馬　霞 , 陳　娜

(1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，山西 太原 030008;2.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 周口 466001)

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具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的離散SEIR腮腺炎模型的全局穩(wěn)定性分析

馬霞1, 陳娜2

(1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，山西 太原 030008;2.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 周口 466001)

摘要：主要研究了一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的離散SEIR腮腺炎模型的動力學(xué)性態(tài).利用再生矩陣的方法定義了模型的基本再生數(shù)，通過歸納法得到了模型解的非負(fù)性和有界性.當(dāng)R0<1時，模型存在唯一的無病平衡點并且是全局漸近穩(wěn)定的.當(dāng)R0>1時，模型存在無病平衡點和唯一的地方病平衡點，通過構(gòu)造合理的Lyapunov 函數(shù)證明了地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.最后通過數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果.

關(guān)鍵詞：離散SEIR傳染病模型；向后歐拉法；基本再生數(shù)；穩(wěn)定性；動力學(xué)行為

利用數(shù)學(xué)模型來研究傳染病的傳播機(jī)理和預(yù)測傳染病的流行趨勢已成為共識，應(yīng)用也越來越廣泛.傳染病模型與公共衛(wèi)生、醫(yī)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)以及計算機(jī)仿真等方法的結(jié)合使用，能更有效、準(zhǔn)確、全面、迅速地給出某地區(qū)疾病的流行規(guī)律.

由于許多傳染病疫情的數(shù)據(jù)都是按年、月、周、天為單位的離散數(shù)據(jù)，使得離散模型在參數(shù)估計和初值選取以及描述傳染病的流行進(jìn)程等方面更為方便.Allen等[1]研究了離散的SI, SIR, SIS模型.Castillo-Chavez[2]和Yakubu[3]研究了離散SIS模型的復(fù)雜動力學(xué)性態(tài).Y. Zhou等[4-6]研究了具有年齡結(jié)構(gòu)的離散SIS模型的動力學(xué)行為.現(xiàn)在越來越多的人對離散傳染病模型的研究感興趣，離散傳染病模型的應(yīng)用和研究也越來越多.

流行性腮腺炎是由腮腺炎病毒引起的兒童和青少年中常見的呼吸道傳染病.主要通過呼吸道分泌液飛沫經(jīng)空氣傳播.腮腺炎病毒在腮腺炎腫脹之前數(shù)天就潛伏于唾液中，感染者在感染初期不會患病，感染者在康復(fù)后即獲得永久免疫力.因此，可以利用SEIR模型來研究腮腺炎的傳播流行特征.Guo,Moghadas等[7-8]人建立了腮腺炎傳染病模型，得出模型的基本再生數(shù)，通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù),研究了模型的全局動力學(xué)性態(tài).關(guān)于連續(xù)SEIR模型的研究有很多，然而，由于理論方法的限制，對于離散SEIR模型的地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性的結(jié)果很少.本文通過構(gòu)造合適的Lynapunov函數(shù)得到了具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的離散SEIR腮腺炎模型的地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性.

本文在一定合理的假設(shè)下，利用隱式歐拉法建立離散SEIR腮腺炎模型，對該模型解的漸近性態(tài)進(jìn)行比較全面的分析.最后，通過數(shù)值模擬驗證理論結(jié)果.

1 離散SEIR腮腺炎模型

(1)

把模型(1)中的方程相加可得

利用極限系統(tǒng)理論可得模型(1)的極限系統(tǒng)如下：

(2)

下面主要研究系統(tǒng) (2), 極限系統(tǒng)理論可以保證系統(tǒng) (2) 與系統(tǒng) (1) 有相同的動力學(xué)性態(tài).

引理1模型(1)關(guān)于初始條件(S(0),E(0),I(0),R(0))∈Ω的解(S(t),E(t),I(t),R(t))都是正的.

證由模型(1)可解得

因此

通過計算可得

整理后可得如下二次方程

a0I2(t+1)+a1I(t+1)+a2=0.

其中，a0=β(1+α+μ)(1+μ+γ),a2=-(1+μ)[αE(t)+(1+α+μ)I(t)],

當(dāng)t=0時，由初始條件(S(0),E(0),I(0),R(0))∈Ω可知，常數(shù)項a2<0，又知a0>0，因此，上述二次方程

a0I2(t+1)+a1I(t+1)+a2=0.

有唯一的正根I(1)>0，由模型的第一、三、四個方程可得S(1)>0,E(1)>0和R(1)>0.采用類似于上述的方法，可以得到S(2)>0,E(2)>0,I(2)>0和R(2)>0, 最后用數(shù)學(xué)歸納法可得，對一切t∈Ζ+,都有S(t)>0,E(t)>0,I(t)>0和R(t)>0.

2無病平衡點的存在性和全局穩(wěn)定性

定理1如果R0<1,模型(2)的無病平衡點P0在Ω內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的；如果R0>1，則P0是不穩(wěn)定的，且除了S軸以外，從Ω內(nèi)充分靠近點P0出發(fā)的解都遠(yuǎn)離P0.

證假設(shè)Lyapunov函數(shù)V(t)=αE(t)+(α+μ)I(t)，則

ΔV=V(t+1)-V(t)=αE(t+1)+(α+μ)I(t+1)-αE(t)-(α+μ)I(t)

[αβ-(α+μ)(μ+γ)]I(t+1)=(α+μ)(μ+γ)I(t+1)(R0-1)0.

3 地方病平衡點的存在性和全局穩(wěn)定性

令P*(S*,E*,I*,R*)是模型的地方病平衡點，則S*,E*,I*,R*滿足下面的方程

定理2當(dāng)R0>1時，模型 (2) 的地方病平衡點P*(S*,E*,I*,R*)是全局漸近穩(wěn)定的.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V1(t)=Ag(X(t))+Bg(Y(t))+Cg(Z(t))，其中,g(x)=x-1-lnx.由于當(dāng)x>0時，lnx

同理可得

由方程(3)可得

令

可得

圖1　R0=0.654<1，P0的全局漸近性態(tài)

4 數(shù)值模擬

通過數(shù)值模擬來驗證分析理論結(jié)果，選取參數(shù)值Λ=30,μ=0.006,α=0.01,γ=0.08, 當(dāng)β=0.09時，基本再生數(shù)R0=0.654<1. 選取不同的初始值來做數(shù)值模擬，數(shù)值模擬的結(jié)果顯示模型的解最終趨于無病平衡點P0(5 000,0,0,0)(如圖1)，即R0<1時，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，疾病將會消除.固定其他參數(shù)值，變動β的值，當(dāng)β=0.29時，R0=2.108>1，數(shù)值模擬的結(jié)果顯示模型的解最終趨于地方病平衡點P*(2 372,985,115,1 527) (如圖2)，即R0>1時，地方病平衡點P*是全局漸近穩(wěn)定的.

圖2　R0=2.107>1，P*的全局漸近性態(tài)

5 結(jié)論

本文主要研究了一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的離散SEIR腮腺炎模型的的動力學(xué)性態(tài)，得到了模型的基本再生數(shù)，模型解的有界性和非負(fù)性，分析了模型的動力學(xué)性態(tài)，結(jié)果表明當(dāng)R0<1時，模型存在唯一的無病平衡點并且是全局漸近穩(wěn)定的，當(dāng)R0>1時，模型還存在唯一的地方病平衡點并且是全局漸近穩(wěn)定的.數(shù)值模擬的結(jié)果驗證了理論結(jié)果的正確性.

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[11]Elaydy S. An introduction to difference equations[M]. New York: Sprink, 2004.

The global stability of a discrete SEIR epidemic model of mumps with standard incidence

MA Xia1,CHEN Na2

(1.Science Department,Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan 030008;2.Dept. of Math., Zhoukou Normal University, Zhoukou 466001,China)

Abstract:The dynamical behavior of discrete SEIR epidemic model with standard incidence is studied. The basic reproductive number of the model is defined by using the regeneration matrix. The nonnegativity and boundless of solutions are analyzed by inductive method. It is proved that the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable if R0<1, and the endemic equilibrium is globally asymptotically stable if R0>1by constructing reasonable Lyapunov function. Numerical simulations are done to show our theoretical results.

Key words:discrete SEIR model; backward euler method; basic reproductive number; globally asymptotically stability; Lyapunov function

收稿日期：2015-12-12;修回日期：2016-01-07

基金項目：周口師范學(xué)院青年科研基金項目(No. zknuB315202);太原工業(yè)學(xué)院青年科研基金項目(No. 2015LQ19)

作者簡介：馬霞(1990- )，女，碩士，助教，研究方向：生物數(shù)學(xué)、動力系統(tǒng).

中圖分類號：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1671-9476(2016)02-0039-05

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.008