宋 軍，周建庭，王明斌，姜 睿

(1.魯東大學(xué) 土木工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025；2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

基于黃金分割率模型的鋼筋混凝土梁橋裂縫模式研究

宋 軍1，周建庭2，王明斌1，姜 睿1

(1.魯東大學(xué) 土木工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025；2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

從新的視角出發(fā)，引入黃金分割率來(lái)評(píng)價(jià)鋼筋混凝土梁橋的裂縫分布模式。基于混凝土“單筋張拉模型”并編寫(xiě)程序來(lái)預(yù)測(cè)混凝土開(kāi)裂后裂縫寬度和間距，結(jié)合模型實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬驗(yàn)證了參數(shù)的準(zhǔn)確性。研究結(jié)果表明：采用黃金分割率來(lái)剖析鋼筋混凝土梁的裂縫分布具有深刻的物理意義，研究結(jié)果也揭示了混凝土梁裂縫間距具有尺寸效應(yīng)，該方法的重要意義在于可以通過(guò)縮尺模型來(lái)預(yù)測(cè)大型橋梁的裂縫分布模式，對(duì)于評(píng)價(jià)混凝土梁橋的安全性有指導(dǎo)作用。

橋梁工程；裂縫模式；黃金分割率；尺寸效應(yīng)

0 引 言

經(jīng)典的鋼筋混凝土開(kāi)裂理論是建立在基于傳遞長(zhǎng)度的評(píng)價(jià)方法上，混凝土中的最大拉應(yīng)力出現(xiàn)的截面最有可能出現(xiàn)新的裂縫，在鋼筋混凝土梁中這個(gè)裂縫間距用lSr表示，它的范圍是ltr

A.P.FANTILLI等[1]建立了鋼筋和混凝土之間的黏結(jié)滑移模型。它們之間的相互作用影響因素主要是通過(guò)參數(shù)實(shí)驗(yàn)(強(qiáng)度和摩擦力等)得到，但是沒(méi)有充分考慮學(xué)者A.CARPINTERI[7]的建議模型以及并沒(méi)有考慮試件的尺寸效應(yīng)的影響。

陳輝[3]對(duì)歐幾里德最早提出的“黃金分割”這一概念進(jìn)行了詳細(xì)闡述。將一條線段進(jìn)行分割，當(dāng)C與B的比值等于B與A的比值且等于0.618時(shí)，這一分割點(diǎn)就稱為黃金分割點(diǎn)，如圖1。

圖1 黃金分割點(diǎn)的劃分Fig.1 Division of golden section

(1)

計(jì)算黃金分割最簡(jiǎn)單方法，是計(jì)算斐波那契數(shù)列(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…)，后二數(shù)之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21, …。即相鄰兩個(gè)斐波那契數(shù)的比值是隨序號(hào)的增加而逐漸逼近黃金分割比。

黃金分割率雖然被應(yīng)用在多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，但是基本都是應(yīng)用其幾何屬性，缺乏結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題的深度剖析[8-9]。C.M.MOORMAN等[10]利用黃金分割率分析了經(jīng)典的耦合振蕩問(wèn)題；YI Zhijian等[11]應(yīng)用黃金比例裂紋板的彈塑性問(wèn)題。由此可見(jiàn)，黃金分割率在這些研究中起到了關(guān)鍵作用。

筆者應(yīng)用黃金分割率分析了混凝土梁的裂縫分布模式。應(yīng)用“單筋張拉模型”建立平衡方程；并采用數(shù)值手段編程預(yù)測(cè)裂縫寬度和裂縫間距；通過(guò)室內(nèi)模型實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬相互驗(yàn)證了鋼筋混凝土梁開(kāi)裂的裂縫間距具有尺寸效應(yīng)的存在。

1 裂縫計(jì)算模型

為計(jì)算鋼筋混凝土梁的裂縫模式，現(xiàn)以一個(gè)合理的單筋梁拉伸模型為例(圖2)，通過(guò)分析單梁的裂縫分布結(jié)果來(lái)反演其他橋梁結(jié)構(gòu)裂縫分布規(guī)律。

圖2 單根鋼筋在水平拉力作用下的應(yīng)力分布Fig.2 Tensile stresses in the concrete that surround a steel reinforcing bar in tension

圖2中的鋼筋混凝土梁的拉伸實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ涂梢杂糜诮沂鹃_(kāi)裂現(xiàn)象。當(dāng)法向荷載達(dá)到開(kāi)裂荷載后，裂縫會(huì)出現(xiàn)在(L-2ltr)位置(L為鋼筋混凝土梁長(zhǎng)度，ltr為裂縫傳遞長(zhǎng)度)，此時(shí)混凝土拉應(yīng)力達(dá)到規(guī)范容許的抗拉強(qiáng)度值即fct。

裂縫的開(kāi)展具有一定隨機(jī)性，筆者考慮了兩種工況下的應(yīng)力應(yīng)變計(jì)算結(jié)果。其中：Type1表示初始狀態(tài)已經(jīng)存在初始裂縫(寬度為w)情況〔圖3(a)〕；Type2表示未產(chǎn)生裂縫情況〔圖3(b)〕?，F(xiàn)討論該兩種工況下梁的裂縫模式，如果給定一個(gè)軸向力N，以及鋼筋的應(yīng)變?chǔ)舠和混凝土的應(yīng)變?chǔ)與，則可得到式(2)：

N=σsAs+σcAc=EsεsAs+EcεcAc

(2)

式中：As和Ac分別為鋼筋和混凝土的面積；Es和Ec分別為鋼筋和混凝土的彈性模量；σs和σc分別為鋼筋和混凝土的應(yīng)力。

圖3 兩種工況下的幾何特性Fig.3 Geometric characteristics under two conditions

由式(2)可以獲得鋼筋應(yīng)變和混凝土應(yīng)變。

考慮到最大裂縫寬度的鋼筋混凝土梁中，假設(shè)加載過(guò)程符合平截面假定，那么在荷載作用下最大裂縫間距將會(huì)發(fā)生變化。這一變化規(guī)律即為約等于新裂紋一半的間距，新裂紋早期形成的圖式如上圖。在這種情形下，新裂紋產(chǎn)生的斷面將會(huì)是混凝土應(yīng)力達(dá)到極限張拉應(yīng)力之后。

2 程序計(jì)算

由圖3提出Type1和Type2兩種類型，構(gòu)建如圖4的計(jì)算簡(jiǎn)圖。其中：Type1截面中，Z=0時(shí)，s(Z=0)=w/2,；Type2截面中，Z=ltr時(shí)，σc(Z=ltr)=fct。

圖4 計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.4 Computing model

編寫(xiě)計(jì)算程序如下：

1)假設(shè)一個(gè)裂縫寬度數(shù)值(圖4)；

2)假設(shè)張拉鋼筋的一個(gè)實(shí)驗(yàn)荷載值；

3)計(jì)算Type1型截面的法向應(yīng)力；

4)從Type2型截面的計(jì)算模式中可以獲取初始裂縫出現(xiàn)時(shí)候的鋼筋應(yīng)變；

5)假設(shè)一裂縫傳遞長(zhǎng)度ltr，然后平均分為n等份，則每一段長(zhǎng)度為ΔZ=ltr/n；

6)由已知的靜動(dòng)態(tài)關(guān)系，進(jìn)行數(shù)值積分求解。假設(shè)鋼筋應(yīng)變?cè)隽亢突炷翍?yīng)變?cè)隽渴窍嗤?，由?3)計(jì)算

(3)

式中：εs,0，εc,0分別代表鋼筋和混凝土在Type1類型下的應(yīng)變值；εs,n，εc,n分別為鋼筋和混凝土在Type2類型下的應(yīng)變值；0≤χi≤1，其中χi表示相似系數(shù)，現(xiàn)假設(shè)函數(shù)si作為χi功能函數(shù)，表示如下：

si=si-1-ΔZ[-χi(ss,0-ss,n+sc,0-sc,n)+ss,0-sc,0]

(4)

如果采用顯示有限差分法，可用式(5)計(jì)算鋼筋的應(yīng)變值εs,i。

εs,i=εs, i-1-Δzi(4/φEs)τi-1

(5)

7)如果在第n個(gè)點(diǎn)時(shí)候，sn不等于0，改變ltr值并繼續(xù)步驟6)；

8)若在第n點(diǎn)時(shí)，εs,n≠fct/Ec，此時(shí)χi≠1，改變?chǔ)舠,0并返回到步驟2)。

給定一個(gè)裂縫寬度數(shù)值w，則可根據(jù)以上的程序及時(shí)相應(yīng)的法向力N，同時(shí)可以計(jì)算裂縫的最大間距，sr,max=2ltr(最小值為ltr)。

3 模型應(yīng)用

筆者所建立的計(jì)算模型可有效預(yù)測(cè)鋼筋混凝土梁橋裂縫開(kāi)展模式，摸清裂縫的開(kāi)裂間距和裂縫寬度。學(xué)者M(jìn)itch在1996年做過(guò)相關(guān)試驗(yàn)，其中幾何屬性考慮了尺寸效應(yīng)的影響，分別計(jì)算α=1和α=2的情況。當(dāng)α=1的時(shí)候隨著荷載等級(jí)的增加，裂縫寬度的變化情況，如圖5。將文中的計(jì)算模型與Mitch計(jì)算模型進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證了該程序的合理性?？梢杂迷摲椒ㄓ行У仡A(yù)測(cè)鋼筋混凝土梁的裂縫寬度。

圖5 文中計(jì)算模型與Mitch模型對(duì)比Fig.5 Comparison of calculation model and Mitch model

圖6為計(jì)算裂縫的傳遞長(zhǎng)度和鋼筋應(yīng)力之間的關(guān)系。裂縫傳遞長(zhǎng)度隨著鋼筋應(yīng)力的增加是逐漸減小，同時(shí)在相同鋼筋應(yīng)力水平下，裂縫傳遞長(zhǎng)度是隨著幾何尺寸變化而成比例關(guān)系變化的。當(dāng)鋼筋應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力的時(shí)候，此時(shí)α=1和α=2時(shí)的裂縫傳遞長(zhǎng)度的比值非常接近黃金分割率，如式(6)。因此，鋼筋混凝土梁的裂縫分布模式可以用黃金分割率來(lái)表達(dá)。

φ=α·16 mm，fc=34.9 MPa；B=α·170 mm，fct=1.8 MPa；H=α·95 mm，Ec=31 GPa；fy=400 MPa，Es=210 GPa；

[ltr(α=1)/ltr(α=2)]σs=400 MPa=189 mm/308 mm≈φ

(6)

由以上分析還可知，鋼筋混凝土梁的裂縫分布模式可以用黃金分割率來(lái)闡釋，同時(shí)可以得到當(dāng)梁的幾何尺寸存在倍數(shù)關(guān)系的時(shí)候，裂縫的傳遞長(zhǎng)度也將成倍數(shù)增加。

圖6 α=1和α=2時(shí)裂縫傳遞長(zhǎng)度變化規(guī)律Fig.6 Law of crack propagation length when α=1and α=2

4 基于黃金分割點(diǎn)的裂縫評(píng)估

4.1 尺寸效應(yīng)模型

裂縫間距隨著幾何尺寸的倍數(shù)變化表現(xiàn)出尺寸效應(yīng)，S.BURTSCHER等[12]將其用冪函數(shù)形式表達(dá)為：

式中：D0為參考尺寸(α=1)；D為通用尺度(α>1)；Sr0為α=1時(shí)裂縫間距；Sr為α>1時(shí)裂縫間距；μ值可通過(guò)模型實(shí)驗(yàn)或者數(shù)值模擬得到。

4.2 模型實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬

為計(jì)算μ值，筆者設(shè)計(jì)了3組鋼筋混凝土實(shí)驗(yàn)梁，且根據(jù)相似原理[9]的比例關(guān)系保證3組梁的截面幾何相似，即高寬比一致。3組梁的梁高分別為900，600，300 mm，不同尺寸梁的截面配筋如圖7，加載方式采用四點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)。

圖7 截面配筋Fig.7 Section reinforcement

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中分別記錄了3組實(shí)驗(yàn)梁的裂縫寬度、裂縫間距、應(yīng)變值、荷載大小等參數(shù)。3組梁的裂縫間距分別為43，24，13 cm；同時(shí)為了驗(yàn)證模型實(shí)驗(yàn)的可靠性，筆者通過(guò)大型通用有限元軟件ABAQUS分別模擬了3組實(shí)驗(yàn)梁的破壞過(guò)程，數(shù)值模擬的參數(shù)取值與室內(nèi)模型保持一致。有限元的計(jì)算結(jié)果如圖8，根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)3組梁的裂縫間距分別為41，20，12 cm。

圖8 數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)梁裂縫分布Fig.8 Numerical simulation of fracture distribution of experimental beam

通過(guò)室內(nèi)模型實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬驗(yàn)證過(guò)程，可以得到結(jié)論：當(dāng)鋼筋混凝土梁的幾何尺寸比例關(guān)系為D0/D≈0.5，裂縫傳遞長(zhǎng)度比值符合黃金分割率特點(diǎn)，因此可以求得μ≈0.7。

總之，裂縫間距具有尺寸效應(yīng)，更加簡(jiǎn)單地研究裂縫的模式，通過(guò)縮尺模型預(yù)測(cè)大跨度橋梁的裂縫分布情況。

5 結(jié) 論

筆者探討了一種用于評(píng)價(jià)鋼筋混凝土梁橋裂縫分布模式的新方法。通過(guò)非線性數(shù)值模型計(jì)算可以得到裂縫間距的尺寸效應(yīng)規(guī)律，結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與數(shù)值模擬驗(yàn)證可以得到以下結(jié)論：

1)鋼筋混凝土梁的裂縫分布模式可以用黃金分割率來(lái)表達(dá)，同時(shí)鋼筋混凝土梁的裂縫傳遞長(zhǎng)度ltr具有尺寸效應(yīng)。

2)當(dāng)鋼筋混凝土梁幾何尺寸比例為D0/D≈0.5，裂縫傳遞長(zhǎng)度比值符合黃金分割率特點(diǎn)，可以求得μ≈0.7。那么可結(jié)合實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ突驍?shù)值模擬來(lái)預(yù)測(cè)鋼筋混凝土梁橋的裂縫分布情況。

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Study on the Crack Pattern of RC Beam Bridge Based on Gold-division Ratio Model

SONG Jun1, ZHOU Jianting2, WANG Mingbin1, JIANG Rui1

(1. School of Civil Engineering, Ludong University, Yantai 264025, Shandong, P.R.China; 2. School of Civil Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, P.R.China)

A gold-division ratio was first introduced as a new approach to evaluate the crack distribution pattern for RC beam bridge.The crack opening and space of cracked concrete was predicted by establishing a concrete “single rebar tension model” and by compiling procedures and finally the accuracy of the obtained parameters were verified by conducting model experiment and numerical simulating. The results of above study show that application of gold-division ratio in analyzing crack opening and space of cracked concrete is of profound physical significance and the research results also reveal that crack spacing of concrete beam is of size effect. The significance of this given method lies that scale model can be used to predict the crack distribution pattern of large bridges and thus provides guidance to safety assessment of concrete bridge.

bridge engineering; crack mode; golden ratio; size effect

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.05.03

2016-01-06；

2016-02-29

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(55150826，E080505)；山東省高?？萍加?jì)劃項(xiàng)目(J16LG60，J15LG01)

宋 軍(1982—)，男，山東威海人，講師，博士，主要從事橋梁設(shè)計(jì)理論與工程控制方面的研究。E-mail:songjun198298@163.com。

U447

A

1674-0696(2016)05-009-04