唐高華，吳嚴(yán)生，張恒斌，李　玉

(廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530023)

?

局部環(huán)及其擴張的強二和性質(zhì)

唐高華，吳嚴(yán)生，張恒斌，李玉

(廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530023)

摘要：稱環(huán)R的元有強二和環(huán)性質(zhì)如果它可以寫成該環(huán)中兩個可換單位的和。如果環(huán)R的每個元都有強二和性質(zhì)，則稱R為強二和環(huán)。局部環(huán)是非常重要的環(huán)類，局部環(huán)及其擴張在環(huán)論、模論和同調(diào)代數(shù)等的研究中都有非常重要的地位。本文首先給出了局部環(huán)是強二和環(huán)的一個刻畫，然后研究了局部環(huán)的冪級數(shù)擴張、平凡擴張和矩陣擴張等的強二和性。

關(guān)鍵詞：2-good 環(huán)；強二和環(huán)；局部環(huán)；環(huán)擴張

本文考慮的都是有單位元的結(jié)合環(huán)。設(shè)R是一個環(huán)，用U(R)、J(R)和C(R)分別表示環(huán)R的單位群、Jacobson根和中心。設(shè)M是R-模，EndR(M)表示M的自同態(tài)環(huán)。環(huán)R上的n階全矩陣環(huán)和n階上三角矩陣環(huán)分別用Mn(R) 和Tn(R) 表示，單位矩陣用E表示。集合X的基數(shù)用|X|表示。

Wolfson和Zelinsky分別在文獻[1-2]中用不同的方法證明了以下定理：

Wolfson-Zelinsky定理：設(shè)V是除環(huán)D上的向量空間，若D≠F2或dim(V)≠1，則V上任一線性變換可以寫成兩個可逆線性變換的和。

這一結(jié)果使得研究由單位生成的環(huán)成為環(huán)論中的熱門問題[3-9]。2005年，Vámos[3]將具有上述性質(zhì)的環(huán)定義為2-good環(huán)，即如果環(huán)R中每個元可以寫成該環(huán)中兩個單位的和則稱R為2-good環(huán)。該文證明了2-good環(huán)的許多環(huán)論性質(zhì)并給出了一系列2-good環(huán)的例子。2013年，唐高華和周毅強[5]首次給出了強二和環(huán)的定義：環(huán)中每個元都可以寫成環(huán)中兩個可交換單位的和。該文主要證明了以下定理：

Tang-Zhou定理：除環(huán)D上的向量空間V上的線性變換環(huán)是強二和環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)|D|≥3且dim(V)<∞。

顯然強二和環(huán)是2-good環(huán)，但由Wolfson-Zelinsky定理和Tang-Zhou定理知Mn(Z2)(n≥2)是2-good環(huán)但不是強二和環(huán)。

局部環(huán)是非常重要的環(huán)類，局部環(huán)及其擴張在環(huán)論、模論和同調(diào)代數(shù)等的研究中都有非常重要的地位。本文首先給出局部環(huán)是強二和環(huán)的一個刻畫，然后研究局部環(huán)的冪級數(shù)擴張、平凡擴張、矩陣擴張等的強二和性。特別地，對于交換局部環(huán)R，我們證明Mn(R)(n=2或3)是強二和環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強二和環(huán)。我們猜想此結(jié)論對任意的正整數(shù)n也成立。

1相關(guān)引理

引理1(文獻[5]引理2)①設(shè)環(huán)R是強二和環(huán)，則R的同態(tài)像也是強二和環(huán)；②設(shè)R=∏α∈ΛRα是環(huán)的直積，則R是強二和環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個Rα都是強二和環(huán)。

2主要結(jié)果

定理1若R是局部環(huán)，則R是強二和環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意a∈J(R)，C(a)∩U#(R)≠?，這里C(a)={x∈R|xa=ax}，U#(R)=U(R)(1+J(R))={a∈U(R)|a?1+J(R)}。

證明(?)。對R中元素分兩種情況討論。

情形1：x∈J(R)或U#(R)。則x有強二和分解：x=(x-1)+1。

情形2：x=1+a∈1+J(R)。取u∈C(a)∩U#(R)，則(u+a)，(1-u)∈U(R)且(u+a)(1-u)=(1-u)(u+a)。于是x有強二和分解：x=1+a=(u+a)+(1-u)。

(?)。?a∈J(R)，1+a有強二和性質(zhì)。設(shè)1+a=u+(1+a-u)是其強二和分解，則1+a-u，u∈U(R)且au=ua。故u∈C(a)∩U#(R)。證畢。

推論1設(shè)R是交換局部環(huán)，則R是強二和環(huán)?U#(R)≠??R/J(R)Z2。

設(shè)R是環(huán)且σ：R→R是一環(huán)的自同態(tài)。R上的斜冪級數(shù)環(huán)R[[x，σ]]的所有元素是系數(shù)取自R的x的形式冪級數(shù)，環(huán)中加法是平凡的，乘法定義為：對r∈R，xr=σ(r)x。特別地，R[[x]]=R[[x，1R]]是R上的形式冪級數(shù)環(huán)。

定理2設(shè)R是局部環(huán)，若存在u∈C(R)∩U#(R)使得σ(u)=u，則R[[x，σ]]是強二和環(huán)。

(1)

(2)

推論2設(shè)R是局部環(huán)。若C(R)∩U#(R)≠?，則R[[x]]是強二和環(huán)。

例1設(shè)F是一特征為2的有限域且|F|=2k>2。若R=F2k[[x，σ]]且σ：F2k→F2k，σ(a)=a2，?a∈F2k，則R不是強二和環(huán)。

設(shè)R是環(huán)，M是(R，R)-雙模。R的M平凡擴張S：=R∝M的元素集為R×M，加法是通常的加法，乘法定義為：對r，r′∈R，m，m′∈M，(r，m)(r′，m′) =(rr′，rm′+mr′)。

定理3設(shè)R是局部環(huán)，若C(R)∩U#(R)≠?，則S=R∝R是強二和環(huán)。

證明顯然U(S)={(u，v)|u∈U(R)，v∈R}。任取(a，b)∈S，若a∈J(R)或U#(R)，則(a，b)=(a-1，b)+(1，0)是(a，b)的強二和分解。若a=1+c∈1+J(R)，則存在u∈C(R)∩U#(R)使得a=1+c=(u+c)+(1-u)是a的強二和分解。所以(a，b) =(u+c，b)+(1-u，0)是強二和分解。證畢。

定理4設(shè)D是除環(huán)，則S=D∝D是強二和環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)DZ2。

證明(?)。設(shè)(a，b)∈S。若a≠1，則有強二和分解(a，b)=(a-1，b)+(1，0)；若a=1，b=0或1，取1≠x∈U(D)，則(1，b)=(1-x，b-x)+(x，x)是強二和分解；若a=1，b≠0，1，則(1，b)=(1-b，0)+(b，b)是強二和分解。

定理5設(shè)R、S都是局部環(huán)，若下面兩個條件都滿足，則T(R，M，S)是強二和環(huán)。

(Ⅰ)對任意m∈M，存在u∈C(R)∩U#(R)和v∈C(S)∩U#(S)使得um=mv；

(Ⅱ)若r∈J(R)，s∈1+J(S)，m∈M，則存在x∈M使得m=xs-rx。

情形2：r∈J(R)，s∈J(S)。則A在T(R，M，S)中有強二和分解：A=E+(A-E)。

推論3設(shè)R是交換局部環(huán)，則T2(R)是強二和環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強二和環(huán)。

證明(?)。由于R是交換局部強二和環(huán)，易見它滿足定理5的條件，從而結(jié)論成立。

定理6設(shè)R是局部環(huán)且s∈C(R)∩J(R)，若C(R)∩U#(R)≠?，則Ks(R)是強二和環(huán)。

證明設(shè)A∈Ks(R)，由引理3可以分成以下4種情況討論：

情形1：A可逆。存在a∈C(R)∩U#(R)使得a-1∈U(R)。所以A=aA+(1-a)A。

情形2：E-A可逆。所以A=E+(A-E)。

定理7設(shè)R是局部環(huán)，若C(R)∩U#(R)≠?，則M2(R)是強二和環(huán)。

證明設(shè)A∈M2(R)，由引理4可以分成以下3種情況討論：

情形1：A可逆。取u∈C(R)∩U#(R)，則u-1∈U(R)。所以A=uA+(1-u)A是其在M2(R)中的強二和分解。

情形2：E-A可逆。故A=E+(A-E)是其在M2(R)中的強二和分解。

推論4設(shè)R是交換局部環(huán)，則M2(R)是強二和環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強二和環(huán)。

(?)。因為R是強二和環(huán)，則U#(R)≠?。由定理7，M2(R)是強二和環(huán)。

定理8設(shè)R是交換局部環(huán)，則M3(R)是強二和環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強二和環(huán)。

①若β，γ∈J(R)且α∈U#(R)，則E-C可逆，C=E+(C-E)是一強二和分解。

③若α，β，γ∈U(R)，則C可逆，且C=uC+(1-u)C是強二和分解。

(?)。類似于推論4的必要性證明。證畢。

猜想1設(shè)R是交換局部環(huán)，n是正整數(shù)，則Mn(R)是強二和環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強二和環(huán)。

定理10的證明與定理9的證明類似，省略。

參考文獻：

[1]WOLFSON K G. An ideal-theoretic characterization of the ring of all linear transformations[J]. American Journal of Mathematics，1953，75(2)： 358-386. DOI:10.2307/2372458.

[2]ZELINSKY D. Every linear transformation is a sum of nonsingular ones[J]. Proceedings of the American Mathematical Society，1954，5(4)： 627-630. DOI:10.2307/2032048.

[4]SRIVASTAVA A K. A survey of rings generated by units[J]. Ann Fac Sci Toulouse Math，2010，19(s1)： 203-213. DOI:10.5802/afst.1281.

[5]TANG Gaohua，ZHOU Yiqiang. When is every linear transformation a sum of two commuting invertible ones ?[J]. Linear Algebra and Its Applications，2013，439(11)： 3615-3619. DOI:1016/j.laa.2013.09.038.

[6]GROVER H K，WANG Zhou，KHURANA D，et al. Sums of units in rings[J]. Journal of Algebra and Its Applications，2014，13(1):1350072. DOI:10.1142/s0219498813500722.

[7]唐高華，蘇華東，易忠.Zn[i]的單位群結(jié)構(gòu)[J]. 廣西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010，28(2)： 38-41. DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.2010.02.004.

[8]唐高華，趙淼清，佟文廷. 關(guān)于凝聚局部環(huán)的正則性[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報，2000，43(4):615-622.

[9]李先賢，程福長. 非交換 Gr-凝聚半局部環(huán)的同調(diào)維數(shù)[J]. 廣西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，1998，16(2)： 13-17. DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.1998.02.003.

[10]TANG Gaohua，ZHOU Yiqiang. Strong cleanness of generalized matrix rings over a local ring[J]. Linear Algebra and Its Applications，2012，437(10)： 2546-2559. DOI:10.1016/j.laa.2012.06.035.

[11]YANG Xiande，ZHOU Yiqiang. Strong cleanness of the 2×2 matrix ring over a general local ring[J]. Journal of Algebra，2008，320(6)： 2280-2290. DOI:10.1016/j.jalgebra.2008.06.012.

[12]AVNI N，ONN U，PRASAD A，et al. Similarity classes of 3×3 matrices over a local principal ideal ring[J]. Communications in Algebra，2009，37(8)： 2601-2615. DOI:10.1080/00927870902747266.

[13]KRYLOV P A. Isomorphism of generalized matrix rings[J]. Algebra and Logic，2008，47(4)： 258-262. DOI:10.1007/s10469-008-9016-y.

(責(zé)任編輯黃勇)

Strong 2-sum Property of Local Rings and Their Extensions

TANG Gaohua，WU Yansheng，ZHANG Hengbin，LI Yu

(School of Mathematics and Statistics，Guangxi Teachers Education University， Nanning Guangxi 530023，China)

Abstract:An element of a ring R is called to have the strong 2-sum property if it is a sum of two units that commute with each other. And a ring R is called a strong 2-sum ring if every element of R has the strong 2-sum property. Local ring is a very important class of rings. Local rings and their extensions are very important in the research of ring theory，module theory and homological algebra. In this article， a characterization of a local ring to be a strong 2-sum ring is given. Then, the strong 2-sum property of local rings and their power series extension，trivial extension and matrix extension are studied.

Keywords:2-good ring；strong 2-sum ring；local ring；ring extension

中圖分類號：O153.3

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-6600(2016)01-0072-06

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11161006，11461010)；廣西科學(xué)研究與技術(shù)開發(fā)項目(桂科合1599005-2-13)；廣西高?？茖W(xué)技術(shù)研究項目(KY2015ZD075)。

收稿日期：2015-08-23

doi:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.01.011

通信聯(lián)系人：唐高華(1965—)，男，廣西桂林人，廣西師范學(xué)院教授，博士，博導(dǎo)。E-mail：tanggaohua@163.com