王昱嵐，何詣然

有限維空間中擾動(dòng)變分不等式解的存在性

王昱嵐，何詣然*

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

主要討論在有限維空間中變分不等式問(wèn)題的擾動(dòng)分析，假設(shè)一個(gè)強(qiáng)制性條件成立，對(duì)變分不等式涉及的映射F及相應(yīng)的集合K都做了擾動(dòng)后，證明擾動(dòng)后的變分不等式解集非空．與已有文獻(xiàn)相比，該擾動(dòng)分析沒(méi)有假設(shè)映射F的單調(diào)性．

變分不等式;上半連續(xù);集值映射;擾動(dòng)

變分不等式問(wèn)題GVI(F，K)指的是求x∈K使得存在ξ∈F(x)滿(mǎn)足

其中，KRn是非空閉凸集，F(xiàn):K→Rn是有非空緊凸值的集值映射．在本文中用GVI(F，K)和Sol(F，K)分別表示變分不等式問(wèn)題(1)和它的解集．

變分不等式是非線(xiàn)性分析領(lǐng)域研究的主要內(nèi)容之一．近年來(lái)，許多專(zhuān)家學(xué)者深入研究了變分不等式問(wèn)題(1)［1－17］．特別地，許多文獻(xiàn)介紹了變分不等式問(wèn)題的擾動(dòng)分析［2，13－15］，其中，文獻(xiàn)［2］介紹了自反Banach空間中具有偽單調(diào)映射的變分不等式的擾動(dòng)分析，分別從僅僅擾動(dòng)變分不等式所涉及的映射和只擾動(dòng)相應(yīng)的集合2個(gè)方面做了研究．文獻(xiàn)［13］在自反Banach空間中研究了具有極大單調(diào)映射的變分不等式的擾動(dòng)分析．文獻(xiàn)［14］在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上研究了同時(shí)擾動(dòng)變分不等式問(wèn)題中的映射和集合時(shí)，對(duì)偶變分不等式解集的變化情況，其中定理3．2假設(shè)映射是真擬單調(diào)的，證明了擾動(dòng)后的對(duì)偶變分不等式解集非空且有界，定理3．3假設(shè)映射是偽單調(diào)的，研究了擾動(dòng)后的廣義變分不等式解的存在性及有界性．文獻(xiàn)［15］引入了 －偽單調(diào)的定義，在自反Banach空間研究了具有 －偽單調(diào)映射的混合對(duì)偶變分不等式的擾動(dòng)分析．

然而，以上文獻(xiàn)在研究變分不等式問(wèn)題的擾動(dòng)分析時(shí)，都假設(shè)了映射具有一定的單調(diào)性．最近，文獻(xiàn)［4］在有限維空間中研究了當(dāng)映射不具有任何單調(diào)性時(shí)，集值變分不等式的擾動(dòng)分析，其中，定理3．1在擾動(dòng)相應(yīng)映射的情況下，說(shuō)明了擾動(dòng)后的變分不等式有解并且解有界，定理3．3研究了只擾動(dòng)其中映射時(shí)，擾動(dòng)后的變分不等式的解集非空．

但是，文獻(xiàn)［4］的研究?jī)H限于只擾動(dòng)相應(yīng)映射時(shí)，擾動(dòng)變分不等式解的存在性結(jié)論．本文在假設(shè)映射F不具有任何單調(diào)性的情況下，研究了當(dāng)一個(gè)強(qiáng)制性條件成立，同時(shí)擾動(dòng)變分不等式所涉及的映射F及相應(yīng)集合K時(shí)，擾動(dòng)后的變分不等式解集非空．本文的定理1介紹了同時(shí)擾動(dòng)映射F和集合K時(shí)，擾動(dòng)后的變分不等式具有非空有界的解，定理3研究了同時(shí)擾動(dòng)映射F和集合K時(shí)，擾動(dòng)后的變分不等式的解集非空．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)r＞0，Kr={x∈K:‖x‖≤r}，(0，r)={x∈Rn:‖x‖≤r}，B(0，r)={x∈Rn:‖x‖＜r}，barr(K):={ξ∈Rn:〈ξ，x〉＜∞}表示K的閘錐．K∞:={d∈Rn:tn↓0和xn∈K，使得tnxn→d}表示K的收縮錐．

定義1 稱(chēng)集值映射F:K→Rn在K上是上半連續(xù)的，如果對(duì)任意Rn中的開(kāi)集M，集合{x∈K: F(x) M}是K中的開(kāi)集．

定義2 稱(chēng)映射F在K上具有變分不等式性質(zhì)，如果對(duì)每一K中的非空有界閉凸子集D，變分不等式VI(F，D)的解存在．

定義3 設(shè){An}是Rn中的集合列，有如下的定義:

命題 1［16］以下幾類(lèi)映射具有變分不等式性質(zhì):

1)每一個(gè)上半連續(xù)具有非空緊凸值的集值映射;

2)如果F:K→Rn是上半連續(xù)具有非空緊凸值的集值映射，q:K→Rn是連續(xù)映射，那么F+q有變分不等式性質(zhì)．

本文考慮以下強(qiáng)制性條件:

(A) r＞0使得對(duì) x∈KKr，y∈K，且‖y‖＜‖x‖滿(mǎn)足

(B) r＞0使得對(duì) x∈KKr，y∈K，且‖y‖＜‖x‖滿(mǎn)足

(C1) r＞0使得對(duì) x∈(K－r珔B)Kr，y∈ Kr，滿(mǎn)足

(C) r＞0使得對(duì) x∈KKr，y∈Kr，滿(mǎn)足

(D) r＞0使得對(duì) x∈KKr，y∈Kr，滿(mǎn)足

(E) y0∈K，使得集合x(chóng)〉＞0}在非空時(shí)是有界集;

(F) y0∈K，使得集合x(chóng)〉≥0}是有界集．

2 解的存在性結(jié)果

在本章中介紹了本文的主要結(jié)果，分別從2方面討論了同時(shí)擾動(dòng)變分不等式問(wèn)題中的映射F和集合K時(shí)，擾動(dòng)后的變分不等式解的存在性結(jié)果．

KRn是非空閉凸集，DRn是有界閉凸集并且D包含原點(diǎn)，F(xiàn):K→Rn是一個(gè)有非空緊凸值的集值映射．B(0;ε，Km)表示所有滿(mǎn)足對(duì)任意的x∈Km有‖q(x)‖＜ε成立的連續(xù)函數(shù)q:Km→Rn，記

定理1 假設(shè)存在μ＞0，使得F:K(μ)→Rn是上半連續(xù)有非空緊凸值的集值映射，如果條件(B)成立，那么對(duì)每一個(gè)m＞r，都存在ε＞0使得

證明 設(shè)m＞r，假設(shè)結(jié)論不成立，那么對(duì)任意的ε＞0，存在qε∈B(0;ε，K(ε)m)，且θε∈(0，ε)，使得易知K(θε)m:={x∈K(θε):‖x‖≤m}是有界閉凸集．因?yàn)镕是上半連續(xù)有非空緊凸值的集值映射，qε是連續(xù)映射，那么存在xε∈K(θε)m，使得

因?yàn)閤ε∈K(θε)m，所以‖xε‖≤m．

(i)如果對(duì)某一ε＞0，有‖xε‖＜m，那么對(duì)任意的y∈K+θεD，存在t∈(0，1)，使得

這是因?yàn)镵(θε)的凸性．因此，由(2)式可得

因?yàn)閥∈K+θεD是任意的，所以xε是GVI(F+qε，K+θεD)的解，故

(ii)如果對(duì)每一個(gè)ε＞0有‖xε‖=m．不失一般性，可以假設(shè)，那么‖d‖ =m．因?yàn)閤ε∈K+θεD，所以存在x'ε∈K使得0，因此d∈K．強(qiáng)制性條件(B)成立，故存在y0∈K，且‖y0‖＜‖d‖=m使得

因?yàn)閤ε∈K(θε) K(ε)，且‖xε‖=m，所以xε∈K(ε)m．

由qε∈B(0;ε，K(ε)m)可知＜ε，故有

因?yàn)镕是上半連續(xù)有非空緊凸值的集值映射，因此

由上極限的定義可知，存在ε1＞0使得

因?yàn)椤瑈0‖＜m，對(duì)任意的y∈K+θεD，存在t∈(0，1)，使得z't=y0+t(y－y0)∈K(θε)m，故對(duì)任意的ε∈(0，ε1)，可以得到

由(4)式當(dāng)ε充分小時(shí)，xε∈Sol(F+qε，K+θεD)，得到

綜上在任何一種情況下，都得到了矛盾，所以假設(shè)不成立．

定理2 假設(shè)存在μ＞0，使得F:K(μ)→Rn是上半連續(xù)有非空緊凸值的集值映射．如果強(qiáng)制性條件(B)成立，那么對(duì)任意的ε＞0和所有的m＞r，存在qε∈B(0;ε，K(ε)m)以及θε∈(0，ε)使得

因?yàn)?xn∈ K+θεnD，故 存在使得．由于xn→x0且 K為閉集，因此x0∈K．因?yàn)镕是上半連續(xù)映射并且有非空緊凸值，所以{ξn}是緊的，不失一般性，假設(shè)對(duì)某些ξ∈F(x0)成立．對(duì)任意給定的y0∈K，存在yn∈K +θεnD使得

由(5)式可以得到

因?yàn)閤n∈K(θεn)且‖xn‖≤m，所以xn∈K(θεn)mK(ε)m，又因?yàn)椋?/p>

在(6)式中取極限n→∞，則有

對(duì)某些ξ∈F(x0)有

因?yàn)閥0∈K是任意的，所以x0∈Sol(F，K)．

因此

引理1 如果K是Rn中的非空閉凸集，珔B是Rn中的單位閉球，用K(δ)來(lái)表示集合K－δ珔B(δ＞0)那么barr(K)=barr(K(δ))．

證明 由閘錐的定義容易得到 barr(K) barr(K(δ))．下證barr(K(δ)) barr(K)．任取ξ∈ barr(K(δ))，那么ξ∈Rn且．因?yàn)閤∈K(δ)，注意到K(δ)=K－δ珔B，故存在x'∈K和b∈珔B使得x=x'－δb．由于

因此

那么ξ∈barr(K)，由ξ的任意性，則有barr(K(δ)) barr(K)．

所以

在下面的定理中記K(δ)=K－δ珔B(δ＞0)，其中珔B表示Rn中的單位閉球．

定理3 假設(shè)int(barr(K))≠ ，存在ρ＞0，使得F:K(ρ)→Rn是一個(gè)上半連續(xù)具有非空緊凸值的集值映射．如果強(qiáng)制性條件(C1)成立，那么對(duì)任意的q∈int(barr(K))，存在ε1∈(0，1/r)且δ1＞0使得

證明 假設(shè)結(jié)論不成立，那么對(duì)任意的m∈N且m＞r，存在εm＞0和δm∈(0，δ1)，εm＜1/m，使得

定義Em:={x∈K(δm):‖x‖≤1/εm}，易知Em是有界閉凸集．因?yàn)镕是上半連續(xù)具有非空緊凸值的集值映射，因此對(duì)每一個(gè)m∈N，存在xm∈Em使得

(i)如果對(duì)某一m，‖xm‖＜1/εm，那么對(duì)任意的y∈K－δm珔B，存在t∈(0，1)使得zt=xm+t(yxm)．因?yàn)椤瑉t‖≤1/εm，而且是凸集，所以zt∈Em，那么由(9)式可知

因此，

(ii)如果對(duì)每一個(gè)m有‖xm‖=1/εm．因?yàn)?/εm＞m＞r，故xmKr，再者，因?yàn)椋畯?qiáng)制性條件(C1)成立，故存在ym∈Kr滿(mǎn)足

由于‖ym‖＜r＜1/εm，那么對(duì)任意的y∈K－存在t∈(0，1)使得z't=ym+t(y－ym)且‖z't‖≤1/εm，因?yàn)槭峭沟?，所以，那么?/p>

由(9)和(10)式可得

由于{ym} Kr，故{ym}是有界的，因此εm〈q，ym〉→0．當(dāng)m充分大時(shí)有

因?yàn)閥∈K－δm珔B是任意的，所以xm是GVI(F－εmq，K－δm珔B)的解．

因此

綜上，在任何一種情況下都推出了矛盾，故假設(shè)不成立．

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Solvability of Perturbed Variational Inequality in Finite Dimensional Spaces

WANG Yulan，HE Yiran

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

This paper discusses the perturbed variational inequalities in finite dimensional spaces．It is shown that if a coercivity condition holds and both the mapping F and the constraint set K of the variational inequality are perturbed，the perturbed variational inequality has a solution．Compared with the existing literature，the perturbation analysis does not assume any monotonicity of the mapping F．

variational inequalities;upper semi-continuous;set-valued mapping;perturbation

O221．2

A

1001－8395(2016)05－0625－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．001

(編輯 鄭月蓉)

2015－06－30

國(guó)家自然科學(xué)基金(11271274)

*通信作者簡(jiǎn)介:何詣然(1973—)，男，教授，主要從事非線(xiàn)性規(guī)劃的研究，E－mail:yrhe@sicnu．edu．cn

2010 MSC:47J20;49J40