陳　娜，馬　霞，王曉燕

( 1. 周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001；2. 太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，山西 太原 030008 )

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基于差分方程理論研究一類離散時(shí)間的SEIS傳染病模型

陳娜1，馬霞2，王曉燕1

( 1. 周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001；2. 太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，山西 太原 030008 )

摘要：運(yùn)用差分方程的穩(wěn)定性理論分析了一類離散時(shí)間的SEIS傳染病模型，該模型是基于歐拉向前差分的方法，對(duì)連續(xù)時(shí)間的模型離散化得到的. 首先，給出了模型所有解的正則性和有界性，以及模型平衡點(diǎn)的存在；其次，利用Jury判據(jù)和離散的Lyapunov函數(shù)法，證明了當(dāng)R0< 1時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)P0的局部和全局漸近穩(wěn)定性；最后，借助MATLAB軟件的數(shù)值模擬，討論了當(dāng)R0>1時(shí)地方病平衡點(diǎn)P1可能是全局漸近穩(wěn)定的.

關(guān)鍵詞：離散時(shí)間的SEIS傳染病模型；全局漸近穩(wěn)定性；Lyapunov函數(shù)

SEIS傳染病模型是一類典型的用于描述具有短暫性免疫疾病的數(shù)學(xué)模型[1]，如結(jié)核病等. 假定把總?cè)丝趧澐譃橐赘姓摺摲吆腿静≌呷?，分別用S(t)，E(t)和I(t)表示這三類人口在t時(shí)刻的數(shù)量. 設(shè)N(t)表示在t時(shí)刻的人口總數(shù)，則有N(t)=S(t)+E(t)+I(t). 易感者與染病者接觸后會(huì)被感染細(xì)菌，在經(jīng)過(guò)一個(gè)潛伏期后開(kāi)始發(fā)病，而潛伏者和染病者均會(huì)因失去免疫力而成為易感者. 于是，基于微分方程建立連續(xù)時(shí)間的SEIS傳染病模型為：

(1)

其中，Λ表示人口的輸入量，β表示傳染率，μ表示自然死亡率，α表示發(fā)病率，b和γ分別表示潛伏者和染病者失去免疫率.

在傳染病模型中，基本再生數(shù)R0經(jīng)常被作為一個(gè)閾值，預(yù)測(cè)疾病是否趨于流行或最終消滅. 利用再生矩陣的方法[2]，模型(1)的基本再生數(shù)定義為

從生物意義上看，R0表示在所有人口均為易感者時(shí)，一位染病者在他的整個(gè)患病期內(nèi)所感染且發(fā)病的平均人數(shù). 利用構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法可以證明[1]，模型(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)R01，而當(dāng)R0>1時(shí)，模型(1)的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

通常，許多傳染病疫情的數(shù)據(jù)是按年、月、周或天來(lái)收集的，因此，離散時(shí)間的傳染病模型比連續(xù)時(shí)間的模型更加符合實(shí)際.目前，許多學(xué)者對(duì)離散時(shí)間的傳染病模型已經(jīng)做了廣泛的研究[3-7]，如基本再生數(shù)的定義、無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部和全局穩(wěn)定性、疾病的持續(xù)性等. 基于歐拉向前差分的方法，對(duì)模型(1)進(jìn)行離散化，得到相應(yīng)的離散時(shí)間模型：

其中，N(n)=S(n)+E(n)+I(n). 假設(shè)模型(2)中各類人口的初始條件滿足：

S(0)>0，E(0)>0 和 I(0)>0.

(3)

1模型的基本性質(zhì)

首先，為了保證模型(2)所有解的正則性，有下面的引理：

引理1設(shè)(S(n),E(n),I(n)),n=0,1,2,...為模型(2)經(jīng)過(guò)初始條件(3)的所有解，則當(dāng)模型(2)中各參數(shù)滿足條件：1-β-μ>0，1-μ-α-b>0，1-μ-γ>0時(shí)，有S(n)>0，E(n)>0和I(n)>0，對(duì)于?n=0,1,2,....

由模型(2)，有N(n+1)-N(n)=Λ-μN(yùn)(n)，即N(n+1)=Λ+(1-μ)N(n)，于是，

N(n+1)=Λ+(1-μ)N(n)=

Λ+(1-μ)Λ+(1-μ)2N(n-1)=...=Λ+(1-μ)Λ+...+(1-μ)nΛ+(1-μ)n+1N(0)=

引理2模型(2)經(jīng)過(guò)初始條件(3)的所有解(S(n),E(n),I(n)),n=0,1,2,...均是有界的.

關(guān)于模型(2)的平衡點(diǎn)的存在，有：

(4)

下面，將借助模型(4)的穩(wěn)定性分析結(jié)果，得到模型(2)的穩(wěn)定性態(tài).

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

顯然，模型(4)均滿足在第一部分得到的結(jié)論.下面將討論模型(4)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0和地方病平衡點(diǎn)P1的穩(wěn)定性.

證模型(4)在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處關(guān)于(S(t),E(t),I(t))的Jacobian矩陣為

J(P0)=

由于判別式Δ=(α+b-γ)2+4αβ>0，故λ2和λ3是f(λ)的兩個(gè)互異的實(shí)根.

對(duì)于平衡點(diǎn)P0的全局漸近穩(wěn)定性，通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法來(lái)證明.

n=0,1,2,....

(5)

則V0(n+1)沿著模型(4)的軌線關(guān)于n的一階差分方程為

V0(n+1)-V0(n)=

R0(E(n+1)-E(n))+

(6)

J(P1)=

盡管在理論上，能夠使用Jury判據(jù)來(lái)討論模型(4)在地方病平衡點(diǎn)P1處的局部漸近穩(wěn)定性，但是由于P1的關(guān)系式十分復(fù)雜，使得求解矩陣J(P1)的特征方程和特征根的過(guò)程十分繁瑣. 因此，將在MATLAB軟件上借助數(shù)值模擬的方法來(lái)討論地方病平衡點(diǎn)P1的穩(wěn)定性. 選取Λ=10，μ=0.006，α=0.1，b=0.04，γ=0.3，將參數(shù)β看作一個(gè)變量. 相應(yīng)地，R0=2.238β，S*=744.6/β，E*=1 256.2-561.2/β，I*=410.5-183.4/β.

定理3對(duì)于取定的參數(shù)值，當(dāng)1-μ>β≥0.448時(shí)有R0>1，此時(shí)模型(4)在地方病平衡點(diǎn)P1處是局部漸近穩(wěn)定的.

證將選取的參數(shù)值代入(7)，可得模型(4)在P1處的Jacobian矩陣為

J(P1)=

最后，為了研究地方病平衡點(diǎn)P1的全局穩(wěn)定性，在上述取定的參數(shù)值下，取β=0.6，模型(4)的基本再生數(shù)R0=1.343>1，唯一的地方病平衡點(diǎn)P1=(1 241.0,320.8,104.8). 利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證模型(4)從任意初始條件出發(fā)的所有解均最終趨于平衡點(diǎn)P1，如圖1所示. 圖1說(shuō)明模型(4)在地方病平衡點(diǎn)P1處可能是全局漸近穩(wěn)定的.

3總結(jié)

由于離散時(shí)間的傳染病模型的應(yīng)用十分方便，使得越來(lái)越多的離散模型被用來(lái)描述疾病傳播過(guò)程中的各種問(wèn)題，但是由于離散模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)比較復(fù)雜，也使得離散模型的研究與連續(xù)模型相比較少.本文運(yùn)用差分方程的理論，分析了一類離散時(shí)間的SEIS傳染病模型，得到了模型的若干基本性質(zhì)，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，同時(shí)利用數(shù)值模擬的方法，驗(yàn)證了模型的穩(wěn)定性態(tài). 當(dāng)然，仍有一些問(wèn)題，如模型的一致持續(xù)性、分支現(xiàn)象問(wèn)題等需要進(jìn)一步討論，這將是筆者今后的工作.

圖1　地方病平衡點(diǎn)P1的全局漸近性態(tài)

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Research on a discrete-time SEIS epidemic model based on the difference equations theory

CHEN Na1, MA Xia2, WANG Xiaoyan1

(1. School of Mathematics and Statistics, Zhoukou Normal University, Zhoukou 466001,China;2. Department of Science, Taiyuan Institute of Technology, Taiyuan Shanxi 030008,China)

Abstract:This paper analyses a discrete SEIS epidemic model derived from the continuous-time model by using the forward Euler method, which is used the stability theory of the difference equations. Firstly, we give out that the positivity and boundedness of all solutions, and the existence of the equilibrium. Then, by the Jury criterion and the discrete Lyapunov function method, we prove that the disease-free equilibrium P0 is locally and globally asymptotically stable if R0< 1. Finally, with the help of numerical simulations in MATLAB software, we discuss that the endemic equilibrium P1is likely globally asymptotically stable if R0> 1.

Key words:discrete-time SEIS epidemic model;globally asymptotically stable;Lyapunov function

收稿日期：2015-10-30

基金項(xiàng)目：周口師范學(xué)院青年科研基金項(xiàng)目(No. zknuB315202)；太原工業(yè)學(xué)院青年科研基金項(xiàng)目(No. 2015LQ19)

作者簡(jiǎn)介：陳娜(1986- )，女，河南商丘人，助教，碩士，主要從事傳染病動(dòng)力學(xué)研究.

中圖分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-9476(2016)02-0058-04

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.013