劉 祥，陳 娟（溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035）

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固態(tài)電路QED系統(tǒng)中三模連續(xù)變量糾纏的實現(xiàn)

劉 祥，陳 娟
（溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035）

摘 要：通過三個超導(dǎo)傳輸線諧振器與四能級超導(dǎo)量子比特相互耦合實現(xiàn)了固態(tài)電路QED系統(tǒng)中三模連續(xù)變量糾纏，并分析了四能級超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)的能級躍遷與經(jīng)典場的驅(qū)動和諧振器的耦合之間的關(guān)聯(lián)．結(jié)果表明：采用絕熱消除的方法可以在三個固態(tài)諧振器中實現(xiàn)三模連續(xù)變量糾纏，為多模連續(xù)變量糾纏研究提供了新途徑．

關(guān)鍵詞：連續(xù)變量糾纏；固態(tài)電路QED；絕熱消除法

連續(xù)變量量子信息處理因在制備、操縱、測量等方面都能夠有效實現(xiàn)［1］，近年來受到了廣泛關(guān)注，已經(jīng)應(yīng)用于各種量子信息和量子通信協(xié)議方面［2］．不同系統(tǒng)都有其制備方案，例如電磁場系統(tǒng)、固態(tài)諧振器系統(tǒng)、原子系綜系統(tǒng)、核自旋系統(tǒng)、約瑟夫森結(jié)系統(tǒng)、波色-愛因斯坦凝聚系統(tǒng)等．尤其是光學(xué)系統(tǒng)［3］制備方案已經(jīng)相當成熟，最近制備了高達10 000個量子模的連續(xù)變量糾纏［4］．相對而言，盡管固態(tài)量子系統(tǒng)在實現(xiàn)量子計算機方面具有非常好的前景，但是提出實現(xiàn)連續(xù)變量糾纏的方案卻很少［1］．

固態(tài)量子系統(tǒng)，特別是固態(tài)電路QED（quantum Electrodynamics）系統(tǒng)具有良好的可擴展性、魯棒的可控性、儲存性和讀出性［5］，能夠?qū)α孔游贿M行快速重復(fù)地非破壞測量［6］，是實現(xiàn)量子反饋控制的良好試驗臺［7］．因此電路QED系統(tǒng)的相關(guān)研究在過去幾年里受到了廣泛關(guān)注，尤其是糾纏態(tài)的制備和操縱．然而大部分的研究都集中在離散變量，與連續(xù)變量相關(guān)的研究卻沒有多大的進展．最近，Li等人［8］在囚禁離子的固態(tài)量子系統(tǒng)中實現(xiàn)了三模連續(xù)變量糾纏，但是在固態(tài)電路QED系統(tǒng)中還沒有實現(xiàn)制備三模連續(xù)變量糾纏的方案．

本文研究了在固態(tài)電路QED系統(tǒng)中制備三模連續(xù)變量糾纏的方案，通過一個由兩個相同的超導(dǎo)電荷量子比特通過耦合電路連接而成的四能級超導(dǎo)量子比特與三個諧振器相互耦合來實現(xiàn)［9］．本研究對于研究多模連續(xù)變量糾纏具有重要的意義．

1　四能級超導(dǎo)量子比特

如圖1，四能級超導(dǎo)量子比特是由分別與Joephon結(jié)相互耦合的超導(dǎo)電荷量子比特1和比特2構(gòu)造而成．結(jié)的有效Joephon能EJm可以通過回路中的磁通量Φ來調(diào)節(jié)，結(jié)電容是CJm；第i個超導(dǎo)電荷量子比特的電容是，量子比特的Joephon能EJi能夠通過回路中的磁通量來調(diào)節(jié)；第i個量子比特的門電壓為，門電容為Cgi．假設(shè)量子位的充電能偏置為0，則量子比特能量為EJi．利用拉格朗日方法，四能級量子比特系統(tǒng)的Hamiltonian為：

圖1　諧振器與電荷量子比特耦合

可以推導(dǎo)出公式（1）中Hamiltonian的本征態(tài)為：

2　系統(tǒng)的相互作用能

圖1所示的整個系統(tǒng)的Hamiltonian為：

Hq是方程（3）所示的四能級量子比特系統(tǒng)的Hamiltonian，三個諧振器以及與量子比特相互耦合的總的Hamiltonian為：

其中，與量子比特1耦合的經(jīng)典驅(qū)動頻率為w1，驅(qū)動振幅為；與量子比特2耦合的經(jīng)典驅(qū)動頻率分別為w2和w3，驅(qū)動振幅為．不失一般性，假設(shè)經(jīng)典驅(qū)動只與耦合，而諧振器只通過與量子比特耦合．中的耦合項和Hf中的驅(qū)動項共同產(chǎn)生了四能級系統(tǒng)本

Hr征態(tài)之間的躍遷，其中包括諧振器光子及經(jīng)典場的吸收與發(fā)射．

圖2　諧振器與經(jīng)典驅(qū)動能級躍遷

3　諧振器的有效Hamiltonian

通過選擇諧振器與量子比特間恰當?shù)鸟詈弦约敖?jīng)典驅(qū)動來產(chǎn)生三模連續(xù)變量糾纏．為得到有效Hamiltonian，需要調(diào)節(jié)圖1中的參數(shù)來找到合適的有效耦合常數(shù)和本征態(tài)之間的能級間隔．通過兩步來確定參數(shù)：

2）利用能級的可控性設(shè)計大失諧來抑制不必要的躍遷．四能級系統(tǒng)的能級躍遷見圖2，采用的方法如下：之間的躍遷可以通過一個失諧量為，頻率為w1的經(jīng)典驅(qū)動來實現(xiàn)；之間的躍遷可以通過失諧量分別為，頻率為w2和w3的經(jīng)典驅(qū)動來實現(xiàn)；之間的躍遷可以通過一個失諧量為的耦合諧振器a1來實現(xiàn)；之間的躍遷可以通過失諧量分別為和的耦合諧振器a2和a3來實現(xiàn)．經(jīng)典驅(qū)動和諧振器與能級躍遷之間的耦合可以通過選擇電路參數(shù)來實現(xiàn)．

得出：

4　三模連續(xù)變量糾纏

利用文獻［11］中介紹的一般形式分解，方程（22）中的有效哈密頓量Heff的幺正演化算符可以分解為：

方程（23）中的第一項分解算符為相移算符，該方程中第二項是一個產(chǎn)生三模連續(xù)變量糾纏的運算．例如，通過選擇系統(tǒng)參數(shù)，使得．這些可以通過假設(shè)和來實現(xiàn)，那么Heff的幺正演化算符變?yōu)椋?，這正是三模連續(xù)變量糾纏的產(chǎn)生算符．通過參量轉(zhuǎn)變過程，建立與以及與的關(guān)聯(lián)；通過線性混合過程，建立和的關(guān)聯(lián)，模之間的關(guān)聯(lián)度取決于和的差異．因此，給出滿足方程（22）的數(shù)據(jù)，三個諧振器的初始態(tài)就能夠在一段時間t內(nèi)發(fā)生糾纏．

5　結(jié) 論

本文提出了在電路QED系統(tǒng)中，利用三個諧振器耦合一個可控四能級超導(dǎo)量子比特來產(chǎn)生三模連續(xù)變量的方案，在當前技術(shù)條件下是可行的．態(tài)的糾纏度取決于電路和驅(qū)動的參數(shù)．與之前大多數(shù)應(yīng)用光學(xué)、腔或者原子系統(tǒng)的方案不同，我們是在固態(tài)電路QED系統(tǒng)中產(chǎn)生了三模連續(xù)變量．

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（編輯：封毅）

The Realization of Tripartite Continuous Variable Entanglement Generated in Solid-state Circuit QED

LIU Xiang， CHEN Juan
（College of Physics and Electric Information， Wenzhou University， Wenzhou， China 325035）

Abstract：The paper indicates that the tripartite continuous-variable entanglement could be realized in the solid-stated circuit through the interconnection between the energy transition of the four-level superconductor qubit system and the three superconducting transmission line resonators. Thus the correlation between the energy level transition of the four-level superconductor qubit system and the driving of classical fields and the coupling of resonators is analyzed. It turns out that an effective tripartite continuous-variable entanglement could be realized in the three solid-stated resonators via the application of the adiabatic eliminated method，besides， the research provides a new way to research the multipartite CV entanglement.

Key words：Continuous Variable Entanglement； Solid-state Circuit QED； Adiabatic Eliminated Method

作者簡介：劉祥（1989- ），男，山西朔州人，碩士研究生，研究方向：量子信息物理

收稿日期：2015-09-03

DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2016.02.006 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

中圖分類號：O413.2

文獻標志碼：A

文章編號：1674-3563（2016）02-0039-07