廖小平 李達(dá) 韓雁青

【摘 要】針對工程分析中橡膠大變形無法計算的問題進(jìn)行研究，采用自適應(yīng)方法求解橡膠剛度曲線。建立與試驗原型機(jī)一致的有限元模型，包含橡膠、橡膠底座及試驗機(jī)沖頭的系統(tǒng)。當(dāng)橡膠發(fā)生大變形無法計算時，采用自適應(yīng)方法繼續(xù)求解。該方法通過提取變形后的網(wǎng)格并進(jìn)行重劃分，再進(jìn)行結(jié)果映射，最后經(jīng)過多次結(jié)果映射并重啟動分析，得到完整的橡膠剛度曲線。應(yīng)用實例表明：自適應(yīng)求解方法能夠解決橡膠大變形無法計算的問題，為橡膠參數(shù)反求提供條件，為橡膠新結(jié)構(gòu)的設(shè)計階段提供驗證方法，縮短開發(fā)橡膠新結(jié)構(gòu)的試驗周期。

【關(guān)鍵詞】橡膠；大變形；自適應(yīng)方法；剛度曲線

【中圖分類號】U463.33 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-0688（2016）08-0067-04

0 前言

在汽車工業(yè)中，橡膠材料的元件主要集中在發(fā)動機(jī)、變速器、傳動軸與車架或車身的連接處，以及懸架系統(tǒng)中。橡膠的主要作用是衰減發(fā)動機(jī)、傳動系及路面?zhèn)鬟f到車身的振動，可以在很大程度上改善車輛的NVH性能。

橡膠材料的變形是一個非常復(fù)雜的過程，其伴隨著大位移、大應(yīng)變。近年來，橡膠本構(gòu)模型一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱門課題。首先在橡膠有限元分析中，橡膠本構(gòu)模型類型的選取，對分析精度尤為重要。劉萌[1]等人采用Marc非線性有限元分析程序，用工程實用的測試方法，對橡膠材料單軸拉伸力學(xué)行為進(jìn)行測試，擬合處理得到Mooney Rivlin模型材料常數(shù)，并與實際測試結(jié)果進(jìn)行對比。結(jié)果表明，有限元模型計算所得力與位移關(guān)系曲線與實測曲線吻合較好，相對誤差小于6%。殷聞[2]等人則對比分析了2種橡膠本構(gòu)模型Mooney Rivlin和Yeoh的參數(shù)，并進(jìn)行了數(shù)學(xué)計算。他們采用非線性有限元軟件對三維啞鈴試樣進(jìn)行不同載荷水平下的單軸拉伸試驗仿真，得出Mooney Rivlin模型能更好地模擬橡膠的中小變形行為的結(jié)論。

對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的橡膠，用常規(guī)的分析方法無法得到完整的橡膠剛度曲線，以致橡膠制品的可靠性及疲勞性能一直停留在試驗驗證的階段。如果采用自適應(yīng)方法重劃網(wǎng)格達(dá)到完整的橡膠剛度曲線，那么有限元技術(shù)的應(yīng)用將縮短橡膠的設(shè)計周期，降低開發(fā)成本。因此，當(dāng)已知橡膠襯套的設(shè)計剛度曲線時，根據(jù)工程經(jīng)驗由具體的結(jié)構(gòu)形式確定橡膠本構(gòu)模型參數(shù)，通過自適應(yīng)方法對原始設(shè)計模型進(jìn)行橡膠有限元仿真，得到完整的橡膠剛度曲線后，再對比與設(shè)計剛度曲線的差距，以此確定橡膠是否滿足剛度要求，最后階段才通過試驗驗證，減少試驗周期。

1 橡膠有限元網(wǎng)格自適應(yīng)方法

對于橡膠大變形結(jié)構(gòu)件，為提高分析精度得到完整的橡膠剛度曲線，可以采用有限元自適應(yīng)分析方法。自適應(yīng)分析有3種方法：第一種是ALE自適應(yīng)網(wǎng)格；第二種是自適應(yīng)網(wǎng)格重劃；第三種是網(wǎng)格間的求解變換[2-3]。基于3種自適應(yīng)分析方法的各自優(yōu)缺點，雖然都可以解決分析過程中網(wǎng)格畸變問題，但只有網(wǎng)格間的求解變換這種方法最適用于橡膠剛度的求解。它是用一個新的網(wǎng)格替代因變形過大而嚴(yán)重扭曲的原有網(wǎng)格，把原來的分析結(jié)果自動映射到新網(wǎng)格上，然后繼續(xù)分析[3-4]。

自適應(yīng)分析流程如圖1所示：在多次網(wǎng)格重劃中，直接選取最大位移為初始分析步的最大壓縮量，但由于橡膠壓縮到一定程度時，網(wǎng)格會嚴(yán)重扭曲而使分析失敗；這時再根據(jù)最后迭代的分析步中計算出初始分析步的壓縮量，然后再重新計算；接著，通過有限元軟件把計算得到的結(jié)果文件轉(zhuǎn)化為有限元模型，并生成幾何進(jìn)行重劃，再把上一步計算得到的結(jié)果通過網(wǎng)格間的變換映射到新的網(wǎng)格中，同時要啟動重啟動分析步。重復(fù)上述過程，直至完成所需的壓縮量為止。最后，把設(shè)計剛度曲線與仿真分析剛度曲線作對比，判定新的設(shè)計結(jié)構(gòu)是否滿足設(shè)計要求。兩次重劃分剛度曲線的連接點如果出現(xiàn)剛度點偏移的現(xiàn)象，必須在剛度偏移點的上一步驟重新選取更小的壓縮量來加載，再重新分析。

2 橡膠本構(gòu)模型

橡膠分子鏈由許多鏈節(jié)組成，其間多通過鏈節(jié)節(jié)點處化學(xué)交聯(lián)而形成交聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。鏈節(jié)一端節(jié)點到另一端節(jié)點的距離向量稱為末端距向量。從分子或原子運動原理出發(fā)，采用統(tǒng)計法，通過對長鏈分子彈性性質(zhì)的研究，可確定橡膠的宏觀本構(gòu)關(guān)系。由于組成原子的微布朗運動，橡膠長鏈分子可能有許多不同的構(gòu)象。當(dāng)沒有外力作用，分子鏈的卷曲構(gòu)象熵通常趨于最大值。當(dāng)有外力作用時，分子鏈的構(gòu)象改變，構(gòu)象熵也發(fā)生變化。若分子鏈由3個長為t的鏈節(jié)組成，鏈節(jié)末端距向量為γ0，如果γ0=γ0≤nt，則可采用Gauss統(tǒng)計理論，建立材料本構(gòu)模型。橡膠材料為超彈性材料，反映其應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系的模型稱為本構(gòu)模型。描述橡膠的本構(gòu)模型種類相當(dāng)多，均基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論。19世紀(jì)以來，橡膠本構(gòu)關(guān)系的理論模型很多且基本趨于成熟，主要分為3類：第一種是基于分子統(tǒng)計學(xué)理論的本構(gòu)模型，如Arruda-Boyce模型、Kuhn-Grun模型；第二種是以應(yīng)變不變量表示的應(yīng)變能密度函數(shù)，其中比較有代表性的有Mooney-Rivlin，Yeoh；第三種是以主伸長率表示的應(yīng)變能函數(shù)。不同的本構(gòu)模型適用于不同的橡膠材料，所反映的精度也有一些差異[5-8]，因此選擇合理的橡膠材料的本構(gòu)模型尤為重要。

2.1 Mooney-Rivlin本構(gòu)模型

對于各向同性材料，假如I1、I2和I3分別為右Cauchy Green變形張量C的第一、第二、第三基本不變量，對于初始無應(yīng)力構(gòu)形的超彈性材料，應(yīng)變能函數(shù)W可表示如下：

W=W（I1，I2，I3）（1）

I=trC=C∶I=C（2）

I2=■[（trC）2-tr（C）2]=■（■-CijCji） i，j=1，2，3（3）

I3=detC（4）

C=F TF（5）

C=α？字÷？墜？錐（6）

J=deft（7）

式中，I為二階張量不變量，F(xiàn)為變形梯度，х和Х分別為同一點在變形前后的坐標(biāo)，J為變形后與變形前的體積比。

Tschoegl N W[11]認(rèn)為，含高階項的Mooney-Rivlin模型能更好地適應(yīng)填充與非材料填充，Mooney-Rivlin[8]通過物質(zhì)相變理論和大量試驗，探討了不可壓縮各向同性超彈性材料有限變形彈性理論，假設(shè)單位體積的儲能函數(shù)是右Cauchy Green變形張量的第一和第二基本不變量函數(shù)，建立的橡膠材料應(yīng)變能函數(shù)如下：

W=C10（I1-3）+C01（I2-3）+■（U-1）2

式中，C10、C01、D1為待確定的描述橡膠力學(xué)特性的參數(shù)、U是應(yīng)變能密度。

由于橡膠材料的幾何和材料的雙重非線性、超彈性及體積的不可壓縮性，使得對任何橡膠制品進(jìn)行有限元分析時都會遇到同樣的難題：即大變形時計算的收斂性及接觸問題的收斂性。這是目前在橡膠制品的有限元分析中存在的一個共同的難題。如果按常規(guī)的方法，即使畫再小的網(wǎng)格，由于網(wǎng)格畸變，也不能完成所需的壓縮量。橡膠本構(gòu)模型的材料參數(shù)對有限元的計算結(jié)果影響很大，即使對于同一個本構(gòu)模型，選擇不同的材料參數(shù)也會得到不同的計算結(jié)果。參考文獻(xiàn)[6]的實驗結(jié)論：兩參數(shù)Mooney-Rivlin模型能更好地模擬橡膠材料中等應(yīng)變范圍的應(yīng)變能。Mooney-Rivlin模型能很好地描述橡膠變形在150%內(nèi)的特性，研究文獻(xiàn)廣泛采用，因為它是兩參數(shù)本構(gòu)模型，系數(shù)擬合方面更方便。

3 應(yīng)用實例

在某車的后懸緩沖塊設(shè)計初期，已知后懸緩沖塊的設(shè)計剛度曲線時，根據(jù)工程經(jīng)驗由具體的結(jié)構(gòu)形式確定橡膠材料本構(gòu)模型Mooney-Rivlin的2個參數(shù)。但如果用試驗方法驗證橡膠剛度，周期較長。通過對原始設(shè)計模型進(jìn)行有限元分析，對比仿真剛度曲線與設(shè)計剛度曲線的差距，以此確定橡膠是否滿足剛度要求，減少開發(fā)周期。

3.1 橡膠剛度試驗原型機(jī)

橡膠剛度試驗原型機(jī)主要由3個部分組成：橡膠底座、橡膠本體、試驗機(jī)沖頭（如圖2所示）。

3.2 橡膠剛度試驗物理模型的建立

建立橡膠材料的本構(gòu)模型時，必須同時考慮橡膠材料的非線性和幾何非線性。在ABAQUS有限元分析軟件中，根據(jù)圖3中的模型結(jié)構(gòu)，假設(shè)橡膠底座及試驗沖頭不發(fā)生變形，建立緩沖塊的三維有限元模型，網(wǎng)格大小為2～3 mm，橡膠底座及試驗沖頭建二維剛體單元，網(wǎng)格尺寸為5 mm（如圖3所示）。檢查橡膠和橡膠上下端面的固定和加載裝置的干涉情況，以便計算結(jié)果更好地收斂。

本模型包含節(jié)點21 379個，單元18 476個，其中包括2 222個剛體單元、16 254個六面體單元。剛體單元的單元類為R3D3/R3D4，六面體采用雜交單元C3D8H（如圖3所示）。根據(jù)實際情況約束底座全部自由度及沖頭除壓縮位置自由度，并在沖頭控制點加載，同時主要部位的橡膠自接觸模擬，與其他部位用綁定接觸模擬。

確定Mooney-Rivlin本構(gòu)模型參數(shù)。首先是對已有車型的多個同類緩沖塊進(jìn)行分析，對比仿真剛度與測設(shè)剛度的匹配情況，應(yīng)用參數(shù)反求，通過設(shè)定目標(biāo)值，反求出最佳材料參數(shù)，然后根據(jù)經(jīng)驗確定Mooney-Rivlin本構(gòu)模型的2個參數(shù)。

3.3 自適應(yīng)分析過程與重啟動過程

初始階段設(shè)定一個最大的橡膠壓縮量A，提交abaqus計算分析，當(dāng)網(wǎng)格發(fā)生畸變時，無法收斂而終止分析，這時通過計算最后迭代步與壓縮總量的乘積來確定初始分析步的初始壓縮量a1，再重新提交abaqus計算分析。查看初始分析步橡膠剛度曲線是否正常，變形網(wǎng)格如圖4所示。建立好以上模型后，必須要設(shè)置重啟動，為第二次分析做準(zhǔn)備。

二次分析：提取初始分析最后分析步的變形后的結(jié)果網(wǎng)格（如圖4所示），生成幾何模型后重劃，再重新劃質(zhì)量好的三維網(wǎng)格，并將模型的不同區(qū)域賦予與初始模型相同的材料及單元屬性，也要設(shè)置重啟動參數(shù)，為第三次重劃網(wǎng)格分析做準(zhǔn)備。然后設(shè)定一個剩余壓縮量（A-a1），提交abaqus計算分析。當(dāng)網(wǎng)格發(fā)生畸變時，無法收斂而終止分析，這時通過計算最后迭代步與壓縮總量的乘積來確定二次分析步的初始壓縮量a2，同時要讓step1分析結(jié)果映射到二次分析step2中，使用關(guān)鍵字*MAP SOLUTION，再重新提交abaqus重啟動分析。查看初始分析步橡膠剛度曲線和變形圖是否正常（如圖5所示），如果前后的剛度點基本重合，則說明二次分析完成，如剛度點出現(xiàn)大的偏移（如圖6所示），則說明初始分析時單元出現(xiàn)了過大的網(wǎng)格畸變，需要施加一個更小的壓縮量，接著重新進(jìn)行計算，這是自適應(yīng)方法的關(guān)鍵技術(shù)之一。如果橡膠變形過大，則需要3次甚至多次網(wǎng)格重劃來完成整個分析，以得到一個較真實的計算結(jié)果（如圖7、圖8所示）。

3.4 結(jié)果討論

本例通過3次網(wǎng)格自適應(yīng)方法，即3次網(wǎng)格間的變化和重啟動求解得到一條完整的橡膠剛度曲線。分析剛度曲線是由初始分析步剛度曲線、二次分析剛度曲線、三次分析步剛度曲線及四次分析步剛度曲線，總共4個分析步首位相連得到完整的剛度曲線（如圖9所示）。由最終的分析剛度曲線與設(shè)計剛度曲線的對比結(jié)果看，本例的緩沖塊基本滿足設(shè)計剛度要求，可以采用此結(jié)構(gòu)。

4 結(jié)論

（1）針對結(jié)構(gòu)復(fù)雜的橡膠，在壓縮到一定程度后無法計算的問題，采用自適應(yīng)方法重劃分網(wǎng)格繼續(xù)計算，分析得到完整的橡膠剛度曲線，為橡膠新結(jié)構(gòu)的設(shè)計階段提供驗證方法。

（2）本文簡化橡膠臺架實驗?zāi)Ｐ停苡行У靥岣哂嬎阈省?/p>

（3）該方法具有較強(qiáng)的工程實用性，可以進(jìn)一步應(yīng)用到橡膠的參數(shù)反求中，以縮短產(chǎn)品開發(fā)周期。

參 考 文 獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯：陳澤琦]