔助公差優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1995，29（6）：698-705.

[2]楊將新，吳昭同.機(jī)械加工成本-公差建模技術(shù)的研究[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1996，30（5）：517-522.

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Study on cost-tolerance model and quality loss model of press

CHEN Qisheng,LI Aixiang,CAO Qi,BIE Shiqing,YOU Xilong
（Shandong Hengyu Heavy Industry Machinery Co.,Ltd.,Gaomi 261500,Shandong China）

Taking the tolerance and fit of press as the research object in the text,in order to meet the assembly target,the mathematical function method has been adopted to study various form of exponential model, modified exponential model,negative square model,inverse power exponent model,and polynomial model& mixed model,as well as three kinds of quality loss function.The tolerance of each ring in the dimension chain of the press has been reasonably allocated,in order to reduce the cost.

Press;Tolerance;Fit;Cost;Function model

TG305

A

10.16316/j.issn.1672－0121.2016.04.034

1672－0121（2016）04－0116－05

2016－02－19；

2016－04－07

陳啟升（1965－），男，高級(jí)工程師，從事機(jī)械壓力機(jī)開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)。E－mail：chqsh2012＠163.com