朱春蓉,朱丹霞

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，蕪湖 241000)

1 引言

考慮n-維可壓縮歐拉方程[1]

其中ρ=ρ(t,x)表示氣體的密度，u=u(t,x)表示氣體的速度，x∈Rn為空間變量，P=ργ/γ(γ≥1)表示壓強(qiáng)，記號(hào)?表示張量積．

由于可壓縮歐拉方程在物理學(xué)中的重要性和數(shù)學(xué)中帶給人們的挑戰(zhàn)性，使得人們對(duì)它越來(lái)越感興趣(參考文獻(xiàn)[2]及其參引文獻(xiàn))．在歐拉方程解的研究中，因?yàn)樗姆蔷€(xiàn)性性，人們很難給出它一般解的表達(dá)式．但通過(guò)擬設(shè)法，人們可以構(gòu)造它的一些形式解并用于研究它的一些特殊性質(zhì)．Liu在文獻(xiàn)[3]中將速度的形式擬設(shè)為c(t)x，并代入帶有阻尼項(xiàng)歐拉方程中研究其奇異性．隨后在文獻(xiàn)[4]中，作者研究了用于描述多方氣體的n-維歐拉方程類(lèi)似形式徑向?qū)ΨQ(chēng)解的奇異性．在文獻(xiàn)[5]中，Yuen將速度形式進(jìn)行了擾動(dòng)，即考慮速度形式為c(t)x+b(t)的解，并研究了一維歐拉方程的爆破性．Huang和Wang[6]應(yīng)用李雅普諾夫方法和擾動(dòng)方法，分析關(guān)于Chaplygin氣體這種形式解的爆破性．上述文獻(xiàn)都表明了一些特殊形式的解在研究這類(lèi)方程性質(zhì)中的重要性．在本文中，我們將應(yīng)用不變子空間方法構(gòu)造方程組(1)的精確解．不變子空間方法是一種純數(shù)學(xué)的方法，并且較擬設(shè)方法更具數(shù)學(xué)依據(jù)．本文證明了，通過(guò)擬設(shè)法在文獻(xiàn)[4,5]中得到的形式解都屬于和歐拉方程相關(guān)的向量微分算子允許的函數(shù)空間．在變量變換意義下，通過(guò)不變子空間方法，方程組(1)被約化為一階有限維動(dòng)力系統(tǒng)．不同于上述參考文獻(xiàn)中的研究，這種動(dòng)力系統(tǒng)便于直接求解．由此，我們給出方程組(1)一些解的具體表達(dá)式．

本文將做如下安排：在第2節(jié)中，對(duì)應(yīng)用于構(gòu)造非線(xiàn)性演化方程組精確解的不變子空間方法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹；在第3節(jié)中，給出與方程組(1)相關(guān)的向量微分算子允許的不變子空間，并將方程組(1)約化為有限維動(dòng)力系統(tǒng)；在第4節(jié)中，通過(guò)例子的形式給出方程組(1)一些解的具體表達(dá)式．

2 不變子空間方法

不變子空間方法是一種與對(duì)稱(chēng)群方法相關(guān)的方法．通過(guò)這種方法，非線(xiàn)性演化方程可以被約化為有限維動(dòng)力系統(tǒng)．早在文獻(xiàn)[7]中，Galaktionov就用這種方法考慮了二次非線(xiàn)性微分算子的不變子空間，并用于構(gòu)造大量的演化方程的精確解．后來(lái)，Galaktionov和Svirshchevskii將他們關(guān)于不變子空間方法的研究整理在文獻(xiàn)[8]中．事實(shí)上，在變量變換的意義下，熱方程的基本解就屬于和其相關(guān)微分算子允許的函數(shù)空間．他們還利用不變子空間方法得到了滲流方程的精確解，這些精確解可以用于構(gòu)造一些這種形式方程的弱解和爆破解，并利用比較原理研究它們一般解的性質(zhì)[9,10]．近期，這種方法得到了一些新的進(jìn)展和應(yīng)用，可參考文獻(xiàn)[11—16]．為了獲得非線(xiàn)性演化方程組的解，Galaktionov和Svirshchevskii引進(jìn)了向量集作為線(xiàn)性子空間的推廣，在這些向量集中，每個(gè)向量的分量都屬于同一個(gè)函數(shù)空間．在文獻(xiàn)[11]中，Qu和Zhu將這種向量集進(jìn)行了推廣，給出了向量微分算子允許的不變子空間的定義，在這種不變子空間中每個(gè)向量的分量可以屬于不同的函數(shù)空間，并在文獻(xiàn)[12]中給出了這種不變子空間的維數(shù)估計(jì)．在本文中，我們將使用Qu和Zhu的方法構(gòu)造方程組(1)的精確解．本節(jié)余下內(nèi)容是關(guān)于這種方法的簡(jiǎn)介．

假設(shè)

是一個(gè)向量微分算子，其中

Fq(·)(q=1,2,···,m)是給定的光滑函數(shù)．我們將使用下面的記號(hào)

設(shè)W表示一個(gè)線(xiàn)性空間，其中

且(nq≥2)是相互線(xiàn)性無(wú)關(guān)的．如果向量微分算子F滿(mǎn)足條件

即

則稱(chēng)向量微分算子F允許子空間W，這表明存在函數(shù)，使得

如果子空間W是被向量微分算子F[U]允許的，則相應(yīng)的演化方程組Ut=F[U](或Utt=F[U])有解形如

其中滿(mǎn)足常微分方程組

假設(shè)是由下面的nq階線(xiàn)性常微分方程

解空間定義的，則子空間W在算子F下不變的條件是

其中[Hq]表示方程Lq[uq]=0及其關(guān)于x的微分結(jié)果．

通過(guò)上述關(guān)于不變子空間方法的介紹，下面我們將使用它構(gòu)造方程組(1)的精確解．

3 方程組(1)的不變子空間和約化

在本節(jié)，我們將給出和方程組(1)相關(guān)的向量微分算子允許的不變子空間，并將方程組(1)約化為有限維動(dòng)力系統(tǒng)．

首先，我們考慮一維情形的歐拉方程組

其中P=ργ/γ(γ≥1)．當(dāng)γ=1時(shí)，通過(guò)變量變換v=lnρ，方程組(4)可以轉(zhuǎn)化為

當(dāng)γ＞1時(shí)，通過(guò)變量變換v=ργ?1/(γ?1)，方程(4)可以轉(zhuǎn)化為

記

由參考文獻(xiàn)[12]中的維數(shù)估計(jì)定理，我們考慮向量微分算子K和ˉK允許的由(2)式定義的不變子空間時(shí)，要考慮下列情形

由不變條件(3)，我們得到下面的結(jié)果．

定理1向量微分算子K[u,v]和都只允許不變子空間=，其中

證明 假設(shè)K允許不變子空間，其中是由下列常微分方程的解空間定義的

在這種情形下，不變條件(3)為

G1和G2均是ui,vj(i=0,1,j=0,1,2)的多項(xiàng)式，其中

考慮G1中各項(xiàng)的系數(shù)，我們得到

在這種情形下G2=0也是成立的．因此，向量微分算子K允許不變子空間×，其中=L{1,x}是由常微分方程y′′=0定義的，=L{1,x,x2}是由常微分方程z′′′=0定義的．通過(guò)類(lèi)似的計(jì)算，我們還可以證明向量微分算子K允許子空間~W，并且還可以證明它不允許其它形式的由方程組(2)定義的不變子空間．上述結(jié)果對(duì)于向量微分算子也成立．

顯然，．在不變子空間中，方程組(5)和(6)可分別被約化為如下的有限維動(dòng)力系統(tǒng)

和

其次，我們考慮n-維歐拉方程(1)的球?qū)ΨQ(chēng)解．在歐拉方程(1)中，令ρ=ρ(x,t),u，則它們滿(mǎn)足

其中x=|x|．類(lèi)似地，當(dāng)γ=1時(shí)，令v=lnρ，則方程組(9)被轉(zhuǎn)化為

對(duì)于γ＞1，令v=ργ?1/γ，則方程組(9)被轉(zhuǎn)化為

類(lèi)似于定理1證明中的計(jì)算，我們可以證明沒(méi)有由方程組(2)定義的線(xiàn)性子空間在向量微分算子M≡(M1[u,v],M2[u,v])和作用下不變．事實(shí)上，我們注意到

其中=L{1/x,1,x,x2}．在這種情形下，我們稱(chēng)線(xiàn)性子空間在向量微分算子M和M作用下部分不變．因此，我們可以構(gòu)造方程組(10)和(11)如下形式的解

對(duì)于方程組(10)，ci(t)和dj(t)滿(mǎn)足如下的約束條件

對(duì)于方程組(11)，ci(t)和dj(t)滿(mǎn)足

4 歐拉方程的精確解

在第3節(jié)中，歐拉方程在變量變換的意義下，被約化為有限維動(dòng)力系統(tǒng)．由于這些動(dòng)力系統(tǒng)均是非線(xiàn)性的，很難給出它們的通解，但是我們可以通過(guò)計(jì)算給出它們一些具體的特解．在下文中，我們將用例子的形式給出這些特解．

例1在方程組(7)和(8)中，取d3(t)=0．此時(shí)，可以給出1-維歐拉方程(4)如下的解：

當(dāng)γ=1時(shí)

當(dāng)γ=2時(shí)

當(dāng)γ＞1,γ/=2時(shí)

例2在方程組(8)中，取c1(t)=d2(t)=0，可以得到1-維歐拉方程(4)在γ＞1時(shí)的解

約束條件(12)和(13)顯示c1(t)=d2(t)=0．因此，方程組(9)具有如下形式的解：當(dāng)γ=1時(shí)

當(dāng)γ＞1時(shí)

由此，可以給出n-維歐拉方程(1)如下例中的精確解．

例3取

求解約束條件(13)，我們得到當(dāng)γ＞1時(shí)n-維歐拉方程(1)的精確解

5 結(jié)論

總之，由不變子空間方法可以將歐拉方程(1)約化為一階常微分方程組．基于此，我們可以得到這個(gè)方程組的一些精確解．在這里密度為式子d3(t)x2+d2(t)x+d1(t)的函數(shù)．當(dāng)d3(t)＜0時(shí)，形如d3(t)x2+d2(t)x+d1(t)的解稱(chēng)為鐘形解；當(dāng)d3(t)＞0時(shí)，這種形式的解稱(chēng)為倒鐘形解，它們?cè)跐B流方程的研究中具有非常重要的作用[9,10]．值得注意的是，滲流方程是由歐拉方程通過(guò)Darcy定律給出的．我們希望本文中給出的精確解在歐拉方程的研究中也能發(fā)揮一定的作用．另外，由于歐拉方程的非線(xiàn)性性，很難給出其一般解．但是，這里通過(guò)不變子空間方法可以得到歐拉方程的一些精確解．我們也希望不變子空間方法能用于更多的非線(xiàn)性偏微分方程(組)的研究中．

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