陸道淵(浙江溫州 325000)

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對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的0和1的新認(rèn)識

陸道淵
(浙江溫州 325000)

【摘 要】發(fā)現(xiàn)并使用“實(shí)數(shù)”新概念,消除了理學(xué)中一切有關(guān)的重大悖論(請注意:學(xué)術(shù)研究中的矛盾一詞,實(shí)質(zhì)上分兩種概念,必須要分清:(1)一個(gè)命題自我否定,簡稱悖,必錯(cuò);(2)兩個(gè)命題的互相否定,哪個(gè)錯(cuò)未確定。所以命題有 悖 就自我否定而不成立。和疑難,并展示了消悖實(shí)例,使數(shù)學(xué)、理論物理學(xué)徹底淺簡了。

【關(guān)鍵詞】總段1 〈自然數(shù)〉 〈量數(shù)〉 〈整數(shù)〉

學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)、物理學(xué)的人都知道，現(xiàn)行理學(xué)中有很多重大悖論和疑難；連邏輯主義數(shù)學(xué)家弗雷格也說‘邏輯在哪里出了毛病呢？很多人百思不得其解。這一問題直接威脅到數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)………更重要的是，威脅到自然數(shù)的定義?！€說‘對什么是1這樣一個(gè)貌似簡單的問題，尚未有一個(gè)完滿的答案……否則，我們最終將弄不清楚負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)或復(fù)數(shù)。’(引自［3］)

數(shù)學(xué)家們也都哀嘆數(shù)學(xué)的悖論災(zāi)難越來越深重了；有些數(shù)學(xué)家試圖用“零(記為0)和無限大(記為∞)是關(guān)于1的反演點(diǎn)，即0∞＝1”的方法(引自［1］的第8頁)來躲避如影隨形的悖論，但更不通了，因?yàn)楝F(xiàn)行的所謂“實(shí)數(shù)”已(無理的)規(guī)定“0是整數(shù)、偶數(shù)，但不能做除數(shù)”；而且0既然是“實(shí)數(shù)軸”的始點(diǎn)，而∞卻在無限的遙遠(yuǎn)，也不是真正的反演。明擺著，是“實(shí)數(shù)”有毛病，即“實(shí)數(shù)軸”為無限的直線是錯(cuò)誤的。

令人驚喜的是，如把“實(shí)數(shù)軸”改為有限的線段，則整個(gè)現(xiàn)行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就被革命性糾正，從而所有相關(guān)的悖論和疑難也隨之全部消除。

于是，所謂“實(shí)數(shù)”就有了其新概念〈數(shù)〉 (用〈〉 表 示 新概念)。

1 “實(shí)數(shù)”的新概念

先取“實(shí)數(shù)軸”的正半軸射線改為線段 ，再把它有限等分，并把有序性編號①、②、③…從左向右標(biāo)在相應(yīng)的分點(diǎn)上，則1、2、3…等稱為有序積段，而①、②、③…是其分點(diǎn)的 編號，如圖1。對這同一線段，當(dāng)有序編號n 增多，則等分分段△n間隔縮小，但△n≡1‘(固符’△專使△n≡1)，如圖2。

圖2顯示出四點(diǎn)：第Ⅰ、總段(總段用粗體1標(biāo)志，以區(qū)別于積段1)的始點(diǎn)是0 ；0 是0的編號；第Ⅱ、如果反序讀正半軸的n，則也出現(xiàn)負(fù)號，這說明正負(fù)符號與有序積段n本身無關(guān)(例如錢這數(shù)量，其本身是沒有正負(fù)的，只在使用時(shí)才出現(xiàn)正負(fù)號。)；第Ⅲ、如把每一分段△n繼續(xù)不斷十等分，則n →∞，但n ≠∞，否則△n＝1/ ∞=0，總段就不存在了，這就有悖 ；這也證實(shí)了∞不屬于總段1，即n 和∞分別是1和∞兩者界點(diǎn)的編號。所以編號為∞的∞不在總段1上，而是總段1的終端n 之外的空間。注意，同一界點(diǎn)的兩個(gè)編號∞和n 是不容許換位的；但現(xiàn)行的“實(shí)數(shù)軸”是無限的射線，才使數(shù)學(xué)家們把∞和n 合二為一了，即可以n ＝∞了，這是“實(shí)數(shù)”有缺陷的根本原因； 第Ⅳ、不管編號n 如何增多，恒有△n＝1，即等分分段△n≡1。

同理，現(xiàn)用的負(fù)半“實(shí)數(shù)軸”用上述辦法也可顯出圖2這四點(diǎn)，如圖3。

由四個(gè)圖可知，0是不真的數(shù)，因?yàn)樗鼪]有長度，因此0在新概念中僅表示‘無’‘、空位’等。由圖4可看出，0是微觀的‘無’，∞是宏觀的‘無’，作為數(shù)都是不真的。要有總段1，才能被有限多的編號n 等分后得到有限多的有序積段n；如果沒有總段1，就會把有序編號n與有序積段n混而為一了。

注意：事實(shí)上總段1不是〈自然數(shù)〉的1，因?yàn)樗皇怯傻确值玫?，因而沒有編號，所以不是〈數(shù)〉。

不連續(xù)的〈自然數(shù)〉叫〈整數(shù)〉。所以〈整數(shù)〉中沒有正號、負(fù)號和不真的〈數(shù)〉0、∞ 。

數(shù)學(xué)范疇不能引入各種量，因而沒有量綱(量綱即量度單位)，以致人們不會區(qū)別〈純數(shù)〉和〈量數(shù)〉兩個(gè)概念，現(xiàn)在有了新概念〈自然數(shù)〉，就可區(qū)別〈純數(shù)〉和〈量數(shù)〉了，例如mn 和m/n ，雖然兩者都是〈自然數(shù)〉之間關(guān)系性式子的〈數(shù)〉，但前者是〈純數(shù)〉而后者是〈量數(shù)〉。

進(jìn)而，一切小數(shù)無論是‘有理的，無理的，或超越的’，實(shí)質(zhì)上都是物理元素間或幾何元素間的關(guān)系的值，亦即僅由〈自然數(shù)〉n(n是其編號)間按各種關(guān)系性運(yùn)算符號組成的式子產(chǎn)生，如0.6 =3/5、0.42857=37、1.4142……=、π＝L/D【注意，在沒有量綱/的條件下，L，D都只能是(存在性的〈)整數(shù)〉，不可能是(關(guān) 系 性 的)小數(shù)；因?yàn)榭偪梢杂米钚〉亩攘繂挝唬苁剐?shù)點(diǎn)消去。】、e=1+1/2!+……1/n!，等。有了新概念〈自然數(shù)〉，就知道任何小數(shù)在表達(dá)上都沒有獨(dú)立性(須由〈自然數(shù)〉組成的式子表出)，而且甚至沒有完全性(如無限小數(shù)須取近似值)，所以都不能標(biāo)在新概念數(shù)軸上。有了〈自然數(shù)〉，還容易區(qū)分無限小數(shù)中的“無理性和超越性”，如無限小數(shù)、無理數(shù)3/7、這兩式中的〈整數(shù)〉是確定的，而L/D 、1+1/2!+……1/n!中〈整數(shù)〉是不確定的，這就是e、π為何具有‘超越性’的原因。顯然，這一判斷方法是簡明有效的(而康托的用數(shù)軸判斷法是錯(cuò)誤的，因?yàn)榉残?shù)都是關(guān)系性的數(shù)，在數(shù)軸上是沒有的)。

概括上述，總稱為“實(shí)數(shù)”的含義不合事實(shí)，應(yīng)改稱為〈數(shù)〉，表示新概念：〈數(shù)〉包括由總段1所產(chǎn)生的真的數(shù)〈自然數(shù)〉n和其編號

還須提醒四點(diǎn)：

(1)既然在新概念的數(shù)軸上，不存在各種小數(shù)，所以還證實(shí)了與“實(shí)數(shù)”相關(guān)的所謂“開區(qū)間”、“閉區(qū)間”也是假概念，由新概念編號n 取代，，這極大的淺簡了高等數(shù)學(xué)。

(2)函數(shù)關(guān)系性(不管是幾何關(guān)系或是物理關(guān)系)的〈數(shù)〉，不是坐標(biāo)軸(坐標(biāo)軸 由數(shù) 軸 組成)上本身所有的存在性的〈數(shù)〉。所以，坐標(biāo)軸上只能標(biāo)上存在性的〈數(shù)〉即新概念〈自然數(shù)〉；當(dāng)用到不同函數(shù)式的分?jǐn)?shù)、小數(shù)和無理數(shù)時(shí)，只能臨時(shí)在軸上點(diǎn)出。

(3)上述證實(shí)了，客觀只存在‘線段’，即‘線段’是真概念，而‘射線’和‘直線’應(yīng)分別是‘一個(gè)端點(diǎn)暫未確定的線段’和‘兩個(gè)端點(diǎn)都暫未確定的線段’的簡稱。

2 解決現(xiàn)行數(shù)學(xué)中幾個(gè)已公認(rèn)無法解決的悖論和疑難的實(shí)例

(1)“整體等于其局部”悖論和對其解決：現(xiàn)行科教書依據(jù)所謂“實(shí)數(shù)”，用康托的“一一對應(yīng)法和勢的大小”證出“自然數(shù)與其正偶數(shù)(或正奇數(shù))一樣多”，從而得出“整體等于其局部”。

解決：由于新概念〈自然數(shù)〉是有限的，即知這是悖論。

(2)“康托集”悖論和對其解決：現(xiàn)行科教書關(guān)于“康托集”的表述是(引自［2］363頁和366頁)：“把區(qū)間 [0，1](即長度為1的線段)三等分，棄中間子區(qū)間(1/3，2/3)；如此連續(xù)棄中，問棄的數(shù)多還是剩的數(shù)多？”，“經(jīng)運(yùn)算，所棄的子區(qū)間之和的長度A=1；但還剩點(diǎn)集X，其元素(即長度為零的點(diǎn))有無窮多；用一一對應(yīng)法，點(diǎn)集X的元素與長度A中的元素一樣多”；“與我們的習(xí)慣思維似有矛盾……全部區(qū)間都扔掉了，但像沒扔掉?！?/p>

上面引文顯示，編著者實(shí)際已承認(rèn)了其“證明”是悖論；事實(shí)上，所棄的和還剩的都不是“點(diǎn)集”而是‘段集’(即其元素都是長度不為零的小線段)。

解決：用新概念〈自然數(shù)〉，所謂“區(qū)間 [0，1]”(注意，有了〈自然數(shù)〉的‘編號’“，區(qū)間”已被‘編號’取代，即所謂“開區(qū)間”“、閉區(qū)間”已被否定)實(shí)即總段1，其終點(diǎn)編號n ≠∞，即所棄的“子區(qū)間”總長度為A，而所剩的區(qū)間之和的長度為a；所以A遠(yuǎn)大于a。于是該悖論解決。

(3“)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”悖論和其解決：現(xiàn)行科教書已承認(rèn)了該“假設(shè)”是無法解決的第一難題。

解決：由新概念〈自然數(shù)〉知，該“假設(shè)”是“整體等于其局部”悖論的一般化，這等于已得到解決。

(4)羅素悖論的解決：羅素在研究自然數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)了羅素悖論‘：集包含自身為元素’。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)由該悖論的提出引起；至今沒有解決。

解決：如用新概念的〈自然數(shù)〉，因總段1不是積段的1，即總段1不是〈數(shù)〉，就不會‘集包含自身為元素’，于是 羅素悖論即得解決。

(5‘)費(fèi)馬大定理’(即xn+yn=zn，當(dāng)n〉2時(shí)，無正整數(shù)解)疑難的解決：現(xiàn)行科教書依據(jù)現(xiàn)行“實(shí)數(shù)”概念，宣稱該‘定理’由懷爾斯在1995年成功證明，但數(shù)學(xué)家們都認(rèn)為懷爾斯的證明太冗長、不淺簡，因而其證明性不強(qiáng)(注意，費(fèi)爾馬在關(guān)于這不定方程的待求正整數(shù)解這頁的空白處寫道‘：…………我已發(fā)現(xiàn)了這個(gè)美妙證法，可惜這里的空白地方太小，寫不下。’；這證明費(fèi)爾馬的‘美妙證法’是很簡短的。)

如用新概念〈自然數(shù)〉，可簡潔證明如下：

所以，失逸的費(fèi)爾馬的‘美妙證法’，必是這種證法。

(6)現(xiàn)行教科書中兩個(gè)疑似已解決的著名悖論(即‘莊子悖論’和‘芝諾悖論’，請看［1］的第3和第9頁)， 其實(shí)并沒有真的解決，原因就是沒有積段n和分點(diǎn)編號n 之分，即雖知n →∞，卻不知n≠∞，把n 和∞∞兩個(gè)編號混同了，才說出“無限段路程之和可以是有限量”(引自［1］的第3頁末；注意，此話是具體、清楚的低劣錯(cuò)誤，出于數(shù)學(xué)家之口，實(shí)為數(shù)學(xué)的悲哀)這種有悖的“結(jié)論”，從而沒能真正解決這兩個(gè)悖論。所以，只有知道新概念〈自然數(shù)〉 n是有限的，即n →∞但n ≠∞，表達(dá)了n 僅具‘未知性’而不具‘無限性’，從而不會把n 與∞混同(由圖2或3更可直觀看出，總段1的終點(diǎn)是n與∞的界點(diǎn)，并標(biāo)著n 、∞，很容易混同)，才使這兩個(gè)著名悖論得到真正的徹底解決。

所以，這實(shí)例6，應(yīng)概括為一句直觀而淺簡的實(shí)質(zhì)性表述：總段的n是積段，而每分段恒為1，于是有n÷1＝n ，這編號n 就有限；當(dāng)此確定線段被長度為0除，有n÷0＝∞，即得編號等于∞；于是

(為簡，更多實(shí)例，略。)

顯然，使用“實(shí)數(shù)”的新概念〈數(shù)〉，能消除悖論而沒有不良副作用。

參考文獻(xiàn):

[1]張景中主編,梁昌洪編著.《話說極限》.書號為ISBN 978-03-023788-0 科學(xué)出版社出版.

[2]張景中主編,王樹禾編著.《數(shù)學(xué)聊齋》(第二版).書號為ISBN7-03-013958-5.科學(xué)出版社出版.

[3]趙敦華編著.《當(dāng)代英美哲學(xué)舉要》.書號IBSN7-80092-552-8當(dāng)代中國出版社出版.